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LibreTexts Español

7.3: Problemas en las funciones de distribución y densidad

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    (Consulte los Ejercicios 3 y 4 de “Problemas sobre Variables Aleatorias y Probabilidades”). La clase\(\{C_j: 1 \le j \le 10\}\) es una partición. \(X\)La variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} on\(C_1\) through\(C_{10}\), respectivamente, con probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar y trazar la función de distribución\(F_X\).

    Responder
    T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9];
[X,PX] = csort(T,pc);
ddbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX    % See MATLAB plot

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    (Consulte el Ejercicio 6 de “Problemas sobre variables y probabilidades aleatorias”). Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 y $7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra

    \(X = 3.5 I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5 I_{C_3} + 7.5 I_{C_4} + 5.0 I_{C_5} + 5.0 I_{C_6} + 3.5 I_{C_7} + 7.5 I_{C_8}\)

    Determinar y trazar la función de distribución para\(X\).

    Responder
    T = [3.5 5 3.5 7.5 5 5 3.5 7.5];
pc = 0.01*[10 15 15 20 10 5 10 15];
[X,PX] = csort(T,pc);
ddbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX    % See MATLAB plot

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    (Consulte el Ejercicio 12 de “Problemas sobre variables y probabilidades aleatorias”). La clase\(\{A, B, C, D\}\) tiene probabilidades minterm

    \(pm = 0.001 *\)[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

    Determinar y trazar la función de distribución para la variable aleatoria\(X = I_A + I_B + I_C + I_D\), que cuenta el número de eventos que ocurren en un ensayo.

    Responder
    npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
T = sum(mintable(4)); % Alternate solution.  See Exercise 6.2.12 from "Problems on Random Variables and Probabilities"
[X,PX] = csort(T,pm);
ddbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX    % See MATLAB plot

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que a es un número de diez dígitos. Una rueda sube los dígitos del 0 al 9 con igual probabilidad en cada giro. En diez giros ¿cuál es la probabilidad de igualar, en orden, k o más de los diez dígitos en\(a\),\(0 \le k \le 10\)? Supongamos que el dígito inicial puede ser cero.

    Responder

    \(P =\)cbinom (10, 0.1, 0:10).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    En una tormenta eléctrica en un parque nacional hay 127 rayos. La experiencia muestra que la probabilidad de que un rayo inicie un incendio es de aproximadamente 0.0083. ¿Cuál es la probabilidad de que se inicien\(k\) incendios,\(k =\) 0,1,2,3?

    Responder

    P = ibinom (127,0.0083, 0:3) P = 0.3470 0.3688 0.1945 0.0678

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Una planta de fabricación cuenta con 350 lámparas especiales en sus líneas de producción. En cualquier día, cada lámpara podría fallar con probabilidad\(p = \) 0.0017. Estas lámparas son críticas, y deben ser reemplazadas lo más rápido posible. Se tarda aproximadamente una hora en reemplazar una lámpara, una vez que ha fallado. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día la pérdida de tiempo de producción por fallas de lámpara sea\(k\) o menos horas,\(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\)?

    Responder

    P = 1 - chinom (350, 0.0017, 1:6)

    =  0.5513    0.8799    0.9775    0.9968    0.9996    1.0000

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Doscientas personas compran boletos para un sorteo. Cada boleto tiene probabilidad 0.008 de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de\(k\) o menos ganadores,\(k = 2, 3, 4\)?

    Responder

    P = 1 - cbinom (200,0.008, 3:5) = 0.7838 0.9220 0.9768

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Dos monedas son volteadas veinte veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados coincidan (ambas cabezas o ambas colas)\(k\) veces,\(0 \le k \le 20\)?

    Responder

    P = ibinom (20,1/2, 0:20)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Treinta miembros de una clase cada uno arrojan una moneda diez veces. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cinco de ellos obtengan siete o más cabezas?

    Responder

    p = cbinom (10,0.5,7) = 0.1719

    P = cbinom(30,p,5) = 0.6052

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Para el sistema en el Ejercicio 6, llamar a un día en el que se produzcan una o más fallas entre las 350 lámparas un “día de servicio”. Dado que una secuencia de Bernoulli “comienza de nuevo” en cualquier momento, la secuencia de días de servicio/no servicio puede considerarse una secuencia de Bernoulli con probabilidad p 1, la probabilidad de una o más fallas de lámpara en un día.

