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# 5.35: La distribución log-logística

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Como su nombre indica, la distribución log-logística es la distribución de una variable cuyo logaritmo tiene la distribución logística. La distribución log-logística se utiliza a menudo para modelar tiempos de vida aleatorios y, por lo tanto, tiene aplicaciones en confiabilidad.

## La distribución log-logística básica

### Funciones de distribución

La distribución log-logística básica con parámetro de forma$$k \in (0, \infty)$$ es una distribución continua$$[0, \infty)$$ con función de distribución$$G$$ dada por$G(z) = \frac{z^k}{1 + z^k}, \quad z \in [0, \infty)$ En el caso especial de que$$k = 1$$, la distribución es la distribución log-logística estándar.

Prueba

Tenga en cuenta que$$G$$ es continuo$$[0, \infty)$$ con$$G(0) = 0$$ y$$G(z) \to 1$$ como$$z \to \infty$$. Por otra parte,$g(z) = G^\prime(z) = \frac{k z^{k-1}}{(1 + z^k)^2} \gt 0, \quad z \in (0, \infty)$ por lo que$$G$$ está aumentando estrictamente en$$[0, \infty)$$.

La función de la función de densidad de probabilidad$$g$$ viene dada por$g(z) = \frac{k z^{k-1}}{(1 + z^k)^2}, \quad z \in (0, \infty)$

1. Si$$0 \lt k \lt 1$$,$$g$$ es decreciente con$$g(z) \to \infty$$ as$$z \downarrow 0$$.
2. Si$$k = 1$$,$$g$$ es defraudar con modo$$z = 0$$.
3. Si$$k \gt 1$$,$$g$$ aumenta y luego disminuye con el modo$$z = \left(\frac{k - 1}{k + 1}\right)^{1/k}.$$
4. Si$$k \le 1$$,$$g$$ es cóncava hacia arriba.
5. Si$$1 \lt k \le 2$$,$$g$$ es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en$z = \left[\frac{2 (k^2 - 1) + 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k}$
6. Si$$k \gt 2$$,$$g$$ es cóncavo hacia arriba luego hacia abajo y luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en$z = \left[\frac{2 (k^2 - 1) \pm 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k}$
Prueba

El PDF$$g = G^\prime$$ se computó en la prueba del resultado de CDF. El resto sigue de\ begin {align} g^ {\ prime} (z) & =\ frac {k z^ {k-2} [(k - 1) - (k + 1) z^k]} {(1 + z^k) ^3},\ quad z\ in (0,\ infty)\\ g^ {\ prime\ prime} (z) & =\ frac {k z^ {k - 3}\ izquierda [(k - 1) (k - 2) - 4 (k^2 -1) z^k + (k + 1) (k + 2) z^ {2 k}\ derecha]} {(1 + z^k) ^4},\ quad z\ in (0,\ infty)\ end {align}

Así que$$g$$ tiene una rica variedad de formas, y es unimodal si$$k \gt 1$$. Cuando$$k \ge 1$$, también$$g$$ se define en 0.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Variar el parámetro shape y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función quantile$$G^{-1}$$ viene dada por$G^{-1}(p) = \left(\frac{p}{1 - p}\right)^{1/k}, \quad p \in [0, 1)$

1. El primer cuartil es$$q_1 = (1/3)^{1/k}$$.
2. La mediana es$$q_2 = 1$$.
3. El tercer cuartil es$$q_3 = 3^{1/k}$$.
Prueba

La fórmula para$$G^{-1}$$ se desprende de la función de distribución resolviendo$$p = G(z)$$ para$$z$$ en términos de$$p$$.

Recordemos que$$p \big/ (1 - p)$$ es la razón de probabilidades asociada con la probabilidad$$p \in (0, 1)$$. Así, la función cuantil de la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$ es la raíz$$k$$ th de la función odds ratio. En particular, la función cuantil de la distribución log-logística estándar es la propia función odds ratio. También es de interés que la mediana sea 1 por cada valor del parámetro shape.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro shape, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

La función de confiabilidad$$G^c$$ viene dada por$G^c(z) = \frac{1}{1 + z^k}, \quad z \in [0, \infty)$

Prueba

Esto se desprende trivialmente de la función de distribución desde$$G^c = 1 - G$$.

