13.7: Loterías
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— E*TRADE baby, enero de 2010.
Las loterías se encuentran entre los juegos más simples y jugados de todos los juegos de azar, y desafortunadamente para el jugador, entre los peores en términos de valor esperado. Las loterías vienen en una cantidad tan increíble de variaciones que no es práctico analizarlas todas. Entonces, en esta sección, estudiaremos algunos de los formatos de lotería más comunes.
La Lotería Básica
Formato Básico
La lotería básica es un experimento aleatorio en el que la casa de juego (en muchos casos una agencia gubernamental) selecciona\(n\) números al azar, sin reemplazo, de los enteros del 1 al\(N\). Los parámetros enteros\(N\) y\(n\) varían de una lotería a otra, y por supuesto,\(n\) no puede ser mayor que\(N\). El orden en que se eligen los números generalmente no importa, y así en este caso, el espacio muestral\(S\) del experimento consiste en todos los subconjuntos (combinaciones) de tamaño\(n\) elegidos de la población\(\{1, 2, \ldots, N\}\). \[ S = \left\{ \bs{x} \subseteq \{1, 2, \ldots, N\}: \#(\bs{x}) = n\right\} \]
Recordemos que\[ \#(S) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n! (N - n)!}\]
Naturalmente, asumimos que todas esas combinaciones son igualmente probables y, por lo tanto, la combinación elegida\(\bs{X}\), la variable aleatoria básica del experimento, se distribuye uniformemente en\(S\). \[ \P(\bs{X} = \bs{x}) = \frac{1}{\binom{N}{n}}, \quad \bs{x} \in S \]El jugador de la lotería paga una cuota y llega a seleccionar\(m\) números, sin reemplazo, de los enteros del 1 al\(N\). Nuevamente, el orden no importa, por lo que el jugador esencialmente elige una combinación\(\bs{y}\) de tamaño\(m\) de la población\(\{1, 2, \ldots, N\}\). En muchos casos\(m = n\), para que el jugador pueda elegir el mismo número de números que la casa. En general entonces, hay tres parámetros en la \((N, n, m)\)lotería básica.
El objetivo del jugador, por supuesto, es maximizar el número de partidos (a menudo llamados capturas por los jugadores) entre su combinación\(\bs{y}\) y la combinación aleatoria\(\bs{X}\) elegida por la casa. Esencialmente, el jugador está tratando de adivinar el resultado del experimento aleatorio antes de que se ejecute. Así, vamos a\(U = \#(\bs{X} \cap \bs{y})\) denotar el número de capturas.
El número de capturas\(U\) en el\((N, n, m)\), lotería tiene función de densidad de probabilidad dada por\[ \P(U = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{N - m}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, m\} \]
La distribución de\(U\) es la distribución hipergeométrica con parámetros\(N\), y\(n\)\(m\), y se estudia en detalle en el capítulo sobre Modelos de Muestreo Finito. En particular, de esta sección, se deduce que la media y varianza del número de capturas\(U\) son\ begin {align}\ E (U) = & n\ frac {m} {N}\\ var (U) = & n\ frac {m} {N}\ left (1 -\ frac {m} {N}\ right)\ frac {N - n} {N - 1}\ end {align} Tenga en cuenta que\(\P(U = k) = 0\) si\(k \gt n\) o\(k \lt n + m - N\). Sin embargo, en la mayoría de loterías,\(m \le n\) y\(N\) es mucho más grande que\(n + m\). En estos casos comunes, la función de densidad es positiva para los valores de\(k\) dados anteriormente.
Nos referiremos al caso especial donde\(m = n\) como la \((N, n)\)lotería; este es el caso en la mayoría de las loterías estatales. En este caso, la función de densidad de probabilidad del número de capturas\(U\) es\[ \P(U = k) = \frac{\binom{n}{k} \binom{N - n}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\} \] La media y varianza del número de capturas\(U\) en este caso especial son\ begin {align}\ E (U) & =\ frac {n^2} {N}\\\ var (U) & =\ frac {n^2 (N - n) ^2} {N^2 (N - 1)}\ end {align}
Dé explícitamente la función de densidad de probabilidad, la media y la desviación estándar del número de capturas en la\((47, 5)\) lotería.