    1. A partir de una mañana de lunes, ¿cuál es la probabilidad de que el primer día de servicio sea el primer, segundo, tercero, cuarto, quinto día de la semana?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya días de servicio en una semana de siete días?
    Responder

    p1 = 1 - (1 - 0.0017) ^350 = 0.4487 k = 1:5; (prob dado día es un día de servicio)

    1. P = p1*(1 - p1).^(k-1) = 0.4487  0.2474  0.1364  0.0752  0.0414

    2. P0 = (1 - p1)^7 = 0.0155

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Para el sistema en Ejercicio 6 y Ejercicio 10 asuma que la planta funciona los siete días de la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el tercer día de servicio al final de los 10 días? Resolver usando la distribución binomial negativa; repetir usando la distribución binomial.

    Responder

    p1 = 1 - (1 - 0.0017) ^350 = 0.4487

    • P = suma (nbinom (3, p1, 3:10)) = 0.8990
    • Pa = cbinom (10, p1,3) = 0.8990

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Se venden cincuenta oportunidades. Un jugador paga $10 para jugar; él o ella gana $30 con probabilidad\(p =\) 0.2. El beneficio para el Colegio es

    \(X = 50 \cdot 10 - 30 N\), donde\(N\) está el número de ganadores

    Determinar la distribución\(X\) y calcular\(P(X > 0)\)\(P(X \ge 200)\), y\(P(X \ge 300)\)

    Responder
    N = 0:50;
PN = ibinom(50,0.2,0:50);
X = 500 - 30*N;
Ppos = (X>0)*PN'
Ppos =  0.9856
P200 = (X>=200)*PN'
P200 =  0.5836
P300 = (X>=300)*PN'
P300 =  0.1034

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Un solo troquel de seis lados se enrolla repetidamente hasta que se vuelve uno o seis. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera aparición de cualquiera de estos números se logre en el quinto juicio o antes?

    Responder

    P = 1 - (2/3) ^5 = 0.8683

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Considerar una secuencia de Bernoulli con probabilidad\(p =\) 0.53 de éxito en cualquier ensayo de componentes.

    1. La probabilidad de que el cuarto éxito ocurra a más tardar en el décimo ensayo está determinada por la distribución binomial negativa. Utilice el procedimiento nbinom para calcular esta probabilidad.
    2. Calcular esta probabilidad usando la distribución binomial.
    Responder
    1. P = suma (nbinom (4,0.53, 4:10)) = 0.8729
    2. Pa = cbinom (10,0.53,4) = 0.8729

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    El cincuenta por ciento de los componentes que salen de una línea de ensamblaje no cumplen con las especificaciones para un trabajo especial. Se desea seleccionar tres unidades que cumplan con las estrictas especificaciones. Los artículos se seleccionan y prueban sucesivamente. Bajo los supuestos habituales para los ensayos de Bernoulli, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre la tercera unidad satisfactoria en seis o menos ensayos?

    Responder

    P = cbinom (6,0.5,3) = 0.6562

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    El número de autos que pasan una determinada posición de conteo de tráfico en una hora tiene distribución de Poisson (53). ¿Cuál es la probabilidad de que el número de autos que pasen en una hora se encuentre entre 45 y 55 (inclusive)? ¿Cuál es la probabilidad de más de 55?

    Responder

    P1 = cpoisson (53,45) - cpoisson (53,56) = 0.5224

    P2 = cpoisson(53,56) = 0.3581

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Comparar\(P(X \le k)\) y\(P(Y \le k)\) para\(X~\) binomial (5000, 0.001) y\(Y~\) Poisson (5), para\(0 \le k \le 10\). Haz esto directamente con ibinom e ipoisson. A continuación, utilice el procedimiento m bincomp para obtener resultados gráficos (incluyendo una comparación con la distribución normal).

