10.1: Funciones de una variable aleatoria

Introducción

Frecuentemente, observamos un valor de alguna variable aleatoria, pero estamos realmente interesados en un valor derivado de esto por una regla de función. Si\(X\) es una variable aleatoria y\(g\) es una función razonable (técnicamente, una función Borel), entonces\(Z = g(X)\) es una nueva variable aleatoria que tiene el valor\(g(t)\) para cualquiera de\(\omega\) tales que\(X(\omega) = t\). Por lo tanto\(Z(\omega) = g(X(\omega))\).

El problema; un enfoque

Consideramos, en primer lugar, las funciones de una sola variable aleatoria. Una amplia variedad de funciones se utilizan en la práctica.

Ejemplo 10.1 .1: Un problema de control de calidad

En una verificación de control de calidad en una línea de producción para rodamientos de bolas puede ser más fácil pesar las bolas que medir los diámetros. Si podemos asumir la verdadera forma esférica y\(w\) es el peso, entonces el diámetro es\(kw^{1/3}\), donde\(k\) es un factor dependiendo de la fórmula para el volumen de una esfera, las unidades de medida, y la densidad del acero. Así, si\(X\) es el peso de la bola muestreada, la variable aleatoria deseada es\(D = kX^{1/3}\).

Ejemplo 10.1.2: Rupturas de precios

El comité cultural de una organización estudiantil ha concertado un trato especial para entradas a un concierto. El acuerdo es que la organización comprará diez boletos a $20 cada uno (independientemente del número de compradores individuales). Los boletos adicionales están disponibles según el siguiente horario:

• 11-20, $18 cada uno
• 21-30, $16 cada uno
• 31-50, $15 cada uno
• 51-100, $13 cada uno

Si el número de compradores es una variable aleatoria\(X\), el costo total (en dólares) es una cantidad aleatoria\(Z = g(X)\) descrita por

\(g(X) = 200 + 18 I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20)\)

\(+ (15 - 16) I_{M3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)\)

donde\(M1 = [10, \infty)\)\(M2 = [20, \infty)\),\(M3 = [30, \infty)\),\(M4 = [50, \infty)\)

La regla de función es más complicada que en el Ejemplo 10.1.1, pero el problema esencial es el mismo.

El problema

Si\(X\) es una variable aleatoria, entonces\(Z = g(X)\) es una nueva variable aleatoria. Supongamos que tenemos la distribución para\(X\). ¿Cómo podemos determinar\(P(Z \in M)\), la probabilidad\(Z\) toma un valor en el conjunto\(M\)?

Una aproximación a una solución

Consideramos dos enfoques equivalentes

Para encontrar\(P(X \in M)\).

1. Enfoque de mapeo. Simplemente encuentre la cantidad de masa de probabilidad mapeada en el conjunto\(M\) por la variable aleatoria\(X\).
   • En el caso absolutamente continuo, calcule\(\int_{M} f_X\).
   • En el caso discreto, identificar aquellos valores\(t_i\) de los\(X\) cuales están en el conjunto\(M\) y sumar las probabilidades asociadas.
2. Alternativa discreta. Considera cada valor\(t_i\) de\(X\). Seleccione aquellos que cumplan con las condiciones definitorias\(M\) y agregue las probabilidades asociadas. Este es el enfoque que utilizamos en los cálculos de MATLAB. Tenga en cuenta que no es necesario describir geométricamente el conjunto\(M\); simplemente use las condiciones definitorias.

Para encontrar\(P(g(X) \in M)\).

1. Enfoque de mapeo. Determine el conjunto\(N\) de todos aquellos t que son mapeados\(M\) por la función\(g\). Ahora si\(X(\omega) \in N\), entonces\(g(X(\omega)) \in M\), y si\(g(X(\omega)) \in M\), entonces\(X(\omega) \in N\). De ahí

   \(\{\omega: g(X(\omega)) \in M\} = \{\omega: X(\omega) \in N\}\)

Dado que estos son el mismo evento, deben tener la misma probabilidad. Una vez\(N\) identificado, determinar\(P(X \in N)\) de la manera habitual (ver parte a, arriba).

• Alternativa discreta. Para cada posible valor\(t_i\) de\(X\), determinar si\(g(t_i)\) cumple con la condición definitoria para\(M\). Seleccione los\(t_i\) que sí y agregue las probabilidades asociadas.

— □

OBSERVACIÓN. El conjunto\(N\) en el enfoque de mapeo se llama la imagen inversa\(N = g^{-1} (M)\)

Ejemplo 10.1.3: Un ejemplo discreto

Supongamos que\(X\) tiene valores -2, 0, 1, 3, 6, con probabilidades respectivas 0.2, 0.1, 0.2, 0.3 0.2.