Responder
\(\E(U) = 0.5319148936\),\(\sd(U) = 0.6587832083\)
| \(k\) | \(\P(U = k)\) |
|---|---|
| 0 | 0.5545644253 |
| 1 | 0.3648450167 |
| 2 | 0.0748400034 |
| 3 | 0.0056130003 |
| 4 | 0.0001369024 |
| 5 | 0.0000006519 |
Dé explícitamente la función de densidad de probabilidad, la media y la desviación estándar del número de capturas en la\((49, 5)\) lotería.
Responder
\(\E(U) = 0.5102040816\),\(\sd(U) = 0.6480462207\)
| \(k\) | \(\P(U = k)\) |
|---|---|
| 0 | 0.5695196981 |
| 1 | 0.3559498113 |
| 2 | 0.0694536217 |
| 3 | 0.0049609730 |
| 4 | 0.0001153715 |
| 5 | 0.0000005244 |
Dé explícitamente la función de densidad de probabilidad, la media y la desviación estándar del número de capturas en la\((47, 7)\) lotería.
Responder
\(\E(U) = 1.042553191\),\(\sd(U) = 0.8783776109\)
| \(k\) | \(\P(U = k)\) |
|---|---|
| 0 | 0.2964400642 |
| 1 | 0.4272224454 |
| 2 | 0.2197144005 |
| 3 | 0.0508598149 |
| 4 | 0.0054983583 |
| 5 | 0.0002604486 |
| 6 | 0.0000044521 |
| 7 | 0.0000000159 |
El análisis anterior se basó en el supuesto de que la combinación del jugador\(\bs{y}\) se selecciona determinísticamente. ¿Importa si el jugador escogió la combinación de manera aleatoria? Así, supongamos que la combinación seleccionada del jugador\(\bs{Y}\) es una variable aleatoria que toma valores\(S\). (Por ejemplo, en muchas loterías, los jugadores pueden comprar boletos con combinaciones seleccionadas aleatoriamente por una computadora; esto se conoce típicamente como Quick Pick). Claramente,\(\bs{X}\) y\(\bs{Y}\) debe ser independiente, ya que el jugador (y su dispositivo de aleatorización) no pueden tener conocimiento de la combinación ganadora\(\bs{X}\). Como se puede adivinar, tal aleatorización no hace ninguna diferencia.
Dejar\(U\) denotar el número de capturas en la\((N, n, m)\) lotería cuando la combinación del jugador\(\bs{Y}\) es una variable aleatoria, independiente de la combinación ganadora\(\bs{X}\). Entonces\(U\) tiene la misma distribución que en el caso determinista anterior.
Prueba
Esto sigue condicionando el valor de\(\bs{Y}\):\[ \P(U = k) = \sum_{\bs{y} \in S} \P(U = k \mid \bs{Y} = \bs{y}) \P(\bs{Y} = \bs{y}) = \sum_{\bs{y} \in S} \P(U = k) \P(\bs{Y} = \bs{y}) = \P(U = k) \]
Son muchos los sitios web que publican datos sobre la frecuencia de ocurrencia de números en diversas loterías estatales. Algunos jugadores evidentemente sienten que algunos números son más afortunados que otros.
Dados los supuestos y análisis anteriores, ¿cree que algunos números tienen más suerte que otros? ¿Tiene algún sentido matemático estudiar datos históricos para una lotería?
El dinero del premio en la mayoría de las loterías estatales depende de las ventas de los boletos de lotería. Por lo general, alrededor del 50% del dinero de las ventas se devuelve como dinero del premio; el resto va para gastos administrativos y ganancias para el estado. El dinero total del premio se divide entre los boletos ganadores, y el premio para un boleto determinado depende del número de capturas\(U\). Por todas estas razones, es imposible dar un simple análisis matemático del valor esperado de jugar una lotería estatal dada. Tenga en cuenta sin embargo, que dado que el estado mantiene un porcentaje fijo de las ventas, esencialmente no hay riesgo para el estado.
Desde el punto de vista del juego puro, las loterías estatales son malos juegos. En la mayoría de los juegos de casino, en comparación, el 90% o más del dinero que entra se devuelve a los jugadores como premio en efectivo. Por supuesto, las loterías estatales deben ser vistas como una forma de tributación voluntaria, no simplemente como juegos. Las ganancias de las loterías generalmente se utilizan para educación, atención médica y otros servicios esenciales. Una discusión sobre el valor y los costos de las loterías desde un punto de vista político y social (a diferencia de uno matemático) está fuera del alcance de este proyecto.