La distribución log-logística básica tiene una tasa de falla decreciente o una tasa de falla mixta decreciente y creciente, dependiendo del parámetro de forma.

La función de tasa de fallas$$r$$ viene dada por$r(z) = \frac{k z^{k-1}}{1 + z^k}, \quad z \in (0, \infty)$

1. Si$$0 \lt k \le 1$$,$$r$$ es decreciente.
2. Si$$k \gt 1$$,$$r$$ disminuye y luego aumenta con mínimo en$$z = (k - 1)^{1/k}$$.
Prueba

Recordemos que el es$$r(z) = g(z) \big/ G^c(z)$$ por$$z \in (0, \infty)$$ lo que la fórmula se desprende del PDF y la función de confiabilidad anterior. Las partes (a) y (b) siguen de$r^\prime(z) = \frac{k z^{k-1}[(k - 1) - z^k]}{(1 + z^k)^2}, \quad z \in (0, \infty)$

Si$$k \ge 1$$,$$r$$ se define en 0 también.

### Momentos

Supongamos que$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k \in (0, \infty)$$. Los momentos (aproximadamente 0) del$$Z$$ tienen una expresión interesante en términos de la función beta$$B$$ y en términos de la función seno. La representación más simple es en términos de una nueva función especial construida a partir de la función sinusoidal.

La función senoidal cardinal (normalizada) sinc se define por$\sinc(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}, \quad x \in \R$ donde se entiende eso$$\sinc(0) = 1$$ (el valor limitante).

Si$$n \ge k$$ entonces$$\E(Z^n) = \infty$$. Si$$0 \le n \lt k$$ entonces$\E(Z^n) = B\left(1 - \frac{n}{k}, 1 + \frac{n}{k}\right) = \frac{1}{\sinc(n / k)}$

Prueba

Usando el PDF,$\E(Z^n) = \int_0^\infty z^n \frac{k z^{k-1}}{(1 + z^k)^2} dz$ La sustitución$$u = 1 / (1 + z^k)$$,$$du = -k z^{k-1}/(1 + z^k)^2$$ da$\E(Z^n) = \int_0^1 (1/u - 1)^{n/k} du = \int_0^1 u^{-n/k} (1 - u)^{n/k} du$ El resultado ahora se desprende de la definición de la función beta.

En particular, podemos dar la media y varianza.

Si$$k \gt 1$$ entonces$\E(Z) = \frac{1}{\sinc(1/k)}$

Si$$k \gt 2$$ entonces$\var(Z) = \frac{1}{\sinc(2 / k)} - \frac{1}{\sinc^2(1 / k)}$

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe el parámetro de forma y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

### Distribuciones Relacionadas

La distribución log-logística básica se conserva bajo transformaciones de poder.

Si$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape$$k \in (0, \infty)$$ y if$$n \in (0, \infty)$$, entonces$$W = Z^n$$ tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape$$k / n$$.

Prueba

Para$$w \in [0, \infty)$$,$\P(W \le w) = \P(Z \le w^{1/n}) = G\left(w^{1/n}\right) = \frac{w^{k/n}}{1 + w^{k/n}}$ En función de$$w$$, esta es la CDF de la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k/n$$.

En particular, se deduce que si$$V$$ tiene la distribución log-logística estándar y$$k \in (0, \infty)$$, entonces$$Z = V^{1/k}$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$.

La distribución log-logística tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil dada anteriormente.

Supongamos que$$k \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$$Z = G^{-1}(U) = \left[U \big/ (1 - U)\right]^{1/k}$$ tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape$$k$$.
2. Si$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$ entonces$$U = G(Z) = Z^k \big/ (1 + Z^k)$$ tiene la distribución uniforme estándar.

Dado que la función cuantil de la distribución log-logística básica tiene una forma cerrada simple, la distribución se puede simular utilizando el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución log-logística. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

Por supuesto, como se mencionó en la introducción, la distribución log-logística está relacionada con la distribución logística.

