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# 5.34: La distribución Gompertz

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El distributon Gompertz, llamado así por Benjamin Gompertz, es una distribución de probabilidad continua$$[0, \infty)$$ que tiene una tasa de fallas exponencialmente creciente. Desafortunadamente, la tasa de mortalidad de humanos adultos aumenta exponencialmente, por lo que la distribución de Gompertz es ampliamente utilizada en la ciencia actuarial.

## La distribución básica de Gompertz

### Funciones de distribución

Comenzaremos dando la función de confiabilidad, ya que la mayoría de las aplicaciones de la distribución Gompertz tratan con la mortalidad.

La distribución básica de Gompertz con parámetro de forma$$a \in (0, \infty)$$ es una distribución continua$$[0, \infty)$$ con función de confiabilidad$$G^c$$ dada por$G^c(x) = \exp\left[-a\left(e^x - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$ El caso especial$$a = 1$$ da la distribución estándar de Gompertz.

Prueba

Tenga en cuenta que$$G^c$$ es continuo y decreciente$$[0, \infty)$$ con$$G^c(0) = 1$$ y$$G^c(x) \to 0$$ como$$x \to \infty$$.

La función de distribución$$G$$ viene dada por$G(x) = 1 - \exp\left[-a\left(e^x - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Esto se desprende trivialmente de la función de confiabilidad de la función de confiabilidad, ya que$$G = 1 - G^c$$.

La función quantile$$G^{-1}$$ viene dada por$G^{-1}(p) = \ln\left[1 - \frac{1}{a} \ln(1 - p)\right], \quad p \in [0, 1)$

1. El primer cuartil es$$q_1 = \ln\left[1 + (\ln 4 - \ln 3) \big/ a\right]$$.
2. La mediana es$$q_2 = \ln\left(1 + \ln 2 \big/ a\right)$$.
3. El tercer cuartil es$$q_3 = \ln\left(1 + \ln 4 \big/ a\right)$$.
Prueba

La fórmula para$$G^{-1}$$ se desprende de la función de distribución resolviendo$$p = G(x)$$ para$$x$$ en términos de$$p$$.

Para la distribución estándar de Gompertz ($$a = 1$$), el primer cuartil es$$q_1 = \ln\left[1 + (\ln 4 - \ln 3)\right] \approx 0.2529$$, la mediana es$$q_2 = \ln\left(1 + \ln 2\right) \approx 0.5266$$, y el tercer cuartil es$$q_3 = \ln\left(1 + \ln 4\right) \approx 0.8697$$.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución Gompertz. Varíe el parámetro shape y anote la forma de la función de distribución. Para los valores seleccionados del parámetro shape, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

La función de densidad de probabilidad$$g$$ viene dada por$g(x) = a e^x \exp\left[-a\left(e^x - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$

1. Si$$a \lt 1$$ entonces$$g$$ es creciente y luego decreciente con el modo$$x = -\ln(a)$$.
2. Si$$a \ge 1$$ entonces$$g$$ está disminuyendo con el modo$$x = 0$$.
3. Si$$a \lt (3 - \sqrt{5})\big/2 \approx 0.382$$ entonces$$g$$ es cóncavo hacia arriba y luego hacia abajo luego hacia arriba otra vez, con puntos de inflexión en$$x = \ln\left[(3 \pm \sqrt{5})\big/2 a\right]$$.
4. Si$$(3 - \sqrt{5})\big/2 \le a \lt (3 + \sqrt{5})\big/2 \approx 2.618$$ entonces$$g$$ es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en$$x = \ln\left[(3 + \sqrt{5})\big/2 a\right]$$.
5. Si$$a \ge (3 + \sqrt{5})\big/2$$ entonces$$g$$ es cóncavo hacia arriba.
Prueba

La fórmula para$$g$$ sigue de la función de distribución ya que$$g = G^\prime$$ Partes (a) — (d) siguen de\ begin {align} g^\ prime (x) & = a e^x (1 - a e^x)\ exp\ left [-a\ left (e^x - 1\ right)\ right]\\ g^ {\ prime\ prime} (x) & = a e^x (1 - 3 a e^x + ^2 e^ {2x})\ exp\ izquierda [-a\ izquierda (e^x - 1\ derecha)\ derecha]\ end {align}

Entonces para la distribución estándar de Gompertz ($$a = 1$$), el punto de inflexión es$$x = \ln(3 + \sqrt{5}) \approx 1.6555$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Gompertz. Variar el parámetro shape y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

Por último, como se prometió, la distribución de Gompertz tiene un índice de fallas exponencialmente creciente.

La función de tasa de fallas$$r$$ viene dada por$$r(x) = a e^x$$ for$$x \in [0, \infty)$$

Prueba

Recordemos que el es$$r(x) = g(x) \big/ G^c(x)$$ así el resultado se desprende de la función de distribución y la función de densidad de probabilidad.