Números de bonificación
Muchas loterías estatales ahora aumentan el formato básico\((N, n)\), con un número de bono. El número de bonificación\(T\) se selecciona de un conjunto específico de enteros, además de la combinación\(\bs{X}\), seleccionados como antes. El jugador también elige un número de bonificación\(s\), además de una combinación\(\bs{y}\). El premio del jugador entonces depende del número de capturas\(U\) entre\(\bs{X}\) y\(\bs{y}\), como antes, y además de si el número de bonificación del jugador\(s\) coincide con el número de bonificación aleatorio\(T\) elegido por la casa. Vamos a dejar\(I\) denotar la variable indicadora de este último evento. Así, nuestro interés ahora está en la distribución conjunta de\((I, U)\).
En un formato común, el número de bono\(T\) se selecciona al azar del conjunto de números enteros\(\{1, 2, \ldots, M\}\), independientemente de la combinación\(\bs{X}\) de tamaño\(n\) elegida\(\{1, 2, \ldots, N\}\). Por lo general\(M \lt N\). Tenga en cuenta que con este formato, el juego es esencialmente dos loterías independientes, una en el formato\((N, n)\), y la otra en el\((M, 1)\), formato.
Calcular explícitamente la función de densidad de probabilidad conjunta de\((I, U)\) para la\((47, 5)\) lotería con número de bonificación independiente del 1 al 27. Este formato se utiliza en la lotería de California, entre otros.
Responder
Distribución conjunta de\((I, U)\)
| \(\P(I = i, U = k)\) | \(i = 0\) | 1 |
|---|---|---|
| \(k = 0\) | 0.5340250022 | 0.0205394232 |
| 1 | 0.3513322383 | 0.0135127784 |
| 2 | 0.0720681514 | 0.0027718520 |
| 3 | 0.0054051114 | 0.0002078889 |
| 4 | 0.0001318320 | 0.0000050705 |
| 5 | 0.0000006278 | 0.0000000241 |
Calcular explícitamente la función de densidad de probabilidad conjunta de\((I, U)\) para la\((49, 5)\) lotería con número de bonificación independiente del 1 al 42. Este formato se utiliza en la lotería Powerball, entre otros.
Responder
Distribución conjunta de\((I, U)\)
| \(\P(I = i, U = k)\) | \(i = 0\) | 1 |
|---|---|---|
| \(k = 0\) | 0.5559597053 | 0.0135599928 |
| 1 | 0.3474748158 | 0.0084749955 |
| 2 | 0.0677999641 | 0.0016536577 |
| 3 | 0.0048428546 | 0.0001181184 |
| 4 | 0.0001126245 | 0.0000027469 |
| 5 | 0.0000005119 | 0.0000000125 |
En otro formato, el número de bonificación\(T\) se elige del 1 al\(N\), y es distinto de los números en la combinación\(\bs{X}\). Para modelar este juego, asumimos que\(T\) se distribuye uniformemente en\(\{1, 2, \ldots, N\}\), y dado\(T = t\),\(\bs{X}\) se distribuye uniformemente en el conjunto de combinaciones de tamaño\(n\) elegido de\(\{1, 2, \ldots, N\} \setminus \{t\}\). Para este formato, la función de densidad de probabilidad conjunta es más difícil de calcular.
La función de densidad de\((I, U)\) probabilidad de viene dada por\ begin {align}\ P (I = 1, U = k) & =\ frac {\ binom {n} {k}\ binom {N - 1 - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}},\ quad k\ in\ {0, 1,\ ldots, n\}\\ P (I = 0, U = k) & = (N - n + 1)\ frac {\ binom {n} {k}\ binom {N - 1 - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}} + n\ frac {\ binom {n - 1} {k}\ binom {N - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}},\ quad k\ in\ {0, 1,\ ldots, n\}\ end {align}
Prueba
La segunda ecuación se obtiene condicionando si\(T \in \{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\).
Calcular explícitamente la función de densidad de probabilidad conjunta de\((I, U)\) para la\((47, 7)\) lotería con el número de bono elegido como se describió anteriormente. Este formato se utiliza en la lotería Super 7 Canadá, entre otros.