Considerar\(Z = g(X) = (X + 1) (X - 4)\). Determinar\(P(Z > 0)\).

Solución

Primera solución. El enfoque de mapeo

\(g(t) = (t + 1) (t - 4)\). \(N = \{t: g(t) > 0\}\) es el conjunto de puntos a la izquierda de —1 o a la derecha de 4. \(X\)Los valores -2 y 6 se encuentran en este conjunto. De ahí

\(P(g(X) > 0) = P(X = -2) + P(X = 6) = 0.2 + 0.2 = 0.4\)

Segunda solución. La alternativa discreta

X =	-2	0	1	3	6
P X =	0.2	0.1	0.2	0.3	0.2
Z =	6	-4	-6	-4	14
Z > 0	1	0	0	0	1

Escogiendo y sumando las probabilidades indicadas, tenemos

\(P(Z > 0) = 0.2 + 0.2 = 0.4\)

En este caso (y a menudo para “cálculos manuales”) el enfoque de mapeo requiere menos cálculo. Sin embargo, para los cálculos de MATLAB (como mostramos a continuación), la alternativa discreta se implementa más fácilmente.

Ejemplo 10.1.4. Un ejemplo absolutamente continuo

Supongamos\(X\) ~ uniforme [—3,7]. Entonces\(f_X(t) = 0.1\),\(-3 \le t \le 7\) (y cero en otra parte). Let

\(Z = g(X) = (X + 1) (X - 4)\)

Determinar\(P(Z > 0)\).

Solución

Primero determinamos\(N = \{t: g(t) > 0\}\). Como en el Ejemplo 10.1.3,\(g(t) = (t+ 1) (t - 4) > 0\) para\(t < -1\) o\(t > 4)\). Debido a la distribución uniforme, la integral de la densidad sobre cualquier subintervalo de\(\{X, Y\}\) es 0.1 veces la longitud de ese subintervalo. Así, la probabilidad deseada es

\(P(g(X) > 0) = 0.1 [(-1 - (-3)) + (7 - 4)] = 0.5\)

Consideramos, a continuación, algunos ejemplos importantes.

Ejemplo 10.1.5: La distribución normal y la distribución normal estandarizada

Para mostrar que si\(X\) ~\(N(\mu, \sigma^2)\) entonces

\(Z = g(X) = \dfrac{X - \mu}{\sigma} ~ N(0, 1)\)

VERIFICACIÓN

Deseamos mostrar la función de denidad para\(Z\) es

\(\varphi (t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\)

Ahora

\(g(t) = \dfrac{t - \mu} {\sigma} \le v\)iff\(t \le \sigma v + \mu\)

Por lo tanto, para dada\(M = (-\infty, v]\) la imagen inversa es\(N = (-\infty, \sigma v + \mu]\), por lo que

\(F_Z (v) = P(Z \le v) = P(Z \in M) = P(X \in N) = P(X \le \sigma v + \mu) = F_X (\sigma v + \mu)\)

Dado que la densidad es la derivada de la función de distribución,

\(f_Z(v) = F_{Z}^{'} (v) = F_{X}^{'} (v) = F_{X}^{'} (\sigma v + \mu) \sigma = \sigma f_X (\sigma v + \mu)\)

Por lo tanto

\(f_Z (v) = \dfrac{\sigma}{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{exp} [-\dfrac{1}{2} (\dfrac{\sigma v + \mu - \mu}{\sigma})^2] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-v^2/2} = \varphi(v)\)

Concluimos que\(Z\) ~\(N(0, 1)\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(X\) tiene función de distribución\(F_X\). Si es absolutamente continuo, la densidad correspondiente es\(f_X\). Considerar\(Z = aX + b\). Aquí\(g(t) = at + b\), una función afín (lineal más una constante). Determinar la función de distribución para\(Z\) (y la densidad en el caso absolutamente continuo).

Solución

\(F_Z (v) = P(Z \le v) = P(aX + b \le v)\)

Hay dos casos

• \(a\)> 0:

  \(F_Z (v) = P(X \le \dfrac{v - b}{a}) = F_X (\dfrac{v - b}{a})\)

• \(a\)< 0

  \(F_Z (v) = P(X \ge \dfrac{v - b}{a}) = P(X > \dfrac{v - b}{a}) + P(X = \dfrac{v - b}{a})\)

Así que

\(F_Z (v) = 1 - F_X (\dfrac{v - b}{a}) + P(X = \dfrac{v - b}{a})\)

Para el caso absolutamente continuo,\(P(X = \dfrac{v - b}{a}) = 0\), y por diferenciación

• para\(a > 0\)\(f_Z (v) = \dfrac{1}{a} f_X (\dfrac{v - b}{a})\)
• para\(a < 0\)\(f_Z (v) = -\dfrac{1}{a} f_X (\dfrac{v - b}{a})\)

Ya que para\(a < 0\),\(-a = |a|\), los dos casos se pueden combinar en una sola fórmula.