### Momentos

Los momentos de la distribución básica de Gompertz no se pueden dar en forma simple cerrada, pero la función generadora de media y momento puede al menos expresarse en términos de una función especial conocida como la integral exponencial. Hay muchas variaciones sobre la integral exponencial, pero para nuestros propósitos, la siguiente versión es la mejor:

La integral exponencial con parámetro$$a \in (0, \infty)$$ es la función$$E_a: \R \to (0, \infty)$$ definida por$E_a(t) = \int_1^\infty u^t e^{-a u} du, \quad t \in \R$

Para el resto de esta discusión, asumimos que$$X$$ tiene la distribución básica de Gompertz con parámetro shape$$a \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene función de generación de momento$$m$$ dada por$m(t) = \E\left(e^{t X}\right) = a e^a E_a(t), \quad t \in \R$

Prueba

Usando la sustitución$$u = e^x$$ que tenemos$m(t) = \int_0^\infty e^{t x} a e^x e^a \exp\left(-a e^x \right) dx = a e^a \int_1^\infty u^t e^{-a u} du = a e^a E_a(t)$

De ello se deduce que$$X$$ tiene momentos de todos los pedidos. Aquí está la media:

$$X$$tiene media$$\E(X) = e^a E_a(-1)$$.

Prueba

Primero usamos la sustitución$$y = e^x$$ para obtener$\E(X) = \int_0^\infty x a e^x e^a \exp\left(-a e^x\right) dx = a e^a \int_1^\infty \ln(y) e^{-a y} dy$ Siguiente, integración por partes con$$u = \ln y$$,$$dv = e^{-a y} dy$$ da$\E(X) = e^a \int_1^\infty \frac{1}{y} e^{-a y} dy = e^a E_a(-1)$

Si$$X$$ tiene la distribución estándar de Gompertz,$$\E(X) \approx 0.5963$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Gompertz. Varíe el parámetro de forma y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La distribución básica de Gompertz tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente.

Supongamos que$$a \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$$X = \ln\left(1 - \frac{1}{a} \ln U \right)$$ tiene la distribución básica de Gompertz con parámetro de forma$$a$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución básica de Gompertz con el parámetro shape$$a$$ entonces$$U = \exp\left[-a\left(e^X - 1\right)\right]$$ tiene la distribución uniforme estándar.
Prueba
1. Recordemos que si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$1 - U$$ también tiene la distribución uniforme estándar, y por lo tanto$$X = G^{-1}(1 - U)$$ tiene la distribución básica de Gompertz con parámetro de forma$$a$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución básica de Gompertz con el parámetro shape$$a$$ entonces$$G(X)$$ tiene la distribución uniforme estándar, y por lo tanto también lo hace$$U = 1 - G(X)$$.

Dado que la función cuantil de la distribución básica de Gompertz tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Gompertz. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

La distribución básica de Gompertz también tiene conexiones simples con la distribución exponencial.

Supongamos que$$a \in (0, \infty)$$.

1. Si$$X$$ tiene la distribución básica de Gompertz con el parámetro shape$$a$$, entonces$$Y = e^X - 1$$ tiene la distribución exponencial con el parámetro rate$$a$$.
2. Si$$Y$$ tiene la distribución exponencial con el parámetro rate$$a$$, entonces$$X = \ln(Y + 1)$$ tiene la distribución Gompertz con el parámetro shape$$a$$.
Prueba

Estos resultados se derivan de la fórmula estándar de cambio de variables. Las transformaciones, que son inversas unas de otras, son$$y = e^x - 1$$ y$$x = \ln(y + 1)$$ para$$x, \, y \in [0, \infty)$$. Dejar$$g$$ y$$h$$ denotar PDFs de$$X$$ y$$Y$$ respectivamente.

1. Empezamos con$$g(x) = a e^x \exp\left[-a\left(e^x - 1\right)\right]$$ for$$x \in [0, \infty)$$ y luego$h(y) = g(x) \frac{dx}{dy} = a \exp[\ln(y + 1)] \exp\{-a [\exp(\ln(y + 1)) - 1]\} \frac{1}{y + 1} = a e^{-a y}, \quad y \in [0, \infty)$ cual es el PDF de la distribución exponencial con parámetro rate$$a$$.
2. Empezamos con$$h(y) = a e^{-a y}$$ for$$y \in [0, \infty)$$ y luego$g(x) = h(y) \frac{dy}{dx} = a \exp\left[-a (e^x - 1)\right] e^x, \quad x \in [0, \infty)$ cual es el PDF de la distribución Gompertz con parámetro shape$$a$$.