Keno
Keno es un juego de lotería que se juega en los casinos. Para un fijo\(N\) (generalmente 80) y\(n\) (generalmente 20), el jugador puede jugar una variedad de\((N, n, m)\) juegos básicos, como se describe en la primera subsección. Por lo general,\(m\) varía de 1 a 15, y el pago depende de\(m\) y el número de capturas\(U\). En esta sección, calcularás la función de densidad, media y desviación estándar del pago aleatorio, basado en una apuesta unitaria, para un juego típico de keno con\(N = 80\),\(n = 20\), y\(m \in \{1, 2, \ldots, 15\}\). Las mesas de pago se basan en el juego de keno en el casino Tropicana en Atlantic City, Nueva Jersey.
Recordemos que la función de densidad de probabilidad del número de capturas\(U\) anteriores, viene dada por\[ \P(U = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{80 - m}{20 - k}}{\binom{80}{20}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, m\} \]
La tabla de pago para\(m = 1\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 |
|---|---|---|
| Payoff | 0 | 3 |
Responder
Escoger\(m = 1\),\(\E(V) = 0.75\),\(\sd(V) = 1.299038106\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.75 |
| 3 | 0.25 |
La tabla de pago para\(m = 2\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 12 |
Responder
Escoger\(m = 2\),\(E(V) = 0.7353943525\),\(\sd(V) = 5.025285956\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 12 | 0.0601265822 |
La tabla de pago para\(m = 3\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 1 | 43 |
Responder
Escoger\(m = 3\),\(\E(V) = 0.7353943525\),\(\sd(V) = 5.025285956\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.8473709834 |
| 1 | 0.1387536514 |
| 43 | 0.0138753651 |
La tabla de pago para\(m = 4\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 1 | 3 | 130 |
Responder
Escoger\(m = 4\),\(\E(V) = 0.7406201394\),\(\sd(V) = 7.198935911\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.7410532505 |
| 1 | 0.2126354658 |
| 3 | 0.0432478914 |
| 130 | 0.0030633923 |
La tabla de pago para\(m = 5\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 1 | 10 | 800 |
Responder
Escoger\(m = 5\),\(\E(V) = 0.7207981892\),\(\sd(V) = 20.33532453\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9033276850 |
| 1 | 0.0839350523 |
| 10 | 0.0120923380 |
| 800 | 0.0006449247 |
La tabla de pago para\(m = 6\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 95 | 1500 |
Responder
Escoger\(m = 6\),\(\E(V) = 0.7315342885\),\(\sd(V) = 17.83831647\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.8384179112 |
| 1 | 0.1298195475 |
| 4 | 0.0285379178 |
| 95 | 0.0030956385 |
| 1500 | 0.0001289849 |
La tabla de pago para\(m = 7\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 25 | 350 | 8000 |
Responder
Escoger\(m = 7\),\(\E(V) = 0.7196008747\),\(\sd(V) = 40.69860455\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9384140492 |
| 1 | 0.0521909668 |
| 25 | 0.0086385048 |
| 350 | 0.0007320767 |
| 8000 | 0.0000244026 |
La tabla de pago para\(m = 8\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 90 | 1500 | 25,000 |
Responder
Escoger\(m = 8\),\(\E(V) = 0.7270517606\),\(\sd(V) = 55.64771986\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9791658999 |
| 9 | 0.0183025856 |
| 90 | 0.0023667137 |
| 1500 | 0.0001604552 |
| 25,000 | 0.0000043457 |
La tabla de pago para\(m = 9\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 50 | 280 | 4000 | 50,000 |
Responder
Escoger\(m = 9\),\(\E(V) = 0.7270517606\),\(\sd(V) = 55.64771986\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9791658999 |
| 9 | 0.0183025856 |
| 90 | 0.0023667137 |
| 1500 | 0.0001604552 |
| 25,000 | 0.0000043457 |
La tabla de pago para\(m = 10\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 22 | 150 | 1000 | 5000 | 100,000 |
Responder