\(f_Z (v) = \dfrac{1}{|a|} f_X (\dfrac{v-b}{a})\)

Ejemplo 10.1.7: Finalización de la relación normal y normalizada

Supongamos\(Z\) ~\(N(0, 1)\). mostrar que\(X = \sigma Z + \mu \) (\(\sigma > 0\)) es\(N(\mu, \sigma^2)\).

VERIFICACIÓN

El uso del resultado del Ejemplo 10.1.6 en funciones afines muestra que

\(f_{X} (t) = \dfrac{1}{\sigma} \varphi (\dfrac{t - \mu}{\sigma}) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{exp} [-\dfrac{1}{2} (\dfrac{t - \mu}{\sigma})^2]\)

Ejemplo 10.1.8: Potencia fraccionaria de una variable aleatoria no negativa

Supongamos\(X \ge 0\) y\(Z = g(X) = X^{1/a}\) para\(a > 1\). Ya que para\(t \ge 0\),\(t^{1/a}\) es cada vez mayor, tenemos\(0 \le t^{1/a} \le v\) iff\(0 \le t \le v^{a}\). Por lo tanto

\(F_Z (v) = P(Z \le v) = P(X \le v^{a}) = F_X (v^{a})\)

En el caso absolutamente continuo

\(f_Z (v) = F_{Z}^{'} (v) = f_X (v^{a}) a v^{a - 1}\)

Ejemplo 10.1.9: Potencia fraccionaria de una variable aleatoria distribuida exponencialmente

Supongamos\(X\) ~ exponencial (\(\lambda\)). Entonces\(Z = X^{1/a}\) ~ Weibull\((a, \lambda, 0)\).

Según el resultado del Ejemplo 10.1.8,

\(F_Z(t) = F_X (t^{a}) = 1- e^{-\lambda t^{a}}\)

que es la función de distribución para\(Z\) ~ Weibull\((a, \lambda, 0)\).

Ejemplo 10.1.10: Una aproximación simple en función de X

Si\(X\) es una variable aleatoria, se puede construir una aproximación de función simple (ver Aproximaciones de distribución). Limitamos nuestra discusión al caso acotado, en el que el rango de\(X\) está limitado a un intervalo acotado\(I = [a, b]\). Supongamos que\(I\) se divide en\(n\) subintervalos por puntos\(t_i\)\(1 \le i \le n - 1\),, con\(a = t_0\) y\(b = t_n\). Dejar\(M_i = [t_{i - 1}, t_i)\) ser el subintervalo\(i\) th,\(1 \le i \le n- 1\) y\(M_n = [t_{n -1}, t_n]\). Dejar\(E_i = X^{-1} (M_i)\) ser el conjunto de puntos mapeados en\(M_i\) por\(X\). Entonces la\(E_i\) forma una partición del espacio básico\(\Omega\). Para la subdivisión dada, formamos una variable aleatoria simple de la\(X_s\) siguiente manera. En cada subintervalo, elija un punto\(s_i, t_{i - 1} \le s_i < t_i\). La variable aleatoria simple

\(X_s = \sum_{i = 1}^{n} s_i I_{E_i}\)

se\(X\) aproxima a dentro de la longitud del subintervalo más grande\(M_i\). Ahora\(I_{E_i} = I_{M_i} (X)\), desde\(I_{E_i} (\omega) = 1\) iff\(X(\omega) \in M_i\) iff\(I_{M_i} (X(\omega)) = 1\). Por lo tanto, podemos escribir

\(X_s = \sum_{i = 1}^{n} s_i I_{M_i} (X)\), una función de\(X\)

Uso de MATLAB en variables aleatorias simples

Para variables aleatorias simples, utilizamos el enfoque alternativo discreto, ya que esto puede implementarse fácilmente con MATLAB. Supongamos que la distribución para\(X\) se expresa en los vectores de fila\(X\) y\(PX\).

• Realizamos operaciones de matriz en vector\(X\) para obtener

  \(G = [g(t_1) g(t_2) \cdot\cdot\cdot g(t_n)]\)

• Utilizamos operaciones relacionales y lógicas\(G\) para obtener una matriz\(M\) que tiene unos para aquellos\(t_i\) (valores de\(X\)) tales que\(g(t_i)\) satisfaga la condición deseada (y ceros en otros lugares).
• La matriz cero-uno\(M\) se utiliza para seleccionar la correspondiente\(p_i = P(X = t_i)\) y sumarlas tomando el producto punto de\(M\) y\(PX\).