En particular, si$$Y$$ tiene la distribución exponencial estándar (parámetro de tasa 1), entonces$$X = \ln(Y + 1)$$ tiene la distribución estándar de Gompertz (parámetro de forma 1). Dado que la distribución exponencial es una familia de escalas (el parámetro scale es el recíproco del parámetro rate), podemos construir una variable Gompertz básica arbitraria a partir de una variable exponencial estándar. Específicamente, si$$Y$$ tiene la variable exponencial estándar y$$a \in (0, \infty)$$, entonces$X = \ln\left(\frac{1}{a}Y + 1 \right)$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a$$.

La distribución de valores extremos (distribución de Gumbel) también está relacionada con la distribución de Gompertz.

Si$$X$$ tiene la distribución estándar de valores extremos para mínimos, entonces la distribución condicional de$$X$$ dada$$X \ge 0$$ es la distribución estándar de Gompertz.

Prueba

Por definición,$$X$$ tiene PDF$$f$$ dado por$$f(x) = e^x \exp\left(-e^x\right)$$ para$$x \in \R$$. El PDF condicional de$$X$$ dado$$X \ge 0$$ es$g(x) = \frac{f(x)}{\P(X \ge 0)} = \frac{e^x \exp\left(-e^x\right)}{e^{-1}} = e^x \exp\left[-\left(e^x - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$ cuál es el PDF de la distribución estándar de Gompertz.

## La distribución de General Gompertz

La distribución básica de Gompertz se generaliza, como tantas distribuciones en$$[0, \infty)$$, al agregar un parámetro de escala. Recordemos que las transformaciones de escala a menudo corresponden a un cambio de unidades (minutos a horas, por ejemplo) y así son fundamentales.

Si$$Z$$ tiene la distribución básica de Gompertz con parámetro shape$$a \in (0, \infty)$$ y$$b \in (0, \infty)$$ luego$$X = b Z$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a$$ y parámetro scale$$b$$.

### Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a \in (0, \infty)$$ y parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene la función de confiabilidad$$F^c$$ dada por$F^c(x) = \P(X \gt x) = \exp\left[-a \left(e^{x / b} - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Recordemos que$$F^c(x) = G^c(x / b)$$ donde$$G^c$$ está la función de confiabilidad de la distribución básica correspondiente.

$$X$$tiene función de distribución$$F$$ dada por$F(x) = \P(X \le x) = 1 - \exp\left[-a \left(e^{x / b} - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Como antes,$$F = 1 - F^c$$. También,$$F(x) = G(x / b)$$ donde$$G$$ está el CDF de la distribución básica correspondiente.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(p) = b \ln\left[1 - \frac{1}{a} \ln(1 - p)\right], \quad p \in [0, 1)$

1. El primer cuartil es$$q_1 = b \ln\left[1 + (\ln 4 - \ln 3) \big/ a\right]$$.
2. La mediana es$$q_2 = b \ln\left(1 + \ln 2 \big/ a\right)$$.
3. El tercer cuartil es$$q_3 = b \ln\left(1 + \ln 4 \big/ a\right)$$.
Prueba

Recordemos que$$F^{-1}(p) = b G^{-1}(p)$$ donde$$G^{-1}$$ está la función cuantil de la distribución básica correspondiente.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución Gompertz. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de la función de distribución. Para valores seleccionados de los parámetros, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = \frac{a}{b} e^{x/b} \exp\left[-a\left(e^{x/b} - 1\right)\right], \quad x \in [0, \infty)$

1. Si$$a \lt 1$$ entonces$$f$$ es creciente y luego decreciente con el modo$$x = -b \ln(a)$$.
2. Si$$a \ge 1$$ entonces$$f$$ está disminuyendo con el modo$$x = 0$$.
3. Si$$a \lt (3 - \sqrt{5}) \big/ 2 \approx 0.382$$ entonces$$f$$ es cóncavo hacia arriba y luego hacia abajo luego hacia arriba otra vez, con puntos de inflexión en$$x = b \ln\left[(3 \pm \sqrt{5}) \big/ 2 a\right]$$.
4. Si$$(3 - \sqrt{5}) \big/ 2 \le a \lt (3 + \sqrt{5}) \big/ 2 \approx 2.618$$ entonces$$f$$ tiene es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en$$x = b \ln\left[(3 + \sqrt{5}) \big/ 2 a\right]$$.
5. Si$$a \ge (3 + \sqrt{5}) \big/ 2$$ entonces$$f$$ es cóncavo hacia arriba.
Prueba

Recordemos que$$f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x}{b}\right)$$ donde$$g$$ está el PDF de la distribución básica correspondiente.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Gompertz. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

Una vez más,$$X$$ tiene un índice de fallas exponencialmente creciente.

$$X$$tiene función de tasa de fallas$$R$$ dada por$R(x) = \frac{a}{b} e^{x / b}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Recordemos eso$$R(x) = f(x) \big/ F^c(x)$$. También,$$R(x) = \frac{1}{b} r\left(\frac{x}{b}\right)$$ donde$$r$$ está la función de tasa de fallas de la distribución básica correspondiente.