    Responder
    k = 0:10;
Pb = 1 - cbinom(5000,0.001,k+1);
Pp = 1 - cpoisson(5,k+1);
disp([k;Pb;Pp]')
         0    0.0067    0.0067
    1.0000    0.0404    0.0404
    2.0000    0.1245    0.1247
    3.0000    0.2649    0.2650
    4.0000    0.4404    0.4405
    5.0000    0.6160    0.6160
    6.0000    0.7623    0.7622
    7.0000    0.8667    0.8666
    8.0000    0.9320    0.9319
    9.0000    0.9682    0.9682
   10.0000    0.9864    0.9863

    bincomp
Enter the parameter n  5000
Enter the parameter p  0.001
Binomial-- stairs
Poisson--  -.-.
Adjusted Gaussian-- o o o
gtext('Exercise 17')

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Supongamos\(X~\) binomial (12, 0.375),\(Y~\) Poisson (4.5) y\(Z~\) exponencial (1/4.5). Para cada variable aleatoria, calcular y tabular la probabilidad de un valor como mínimo\(k\), para valores enteros\(3 \le k \le 8\).

    Responder
    k = 3:8;
Px = cbinom(12,0.375,k);
Py = cpoisson(4.5,k);
Pz = exp(-k/4.5);
disp([k;Px;Py;Pz]')
    3.0000    0.8865    0.8264    0.5134
    4.0000    0.7176    0.6577    0.4111
    5.0000    0.4897    0.4679    0.3292
    6.0000    0.2709    0.2971    0.2636
    7.0000    0.1178    0.1689    0.2111
    8.0000    0.0390    0.0866    0.1690

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    El número de pulsos de ruido que llegan a un circuito de alimentación en una hora es una cantidad aleatoria que tiene distribución de Poisson (7). ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos 10 pulsos en una hora? ¿Cuál es la probabilidad de tener como máximo 15 pulsos en una hora?

    Responder

    P1 = cpoisson (7,10) = 0.1695 P2 = 1 - cpoisson (7,16) = 0.9976

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    El número de clientes que llegan a una pequeña tienda especializada en una hora es una cantidad aleatoria que tiene distribución de Poisson (5). ¿Cuál es la probabilidad de que el número que llegue en una hora sea entre tres y siete, inclusive? ¿Cuál es la probabilidad de no más de diez?

    Responder

    P1 = cpoisson (5,3) - cpoisson (5,8) = 0.7420

    P2 = 1 - cpoisson(5,11) = 0.9863

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(X~\)Binomial de variables aleatorias (1000, 0.1).

    1. Determinar\(P(X \ge 80)\),\(P(X \ge 100)\),\(P(X \ge 120)\)
    2. Utilice la distribución de Poisson apropiada para aproximar estos valores.
    Responder
    k = [80 100 120];
P = cbinom(1000,0.1,k)
P  =  0.9867    0.5154    0.0220
P1 = cpoisson(100,k)
P1 =  0.9825    0.5133    0.0282

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    El tiempo hasta el fallo, en horas de tiempo de funcionamiento, de un conjunto de televesión sujeto a sobretensiones aleatorias tiene la distribución exponencial (0.002). Supongamos que la unidad ha operado con éxito durante 500 horas. ¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que opere por otras 500 horas?

    Responder

    \(P(X > 500 + 500|X > 500) = P(X > 500) = e^{-0.002 \cdot 500} = 0.3679\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Para\(X~\) exponencial (\(\lambda\)), determinar\(P(X \ge 1/\lambda)\),\(P(X \ge 2/\lambda)\).

    Responder

    \(P(X > k\lambda) = e^{-\lambda k/ \lambda} = e^{-k}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Se ponen en funcionamiento veinte unidades “idénticas”. Fallan de manera independiente. Los tiempos de falla (en horas) forman una clase iid, exponencial (0.0002). Esto significa que la vida “esperada” es de 5000 horas. Determinar las probabilidades de que al menos\(k\), para\(k\) = 5,8,10,12,15, sobreviva por 5000 horas.

    Responder
    p = exp(-0.0002*5000)
p = 0.3679
k = [5 8 10 12 15];
P = cbinom(20,p,k)
P = 0.9110  0.4655  0.1601  0.0294  0.0006

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Sea\(T~\) gamma (20, 0.0002) el tiempo total de operación para las unidades descritas en el Ejercicio 24.