Supongamos que$$k, \, b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape$$k$$ entonces$$Y = \ln Z$$ tiene la distribución logística con el parámetro de ubicación 0 y el parámetro de escala$$1/k$$.
2. Si$$Y$$ tiene la distribución logística con parámetro de ubicación$$0$$ y parámetro de escala$$b$$ entonces$$Z = e^Y$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro de forma$$1 / b$$.
Prueba
1. Supongamos primero que$$Z$$ tiene la distribución log-logística estándar. Entonces$\P(Y \le y) = \P\left(Z \le e^y\right) = \frac{e^y}{1 + e^y}, \quad y \in \R$ y en función de$$y$$, este es el CDF de la distribución logística estándar. Supongamos ahora que$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. A partir del resultado de potencia, podemos tomar$$Z = W^{1/k}$$ donde$$W$$ tiene la distribución log-logística estándar. Entonces$$Y = \ln Z = \frac{1}{k} \ln W$$. Pero$$\ln(W)$$ tiene la distribución logística estándar, y por lo tanto$$\frac{1}{k} \ln W$$ tiene la distribución logística con parámetro de ubicación$$0$$ y parámetro de escala$$1/k$$
2. Supongamos primero que$$Y$$ tiene la distribución logística estándar. Entonces$\P(Z \le z) = \P[Y \le \ln(z)] = \frac{e^{\ln z}}{1 + e^{\ln z }} = \frac{z}{1 + z}, \quad z \in (0, \infty)$ y en función de$$z$$, este es el CDF de la distribución log-logística estándar. Supongamos ahora que$$Y$$ tiene la distribución logística con el parámetro de ubicación 0 y el parámetro de escala$$b$$. Podemos tomar$$Y = b V$$ donde$$V$$ tiene la distribución logística estándar. De ahí$$Z = e^Y = e^{b V} = \left(e^V\right)^b$$. Pero$$e^V$$ tiene la distribución log-logística estándar, y nuevamente por el resultado de potencia$$\left(e^V\right)^b$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$1 / b$$.

Como caso especial, (y como se señala en la prueba), si$$Z$$ tiene la distribución log-logística estándar, entonces$$Y = \ln Z$$ tiene la distribución logística estándar, y si$$Y$$ tiene la distribución logística estándar, entonces$$Z = e^Y$$ tiene la distribución log-logística estándar.

La distribución log-logística estándar es la misma que la distribución estándar beta prime.

Prueba

El PDF de la distribución log-logística estándar es$$g(z) = 1 \big/ (1 + z)^2$$ para$$z \in [0, \infty)$$, que es el mismo que el PDF de la distribución beta prime estándar.

Por supuesto, limitar las distribuciones con respecto a los parámetros siempre son interesantes.

La distribución log-logística básica con parámetro de forma$$k \in (0, \infty)$$ converge a masa puntual en 1 as$$k \to \infty$$.

Prueba de la definición

Tenga en cuenta que la función de distribución satisface en$$G(z) \to 0$$ cuanto a$$0 \le z \lt 1$$,$$k \to \infty$$$$G(1) = \frac{1}{2}$$ para todos$$k \gt 1$$, y en$$G(z) \to 1$$$$k \to \infty$$ cuanto a$$z \gt 1$$. Excepto por el punto de discontinuidad$$z = 1$$, los valores limitantes son la función de distribución de la masa puntual en 1.

Prueba de variables aleatorias

Supongamos que$$V$$ tiene la distribución log-logística estándar, y for$$k \in (0, \infty)$$, let$$Z_k = V^{1/k}$$, así que$$Z_k$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. El evento$$\{V \gt 0\}$$ tiene probabilidad 1, y sobre este evento,$$Z_k \to 1$$ como$$k \to \infty$$. Pero la convergencia con probabilidad 1 implica convergencia en la distribución.

## La distribución log-logística general

La distribución log-logística básica se generaliza, como tantas distribuciones en$$[0, \infty)$$, agregando un parámetro de escala. Recordemos que una transformación de escala a menudo corresponde a un cambio de unidades (galones en litros, por ejemplo), por lo que tales transformaciones son de importancia básica.