### Momentos

Al igual que con la distribución básica, la función generadora de momento y la media de la distribución general de Gompertz se pueden expresar en términos de la integral exponencial. Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a \in (0, \infty)$$ y parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene función de generación de momento$$M$$ dada por$M(t) = \E\left(e^{t X}\right) = a e^a E_a(b t), \quad t \in \R$

Prueba

Recordemos que$$M(t) = m(b t)$$ donde$$m$$ está el MGF de la distribución básica correspondiente.

$$X$$tiene media$$\E(X) = b e^a E_a(-1)$$.

Prueba

Esto se desprende de la media de la distribución básica correspondiente, y de la propiedad estándar$$\E(X) = b \E(Z)$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Gompertz. Varíe los parámetros de forma y escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

Dado que la distribución de Gompertz es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a \in (0, \infty)$$ y parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$. Si$$c \in (0, \infty)$$ entonces$$Y = c X$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a$$ y parámetro scale$$b c$$.

Prueba

Por definición, podemos tomar$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución estándar de Gompertz con parámetro de forma$$a$$. Pero entonces$$Y = c X = (b c) Z$$.

Al igual que con la distribución básica, la distribución Gompertz tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente.

Supongamos que$$a, \, b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$$X = b \ln\left(1 - \frac{1}{a} \ln U \right)$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro de forma$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a$$ y parámetro scale$$b$$, entonces$$U = \exp\left[-a\left(e^{X / b} - 1\right)\right]$$ tiene la distribución uniforme estándar.
Prueba

Esto se desprende del resultado correspondiente para la distribución básica y la definición de la variable general de Gompertz como$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución básica de Gompertz con parámetro shape$$a$$.

Nuevamente, dado que la función cuantil de la distribución de Gompertz tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Gompertz. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y anote la concordancia entre la función de densidad empírica y la función de densidad de probabilidad.

El siguiente resultado es una ligera generalización de la conexión anterior entre la distribución básica de Gompertz y la distribución de valores extremos.

Si$$X$$ tiene la distribución de valores extremos para mínimos con parámetro de escala$$b \gt 0$$, entonces la distribución condicional de$$X$$ dado$$X \ge 0$$ es la distribución de Gompertz con parámetro de forma 1 y parámetro de escala$$b$$.

Prueba

Podemos tomar$$X = b V$$ donde$$V$$ tiene la distribución estándar de valores extremos para mínimos. Tenga en cuenta que$$X \ge 0$$ si y solo si$$V \ge 0$$. De ahí que la distribución condicional de$$X$$ dado$$X \ge 0$$ sea la misma que la distribución condicional de$$b V$$ dado$$V \ge 0$$. Pero por el resultado por encima de la distribución condicional de$$V$$ dado$$V \ge 0$$ tiene la distribución estándar de Gompertz.

Finalmente, damos una ligera generalización de la conexión anterior entre la distribución de Gompertz y la distribución exponencial.

Supongamos que$$a, \, b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$X$$ tiene la distribución Gompertz con el parámetro shape$$a$$ y el parámetro scale$$b$$, entonces$$Y = e^{X/b} - 1$$ tiene la distribución exponencial con el parámetro rate$$a$$.
2. Si$$Y$$ tiene la distribución exponencial con el parámetro rate$$a$$, entonces$$X = b \ln(Y + 1)$$ tiene la distribución Gompertz con el parámetro shape$$a$$ y el parámetro scale$$b$$.
Prueba

Estos resultados se derivan del resultado correspondiente para la distribución básica.

1. Si$$X$$ tiene la distribución Gompertz con el parámetro shape$$a$$ y el parámetro scale$$b$$, entonces$$X / b$$ tiene la distribución básica de Gompertz con el parámetro shape$$a$$. De ahí$$Y = e^{X / b} - 1$$ que tenga la distribución exponencial con parámetro de tasa$$a$$.
2. Si$$Y$$ tiene la distribución exponencial con el parámetro rate$$a$$ entonces$$\ln (Y + 1)$$ tiene la distribución básica de Gompertz con el parámetro shape$$a$$ y por lo tanto$$X = b \ln (Y + 1)$$ tiene la distribución Gompertz con el parámetro shape$$a$$ y el parámetro scale$$b$$. (

Como corolario, podemos construir una variable Gompertz general a partir de una variable exponencial estándar. Específicamente, si$$Y$$ tiene la distribución exponencial estándar y si$$a, \, b \in (0, \infty)$$ entonces$X = b \ln\left(\frac{1}{a} Y + 1\right)$ tiene la distribución Gompertz con parámetro shape$$a$$ y parámetro scale$$b$$.

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