    1. Utilice la función m para determinar la distribución gamma\(P(T \le 100,000)\).
    2. Utilice la distribución de Poisson para determinar\(P(T \le 100,000)\).
    Responder

    P1 = gammadbn (20,0.0002,100000) = 0.5297 P2 = cpoisson (0.0002*100000,20) = 0.5297

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    La suma de los tiempos de falla para cinco unidades independientes es una variable aleatoria\(X~\) gamma (5, 0.15). Sin usar tablas o m-programas, determinar\(P(X le 25)\).

    Responder

    \(P(X \le 25) = P(Y \ge 5)\),\(Y~\) Poisson\((0.15 \cdot 25 = 3.75)\)

    \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4) = 1 - e^{-3.35} (1 + 3.75 + \dfrac{3.75^2}{2} + \dfrac{3.75^3}{3!} + \dfrac{3.75^4}{24}) = 0.3225\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Los tiempos de interllegada (en minutos) para los mensajes de fax en un terminal son independientes, exponenciales (\(\lambda =\)0.1). Esto significa que el tiempo\(X\) para la llegada del cuarto mensaje es gamma (4, 0.1). Sin usar tablas o programas m, utilizar la relación de la gamma con la distribución de Poisson para determinar\(P \le 30\).

    Responder

    \(P(X \le 30) = P(Y \ge 4)\),\(Y~\) poisson (\(0.2 \cdot 30 = 3\))

    \(P(Y \ge 4) = 1 - P(Y \le 3) = 1 - e^{-3} (1 + 3 + \dfrac{3^2}{2} + \dfrac{3^3}{3!}) = 0.3528\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Los clientes llegan a un centro de servicio con tiempos independientes entre llegadas en horas, los cuales tienen una distribución exponencial (3). El tiempo\(X\) para la tercera llegada es así gamma (3, 3). Sin usar tablas o m-programas, determinar\(P(X \le 2)\).

    Responder

    \(P(X \le 2) = P(Y \ge 3)\),\(Y ~\) poisson (\(3 \cdot 2 = 6\))

    \(P(Y \ge 3) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - e^{-6} (1 + 6 + 36/2) = 0.9380\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Cinco personas esperan para usar un teléfono, actualmente en uso por una sexta persona. Supongamos que el tiempo para las seis llamadas (en minutos) es iid, exponencial (1/3). ¿Cuál es la distribución por el tiempo total\(Z\) desde el presente para las seis convocatorias? Utilice una distribución apropiada de Poisson para determinar\(P(Z \le 20)\).

    Responder

    \(Z~\)gamma (6, 1/3).

    \(P(Z \le 20) = P(Y \ge 6)\),\(Y~\) poisson\((1/3 \cdot 20)\)

    \(P(Y \ge 6)\)= cpoisson (20/3, 6) = 0.6547

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    Un generador de números aleatorios produce una secuencia de números entre 0 y 1. Cada uno de estos puede considerarse un valor observado de una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, 1]. Asumen sus valores de manera independiente. Se genera una secuencia de 35 números. ¿Cuál es la probabilidad 25 o más son menores o iguales a 0.71? (Asumir continuidad. No haga un ajuste discreto.)

    Responder

    p = cbinom (35,0.71,25) = 0.5620

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    Cinco dispositivos electrónicos “idénticos” se instalan a la vez. Las unidades fallan independientemente, y el tiempo hasta el fracaso, en días, de cada una es una variable aleatoria exponencial (1/30). Se realiza una comprobación de mantenimiento cada quince días. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sigan operando en la verificación de mantenimiento?

    Responder

    p = exp (-15/30) = 0.6065 P = cbinom (5, p,4) = 0.3483

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    Supongamos\(X ~ N\) (4, 81). Es decir,\(X\) tiene distribución gaussiana con media\(\mu\) = 4 y varianza\(\sigma^2\) = 81.

    1. Utilizar una tabla de distribución normal estandarizada para determinar\(P(2 < X < 8)\) y\(P(|X - 4| \le 5)\).
    2. Calcular las probabilidades en la parte (a) con la función m gaussiana.
    Responder

    a.