Si$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k \in (0, \infty)$$ y si$$b \in (0, \infty)$$ entonces$$X = b Z$$ tiene la distribución log-logística con parámetro shape$$k$$ y parámetro scale$$b$$.

### Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro shape$$k \in (0, \infty)$$ y parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene función de distribución$$F$$ dada por$F(x) = \frac{x^k}{b^k + x^k}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Recordemos que$$F(x) = G(x / b)$$ donde$$G$$ está la función de distribución de la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$.

$$X$$tiene función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = \frac{b^k k x^{k-1}}{(b^k + x^k)^2}, \quad x \in (0, \infty)$ Cuando$$k \ge 1$$,$$f$$ se define en 0 también. $$f$$satisface las siguientes propiedades:

1. Si$$0 \lt k \lt 1$$,$$f$$ es decreciente con$$f(x) \to \infty$$ as$$x \downarrow 0$$.
2. Si$$k = 1$$,$$f$$ es defraudar con modo$$x = 0$$.
3. Si$$k \gt 1$$,$$f$$ aumenta y luego disminuye con el modo$$x = b \left(\frac{k - 1}{k + 1}\right)^{1/k}.$$
4. Si$$k \le 1$$,$$f$$ es cóncava hacia arriba.
5. Si$$1 \lt k \le 2$$,$$f$$ es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en$x = b \left[\frac{2 (k^2 - 1) + 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k}$
6. Si$$k \gt 2$$,$$f$$ es cóncavo hacia arriba luego hacia abajo y luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en$x = b \left[\frac{2 (k^2 - 1) \pm 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k}$
Prueba

Recordemos que$$f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x}{b}\right)$$ donde$$g$$ está la función de densidad de probabilidad de la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. También por supuesto,$$f = F^\prime$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(p) = b \left(\frac{p}{1 - p}\right)^{1/k}, \quad p \in [0, 1)$

1. El primer cuartil es$$q_1 = b (1/3)^{1/k}$$.
2. La mediana es$$q_2 = b$$.
3. El tercer cuartil es$$q_3 = b 3^{1/k}$$.
Prueba

Recordemos que$$F^{-1}(p) = b G^{-1}(p)$$ para$$p \in [0, 1)$$ donde$$G^{-1}$$ está la función quantlie de la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y esclae y anote la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

$$X$$tiene la función de confiabilidad$$F^c$$ dada por$F^c(x) = \frac{b^k}{b^k + x^k}, \quad x \in [0, \infty)$

Prueba

Esto se desprende trivialmente de la función de distribución, ya que$$F^c = 1 - F$$.

La distribución log-logística tiene una tasa de falla decreciente o una tasa de falla mixta decreciente y creciente, dependiendo del parámetro de forma.

$$X$$tiene función de tasa de fallas$$R$$ dada por$R(x) = \frac{k x^{k-1}}{b^k + x^k}, \quad x \in (0, \infty)$

1. Si$$0 \lt k \le 1$$,$$R$$ es decreciente.
2. Si$$k \gt 1$$,$$R$$ disminuye y luego aumenta con mínimo en$$x = b (k - 1)^{1/k}$$.
Prueba

Recordemos que$$R(x) = \frac{1}{b} r\left(\frac{x}{b}\right)$$ donde$$r$$ está la función de tasa de fallas de la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. También,$$R = f \big/ F^c$$ donde$$f$$ esta el PDF y$$F^c$$ es la función de confiabilidad,.

### Momentos

Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro shape$$k \in (0, \infty)$$ y parámetro scale$$b \in (0, \infty)$$. Los momentos de$$X$$ pueden ser calculados fácilmente a partir de la representación$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. Nuevamente, las expresiones son más simples en términos de la función beta$$B$$ y en términos de la función sinusoidal cardinal normalizada sinc.