Ejemplo 10.1.11: Cálculos básicos para una función de una variable aleatoria simple

X = -5:10;                     % Values of X
PX = ibinom(15,0.6,0:15);      % Probabilities for X
G = (X + 6).*(X - 1).*(X - 8); % Array operations on X matrix to get G = g(X)
M = (G > - 100)&(G < 130);     % Relational and logical operations on G
PM = M*PX'                     % Sum of probabilities for selected values
PM =  0.4800
disp([X;G;M;PX]')              % Display of various matrices (as columns)
   -5.0000   78.0000    1.0000    0.0000
   -4.0000  120.0000    1.0000    0.0000
   -3.0000  132.0000         0    0.0003
   -2.0000  120.0000    1.0000    0.0016
   -1.0000   90.0000    1.0000    0.0074
         0   48.0000    1.0000    0.0245
    1.0000         0    1.0000    0.0612
    2.0000  -48.0000    1.0000    0.1181
    3.0000  -90.0000    1.0000    0.1771
    4.0000 -120.0000         0    0.2066
    5.0000 -132.0000         0    0.1859
    6.0000 -120.0000         0    0.1268
    7.0000  -78.0000    1.0000    0.0634
    8.0000         0    1.0000    0.0219
    9.0000  120.0000    1.0000    0.0047
   10.0000  288.0000         0    0.0005
[Z,PZ] = csort(G,PX);          % Sorting and consolidating to obtain
disp([Z;PZ]')                  % the distribution for Z = g(X)
 -132.0000    0.1859
 -120.0000    0.3334
  -90.0000    0.1771
  -78.0000    0.0634
  -48.0000    0.1181
         0    0.0832
   48.0000    0.0245
   78.0000    0.0000
   90.0000    0.0074
  120.0000    0.0064
  132.0000    0.0003
  288.0000    0.0005
P1 = (G<-120)*PX '           % Further calculation using G, PX
P1 =  0.1859
p1 = (Z<-120)*PZ'            % Alternate using Z, PZ
p1 =  0.1859

Ejemplo 10.1.12

\(X = 10 I_A + 18 I_B + 10 I_C\)con\(\{A, B, C\}\) independiente y\(P =\) [0.60.30.5].

Calculamos la distribución para\(X\), luego determinamos la distribución para

\(Z = X^{1/2} - X + 50\)

c = [10 18 10 0];
pm = minprob(0.1*[6 3 5]);
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.1400
   10.0000    0.3500
   18.0000    0.0600
   20.0000    0.2100
   28.0000    0.1500
   38.0000    0.0900
G = sqrt(X) - X + 50;       % Formation of G matrix
[Z,PZ] = csort(G,PX);       % Sorts distinct values of g(X)
disp([Z;PZ]')               % consolidates probabilities
   18.1644    0.0900
   27.2915    0.1500
   34.4721    0.2100
   36.2426    0.0600
   43.1623    0.3500
   50.0000    0.1400
M = (Z < 20)|(Z >= 40)      % Direct use of Z distribution
M =    1     0     0     0     1     1
PZM = M*PZ'
PZM =  0.5800

OBSERVACIÓN. Tenga en cuenta que con la función m csort, podemos nombrar la salida como se desee.

Ejemplo 10.1.13: Continuación del ejemplo 10.1.12, anterior.

H = 2*X.^2 - 3*X + 1;
[W,PW] = csort(H,PX)
W  =     1      171     595     741    1485    2775
PW =  0.1400  0.3500  0.0600  0.2100  0.1500  0.0900

Ejemplo 10.1.14: Una aproximación discreta

Supongamos que\(X\) tiene función de densidad\(f_X(t) = \dfrac{1}{2} (3t^2 + 2t)\) para\(0 \le t \le 1\). Entonces\(F_X (t) = \dfrac{1}{2} (t^3 + t^2)\). Vamos\(Z = X^{1/2}\). Podemos usar el procedimiento m de aproximación tappr para obtener una distribución discreta aproximada. Luego trabajamos con la variable aleatoria aproximada como una simple variable aleatoria. Supongamos que queremos\(P(Z \le 0.8)\). Ahora\(Z \le 0.8\) iff\(X \le 0.8^2 = 0.64\). La probabilidad deseada puede calcularse para ser

\(P(Z \le 0.8) = F_X (0.64) = (0.64^3 + 0.64^2)/2 = 0.3359\)

Usando el procedimiento de aproximación, tenemos

tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 1]
Enter number of x approximation points  200
Enter density as a function of t  (3*t.^2 + 2*t)/2
Use row matrices X and PX as in the simple case
G = X.^(1/2);
M = G <= 0.8;
PM = M*PX'
PM =   0.3359       % Agrees quite closely with the theoretical