    \(P(2 < X < 8) = \phi((8 - 4)/9) - \phi ((2 - 4)/9)\)=

    \(\phi (4/9) + \phi (2/9) - 1 = 0.6712 + 0.5875 - 1 = 0.2587\)

    \(P(|X - 4| \le 5) = 2\phi(5/9) - 1 = 1.4212 - 1 = 0.4212\)

    b.

    P1 = gaussian(4,81,8) - gaussian(4,81,2)
P1 = 0.2596
P2 = gaussian(4,81,9) - gaussian(4,84,-1)
P2 = 0.4181

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    Supongamos\(X ~ N(5, 81)\). Es decir,\(X\) tiene distribución gaussiana con\(\mu\) = 5 y\(\sigma^2\) = 81. Utilizar una tabla de distribución normal estandarizada para determinar\(P(3 < X < 9)\) y\(P(|X - 5| le 5)\). Comprueba tus resultados usando la función m gaussiana.

    Responder

    \(P(3 < X < 9) = \phi ((9 - 5)/9) - \phi ((3 - 5)/9) = \phi(4/9) + \phi(2/9) - 1 = 0.6712 + 0.5875 - 1 = 0.2587\)

    \(P(|X - 5| \le 5) = 2 \phi(5/9) - 1 = 1.4212 - 1 = 0.4212\)

    P1 = gaussian(5,81,9) - gaussian(5,81,3)
P1 = 0.2596
P2 = gaussian(5,81,10) - gaussian(5,84,0)
P2 = 0.4181

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    Supongamos\(X ~ N(3, 64)\). Es decir,\(X\) tiene distribución gaussiana con\(\mu\) = 3 y\(\sigma^2\) = 64. Utilizar una tabla de distribución normal estandarizada para determinar\(P(1 < X < 9)\) y\(P(|X - 3| le 4)\). Consulta tus resultados con la función m gaussiana.

    Responder

    \(P(1 < X < 9) = \phi((9 - 3)/8) - \phi(1 - 3)/9) =\)

    \(\phi(0.75) + \phi(0.25) - 1 = 0.7734 + 0.5987 - 1 = 0.3721\)

    \(P(|X - 3| \le 4) = 2 \phi(4/8) - 1 = 1.3829 - 1 = 0.3829\)

    P1 = gaussian(3,64,9) - gaussian(3,64,1)
P1 = 0.3721
P2 = gaussian(3,64,7) - gaussian(3,64,-1)
P2 = 0.3829

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    Los artículos que salen de una línea de ensamblaje tienen una dimensión crítica que está representada por una variable aleatoria\(~ N\) (10, 0.01). Se seleccionan diez elementos al azar. Cuál es la probabilidad de que tres o más estén dentro de 0.05 del valor medio\(\mu\).

    Responder
    p = gaussian(10,0.01,10.05) - gaussian(10,0.01,9.95)
p =  0.3829
P = cbinom(10,p,3)
P =  0.8036

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    El resultado de un extenso muestreo de control de calidad muestra que cierto modelo de relojes digitales que salen de una línea de producción tienen una precisión, en segundos al mes, que normalmente se distribuye con\(\mu\) = 5 y\(\sigma^2\) = 300. Para lograr una calificación máxima, un reloj debe tener una precisión dentro del rango de -5 a +10 segundos por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que un reloj tomado de la línea de producción para ser probado alcance la máxima calidad? Calcular, usando una tabla normal estandarizada. Verifique con la función m gaussiana.

    Responder

    \(P(-5 \le X \le 10) = \phi(5/ \sqrt{300}) + \phi(10/\sqrt{300}) - 1 = \phi(0.289) + \phi(0.577) - 1 = 0.614 + 0.717 - 1 = 0.331\)

    \(P =\)gaussiano (5, 300, 10) - gaussiano (5, 300, -5) = 0.3317

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    Utilizar el procedimiento m-bincomp con diversos valores\(n\) de 10 a 500 y\(p\) de 0.01 a 0.7, para observar la aproximación de la distribución binomial por el Poisson.

    Responder

    Experimentar con el procedimiento m bincomp.