Si$$n \ge k$$ entonces$$\E(X^n) = \infty$$. Si$$0 \le n \lt k$$ entonces$\E(X^n) = b^n B\left(1 - \frac{n}{k}, 1 + \frac{n}{k}\right) = \frac{b^n}{\sinc(n / k)}$

Si$$k \gt 1$$ entonces$\E(X) = \frac{b}{\sinc(1/k)}$

Si$$k \gt 2$$ entonces$\var(X) = b^2 \left[\frac{1}{\sinc(2 / k)} - \frac{1}{\sinc^2(1 / k)} \right]$

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación media/estándar. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecutar la simulación 1000 veces compara la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y desviación estándar.

### Distribuciones Relacionadas

Dado que la distribución log-logística es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala.

Si$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k \in (0, \infty)$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, y si$$c \in (0, \infty)$$, entonces$$Y = c X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k$$ y parámetro de escala$$b c$$.

Prueba

Por definición podemos tomar$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. Pero entonces$$Y = c X = (b c) Z$$.

La distribución log-logística se conserva bajo transformaciones de potencia.

Si$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k \in (0, \infty)$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, y si$$n \in (0, \infty)$$, entonces$$Y = X^n$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k / n$$ y parámetro de escala$$b^n$$.

Prueba

Nuevamente podemos tomar$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. Entonces$$X^n = b^n Z^n$$. Pero por el resultado de potencia para la distribución estándar,$$Z^n$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro de forma$$k / n$$ y por lo tanto$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k / n$$ y parámetro de escala$$b^n$$.

En particular, si$$V$$ tiene la distribución log-logística estándar, entonces$$X = b V^{1/k}$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k$$ y parámetro de escala$$b$$.

Como antes, la distribución log-logística tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

Supongamos que$$k, \, b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$X = F^{-1}(U) = b \left[U \big/ (1 - U)\right]^{1/k}$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k$$ y parámetro de escala$$b$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k$$ y parámetro de escala$$b$$, entonces$$U = F(X) = X^k \big/ (b^k + X^k)$$ tiene la distribución uniforme estándar.

Nuevamente, dado que la función cuantil de la distribución log-logística tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, media y desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

Nuevamente, el logaritmo de una variable log-logística tiene la distribución logística.

Supongamos que$$k, \, b, \, c \in (0, \infty)$$ y$$a \in \R$$.

1. Si$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$k$$ y parámetro de escala$$b$$ entonces$$Y = \ln X$$ tiene la distribución logística con parámetro de ubicación$$\ln b$$ y parámetro de escala$$1 / k$$.
2. Si$$Y$$ tiene la distribución logística con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$c$$ entonces$$X = e^Y$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$1/c$$ y parámetro de escala$$e^a$$.
Prueba
1. Como se señaló anteriormente, podemos tomar$$X = b V^{1/k}$$ donde$$V$$ tiene la distribución log-logística estándar. Entonces$$Y = \ln X = \ln b + \frac{1}{k} \ln V$$. Pero por el resultado correspondiente para la distribución básica,$$\ln V$$ tiene la distribución logística estándar, también lo$$Y$$ tiene la distribución logística con parámetro de ubicación$$\ln b$$ y parámetro de escala$$1/k$$.
2. Podemos tomar$$Y = a + c U$$ donde$$U$$ tiene la distribución logística estándar. De ahí$$X = e^Y = e^a e^{c U} = e^a \left(e^U\right)^c$$. Pero por el resultado resultado correspondiente para la distribución estándar,$$e^U$$ tiene la distribución log-logística estándar así lo$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro de forma$$1/c$$ y parámetro de escala$$e^a$$.

Una vez más, la distribución limitante también es de interés.

Para fijo$$b \in (0, \infty)$$, la distribución log-logística con parámetro de forma$$k \in (0, \infty)$$ y parámetro de escala$$b$$ converge para señalar la masa en$$b$$ as$$k \to \infty$$.

Prueba

Si$$X$$ tiene la distribución log-logística con parámetro shape$$k$$ y parámetro scale$$b$$, entonces como de costumbre, podemos escribir$$X = b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape$$k$$. A partir del resultado límite para la distribución básica, sabemos que la distribución de$$Z$$ converge a masa puntual en 1 as$$k \to \infty$$, por lo que sigue por el teorema de continuidad que la distribución de$$X$$ converge a punto masa en$$b$$ as$$k \to \infty$$.

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