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# 5.41: La distribución logarítmica en serie

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La distribución de series logarítmicas, como su nombre indica, se basa en la expansión de la serie de potencia estándar de la función logaritmo natural. También a veces se le conoce más simplemente como la distribución logarítmica.

## Teoría Básica

### Funciones de distribución

La distribución de serie logarítmica con parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ es una distribución discreta$$\N_+$$ con función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(n) = \frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p^n}{n}, \quad n \in \N_+$

1. $$f$$está disminuyendo con el modo$$n = 1$$.
2. Cuando se alisa,$$f$$ es cóncava hacia arriba.
Prueba

Recordemos que la serie de potencia estándar para$$-\ln(1 - p)$$, obtenida integrando la serie geométrica$$\sum_{n=0}^\infty p^n = 1 \big/ (1 - p)$$, es$-\ln(1 - p) = \sum_{n=1}^\infty \frac{p^n}{n}, \quad p \in (0, 1)$ Para las propiedades, considere la función$$x \mapsto p^x \big/ x$$ on$$[1, \infty)$$. La primera derivada es la$\frac{p^x [x \ln(p) - 1]}{x^2}$ que es negativa, y la segunda derivada es la$\frac{p^x \left[x^2 \ln^2(p) - 2 x \ln(p) + 2\right]}{x^3}$ que es positiva

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de series logarítmicas. Varíe el parámetro y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución y la función cuantil no tienen formas simples y cerradas en términos de las funciones elementales estándar.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución de series logarítmicas. Varíe el parámetro y anote la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, compute la mediana y el primer y tercer cuartiles.

### Momentos

Supongamos nuevamente que la variable aleatoria$$N$$ tiene la distribución de serie logarítmica con el parámetro shape$$p \in (0, 1)$$. Recordemos que la fórmula de permutación es$$n^{(k)} = n (n - 1) \cdots (n - k + 1)$$ para$$n \in \R$$ y$$k \in \N$$. Los momentos factoriales de$$N$$ son$$\E\left(N^{(k)}\right)$$ para$$k \in \N$$.

Los momentos factoriales de$$N$$ están dados por$\E\left(N^{(k)}\right) = \frac{(k - 1)!}{-\ln(1 - p)} \left(\frac{p}{1 - p}\right)^k, \quad k \in \N_+$

Prueba

Recordemos que una serie de potencias puede diferenciarse término por término dentro del intervalo abierto de convergencia. De ahí\ begin {align}\ E\ left (N^ {(k)}\ right) & =\ sum_ {n=1} ^\ infty n^ {(k)}\ frac {1} {-\ ln (1 - p)}\ frac {p^n} {n} =\ frac {p^k} {-\ ln (1 - p)}\ sum_ {n=k} ^\ infty n^ {(k)}\ frac {p^ {n-k}} {n}\\ & =\ frac {p^k} {-\ ln (1 - p)}\ sum_ {n=k} ^\ infty\ frac {d^k} {dp^k}\ frac {p^k}\ frac {p^n} {n} =\ frac {p^k} {-\ ln (1 - p)}\ frac {d^k} {dp^k}\ suma _ {n=1} ^\ infty\ frac {p^n} {n}\\ = &\ frac {p^k} {-\ ln (1 - p)}\ frac {d^k} {dp^k} [-\ ln (1 - p)] =\ frac {p^k} {-\ ln (1 - p)} (k - 1)! (1 - p) ^ {-k}\ end {align}

La media y varianza$$N$$ de

1. $\E(N) = \frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p}{1 - p}$
2. $\var(N) = \frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p}{(1 - p)^2} \left[1 - \frac{p}{-\ln(1 - p)} \right]$
Prueba

Estos resultados se siguen fácilmente desde los momentos factoriales. Para la parte (b), anote primero que$\E\left(N^2\right) = \E[N(N - 1)] + \E(N) = \frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p}{(1 - p)^2}$ El resultado luego se desprende de la fórmula computacional habitual$$\var(N) = \E\left(N^2\right) - [\E(N)]^2$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución de serie logarítmica. Varíe el parámetro y anote la forma de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La función de generación de probabilidad$$P$$ de$$N$$ viene dada por$P(t) = \E\left(t^N\right) = \frac{\ln(1 - p t)}{\ln(1 - p)}, \quad \left|t\right| \lt \frac{1}{p}$

Prueba$P(t) = \sum_{n=1}^\infty t^n \frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p^n}{n} = \frac{1}{-\ln(1 - p)} \sum_{n=1}^\infty \frac{(p t)^n}{n} = \frac{-\ln(1 - p t)}{-\ln(1 - p)}$

Los momentos factoriales anteriores también se pueden obtener de la función generadora de probabilidad, ya que$$P^{(k)}(1) = \E\left(N^{(k)}\right)$$ para$$k \in \N_+$$.

Naturalmente, los límites de la distribución de series logarítmicas con respecto al parámetro$$p$$ son de interés.

La distribución de serie logarítmica con parámetro shape$$p \in (0, 1)$$ converge a masa puntual en 1 as$$p \downarrow 0$$.

Prueba

Una aplicación de la regla de L'Hospitales a la PGF$$P$$ anterior muestra que$$\lim_{p \downarrow 0} P(t) = t$$, que es la PGF de masa puntual a 1.

La distribución de serie logarítmica es una distribución de serie de potencia asociada con la función$$g(p) = -\ln(1 - p)$$ for$$p \in [0, 1)$$.

Prueba

Esto se desprende de la definición de una distribución en serie de potencia, ya que como se señala en la prueba PDF,$\sum_{n=1}^\infty \frac{p^n}{n} = - \ln(1 - p), \quad p \in [0, 1)$

Los resultados de momento anteriores realmente siguen de resultados generales para distribuciones de series de potencia. La distribución compuesta de Poisson basada en la distribución logarítmica en serie da una distribución binomial negativa.

Supongamos que$$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots)$$ es una secuencia de variables aleatorias independientes cada una con la distribución de series logarítmicas con parámetro$$p \in (0, 1)$$. Supongamos también que$$N$$ es independiente$$\bs{X}$$ y tiene la distribución de Poisson con parámetro de tasa$$r \in (0, \infty)$$. Luego$$Y = \sum_{i = 1}^N X_i$$ tiene la distribución binomial negativa encendida$$\N$$ con parámetros$$1 - p$$ y$$-r \big/\ln(1 - p)$$

Prueba

El PGF de$$Y$$ es$$Q \circ P$$, donde$$P$$ está el PGF de la distribución de series logarítmicas, y donde$$Q$$ está el PGF de la distribución de Poisson$$Q(s) = e^{r(s - 1)}$$ para que para$$s \in \R$$. Así tenemos$(Q \circ P)(t) = \exp \left(r \left[\frac{\ln(1 - p t)}{\ln(1 - p)} - 1\right]\right), \quad \left|t\right| \lt \frac{1}{p}$ Con un poco de álgebra, esto se puede escribir en la forma$(Q \circ P)(t) = \left(\frac{1 - p}{1 - p t}\right)^{-r / \ln(1 - p)}, \quad \left|t\right| \lt \frac{1}{p}$ que es el PGF de la distribución binomial negativa con parámetros$$1 - p$$ y$$-r \big/ \ln(1 - p)$$.

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