Escoger\(m = 10\),\(\E(V) = 0.7228896221\),\(\sd(V) = 38.10367609\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9353401224 |
| 1 | 0.0514276877 |
| 22 | 0.0114793946 |
| 150 | 0.0016111431 |
| 1000 | 0.0001354194 |
| 5000 | 0.0000061206 |
| 100,000 | 0.0000001122 |
La tabla de pago para\(m = 11\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 80 | 400 | 2500 | 25,000 | 100,000 |
Responder
Escoger\(m = 11\),\(\E(V) = 0.7138083347\),\(\sd(V) = 32.99373346\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9757475913 |
| 8 | 0.0202037345 |
| 80 | 0.0036078097 |
| 400 | 0.0004114169 |
| 2500 | 0.0000283736 |
| 25,000 | 0.0000010580 |
| 100,000 | 0.0000000160 |
La tabla de pago para\(m = 12\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 | 32 | 200 | 1000 | 5000 | 25,000 | 100,000 |
Responder
Escoger\(m = 12\),\(\E(V) = 0.7167721544\),\(\sd(V) = 20.12030014\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9596431653 |
| 5 | 0.0322088520 |
| 32 | 0.0070273859 |
| 200 | 0.0010195984 |
| 1000 | 0.0000954010 |
| 5000 | 0.0000054280 |
| 25,000 | 0.0000001673 |
| 100,000 | 0.0000000021 |
La tabla de pago para\(m = 13\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 20 | 80 | 600 | 3500 | 10,000 | 50,000 | 100,000 |
Prueba
Escoger\(m = 13\),\(\E(V) = 0.7216651326\),\(\sd(V) = 22.68311303\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9213238456 |
| 1 | 0.0638969375 |
| 20 | 0.0123151493 |
| 80 | 0.0021831401 |
| 600 | 0.0002598976 |
| 3500 | 0.0000200623 |
| 10,000 | 0.0000009434 |
| 50,000 | 0.0000000240 |
| 100,000 | 0.0000000002 |
La tabla de pago para\(m = 14\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 9 | 42 | 310 | 1100 | 8000 | 25,000 | 50,000 | 100,000 |
Responder
Escoger\(m = 14\),\(\E(V) = 0.7194160496\),\(\sd(V) = 21.98977077\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.898036333063 |
| 1 | 0.077258807301 |
| 9 | 0.019851285448 |
| 42 | 0.004181636518 |
| 310 | 0.000608238039 |
| 1100 | 0.000059737665 |
| 8000 | 0.000003811015 |
| 25,000 | 0.000000147841 |
| 50,000 | 0.000000003084 |
| 100,000 | 0.000000000026 |
La tabla de pago para\(m = 15\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.
| Atrapa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Payoff | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 25 | 100 | 300 | 2800 | 25,000 | 50,000 | 100,000 | 100,000 |
Responder
Escoger\(m = 15\),\(\E(V) = 0.7144017020\),\(\sd(V) = 24.31901706\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.95333046038902 |
| 1 | 0.00801614417729 |
| 10 | 0.02988971956684 |
| 25 | 0.00733144064847 |
| 100 | 0.00126716258122 |
| 300 | 0.00015205950975 |
| 2800 | 0.00001234249267 |
| 25,000 | 0.00000064960488 |
| 50,000 | 0.00000002067708 |
| 100,000 | 0.00000000035046 |
| 100,000 | 0.00000000000234 |
En los ejercicios anteriores, deberías haber notado que el pago esperado en una apuesta unitaria varía de aproximadamente 0.71 a 0.75, por lo que la ganancia esperada (para el jugador) varía de aproximadamente\(-0.25\) a\(-0.29\). Esto es bastante malo para el jugador que juega un juego de casino, pero como siempre, el atractivo de una ganancia muy alta en una apuesta pequeña para un evento extremadamente raro anula el análisis de valor esperado para la mayoría de los jugadores.
Con\(m = 15\), demostrar que los 4 primeros premios (25,000, 50,000, 100,000, 100,000) aportan solo alrededor de 0.017 (menos de 2 centavos) al valor total esperado de alrededor de 0.714.
Por otro lado, la desviación estándar del pago varía bastante, de aproximadamente 1 a aproximadamente 55.
Si bien el juego es altamente desfavorable para cada uno\(m\), con un valor esperado que es casi constante, ¿cuál crees que es mejor para el jugador, un formato con alta desviación estándar o uno con baja desviación estándar?