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    Utilice el procedimiento m poissapp para comparar las distribuciones de Poisson y gaussianas. Utilice diversos valores\(\mu\) de 10 a 500.

    Responder

    Experimento con el procedimiento m poissapp.

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \(X\)La variable aleatoria tiene densidad\(f_X(t) = \dfrac{3}{2} t^2\),\(-1 \le t \le 1\) (y cero en otra parte).

    1. Determinar\(P(-0.5 \le X < 0.8)\),\(P(|X| > 0.5)\),\(P(|X - 0.25) \le 0.5)\).
    2. Determinar una expresión para la función de distribución.
    3. Utilice los procedimientos m tappr y cdbn para trazar una aproximación a la función de distribución.
    Responder

    1. \(\dfrac{3}{2} \int t^2 = t^3/2\)

      \(P1 = 0.5 * (0.8^3 - (-0.5)^3) = 0.3185\)\(P2 = 2 \int_{0.5}^{1} \dfrac{3}{2} t^2 = (1 - (-0.5)^3) = 7/8\)

      \(P3 = P(|X - 0.25| \le 0.5) = P(-0.25 \le X \le 0.75) = \dfrac{1}{2}[(3/4)^3 - (-1/4)^3] = 7/32\)

    2. \(F_X (t) = \int_{-1}^{1} f_X = \dfrac{1}{2} (t^3 + 1)\) 
    3. tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [-1 1]
Enter number of x approximation points  200
Enter density as a function of t  1.5*t.^2
Use row matrices X and PX as in the simple case
cdbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX    % See MATLAB plot

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    \(X\)La variable aleatoria tiene función de densidad\(f_X(t) = t - \dfrac{3}{8}t^3\),\(0 \le t \le 2\) (y cero en otra parte).

    1. Determinar\(P(X \le 0.5)\),\(P(0.5 \le X < 1.5)\),\(P(|X - 1| < 1/4)\).
    2. Determinar una expresión para la función de distribución.
    3. Utilice los procedimientos m tappr y cdbn para trazar una aproximación a la función de distribución.
    Responder

    1. \(\int (t - \dfrac{3}{8} t^2) = \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t^3}{8}\)

      \(P1 = 0.5^2/2 - 0.5^3/8 = 7/64\)\(P2 = 1.5^2 /2 - 1.5^3 /8 - 7/64 = 19/32\)\(P3 = 79/256)\)

    2. \(F_X (t) = \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t^3}{8}\),\(0 \le t \le 2\) 
    3. tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 2]
Enter number of x approximation points  200
Enter density as a function of t  t - (3/8)*t.^2
Use row matrices X and PX as in the simple case
cdbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX    % See MATLAB plot

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    La variable aleatoria\(X\) tiene función de densidad

    \(f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5) (2 -t) & \text{for } 1 < t \le 2 \end{cases} = I[0, 1] (t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 -t)\)

    1. Determinar\(P(X \le 0.5)\),\(P(0.5 \le X < 1.5)\),\(P(|X - 1| < 1/4)\).
    2. Determinar una expresión para la función de distribución.
    3. Utilice los procedimientos m tappr y cdbn para trazar una aproximación a la función de distribución.
    Responder

    1. \(P1 = \dfrac{6}{5} \int_{0}^{1/2} t^2 = 1/20\)\(P2 = \dfrac{6}{5} \int_{1/2}^{1} t^2 + \dfrac{6}{5} \int_{1}^{3/2} (2 - t) = 4/5\)

      \(P3) = \dfrac{6}{5} \int_{3/4}^{1} t^2 + \dfrac{6}{5} \int_{1}^{5/4} (2 - t) = 79/160\)

    2. \(F_X (t) = \int_{0}^{1} f_X = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{2}{5}t^3 + I_{(1, 2]} (t) [-\dfrac{7}{5} + \dfrac{6}{5} (2t - \dfrac{t^2}{2})]\)

    3. tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 2]
Enter number of x approximation points  400
Enter density as a function of t  (6/5)*(t<=1).*t.^2 + ...
      (6/5)*(t>1).*(2 - t)
Use row matrices X and PX as in the simple case
cdbn
Enter row matrix of VALUES  X
Enter row matrix of PROBABILITIES  PX    % See MATLAB plot

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