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# 11.3: Problemas sobre la expectativa matemática

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

(Consulte el Ejercicio 1 de “Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad”, m-file npr07_01.m). La clase$$\{C_j: 1 \le j \le 10\}$$ es una partición. $$X$$La variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} on$$C_1$$ through$$C_{10}$$, respectivamente, con probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar$$E[X]$$

Contestar
% file npr07_01.m
% Data for Exercise 1 from "Problems on Distribution and Density Functions"
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9];
disp('Data are in T and pc')
npr07_01
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX = 2.7000
[X,PX] csort(T,pc): % Alternate using X, PX
ex = X*PX'
ex = 2.7000

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

(Consulte el Ejercicio 2 de "Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad “, m-file npr07_02.m). Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50,$5.00, $3.50,$7.50, $5.00,$5.00, $3.50 y$7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra

$$X = 3.5I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5I_{C_3} + 7.5I_{C_4} + 5.0I_{C_5} + 5.0I_{C_6} + 3.5I_{C_7} + 7.5I_{C_8}$$

Determinar la expección$$E[X]$$ del valor de su compra.

Contestar
% file npr07_02.m
% Data for Exercise 2 from "Problems on Distribution and Density Functions"
T = [3.5 5.0 3.5 7.5 5.0 5.0 3.5 7.5];
pc = 0.01*[10 15 15 20 10 5 10 15];
disp('Data are in T and pc')
npr07_02
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX = 5.3500
[X,PX] csort(T,pc)
ex = X*PX'
ex = 5.3500

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Consulte el Ejercicio 12 de "Problemas sobre las Variables Aleatorias y Probabilidades “, y el Ejercicio 3 de" Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad”, m-file npr06_12.m). La clase$$\{A, B, C, D\}$$ tiene probabilidades minterm

$$pm =$$0,001 * [5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

Determinar la expectativa matemática para la variable aleatoria$$X = I_A + I_B + I_C + I_D$$, que cuenta el número de eventos que ocurren en un ensayo.

Contestar
% file npr06_12.m
% Data for Exercise 12 from "Problems on Random Variables and Probabilities"
pm = 0.001*[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302];
c = [1 1 1 1 0];
disp('Minterm probabilities in pm, coefficients in c')
npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
canonic
Enter row vector of coefficients c
Enter row vector of minterm probabilities pm
Use row matrices X and PX for calculations
call for XDBN to view the distribution
EX = X*PX'
EX = 2.9890
T = sum(mintable(4));
[x,px] = csort(T,pm);
ex = x*px
ex = 2.9890

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

(Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad “). En una tormenta eléctrica en un parque nacional hay 127 rayos. La experiencia muestra que la probabilidad de que un rayo inicie un incendio es de aproximadamente 0.0083. Determinar el número esperado de incendios.

Contestar

$$X$$~ binomio (127, 0.0083),$$E[X] = 127 \cdot 0.0083 = 1.0541$$

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

(Consulte el Ejercicio 8 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “). Dos monedas son volteadas veinte veces. Dejar$$X$$ ser el número de coincidencias (ambas cabezas o ambas colas). Determinar$$E[X]$$

Contestar

$$X$$~ binomio (20, 1/2). $$E[X] = 20 \cdot 0.5 = 10$$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

(Consulte el Ejercicio 12 de "Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad “). Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Se venden cincuenta oportunidades. Un jugador paga $10 para jugar; él o ella gana$30 con probabilidad$$p = 0.2$$. El beneficio para el Colegio es

$$X = 50 \cdot 10 - 30N$$, donde$$N$$ esta el numbe de ganadores

Determinar el beneficio esperado$$E[X]$$.

Contestar

$$N$$~ binomio (50, 0.2). $$E[N] = 50 \cdot 0.2 = 10$$. $$E[X] = 500 - 30E[N] = 200$$.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

(Consulte el Ejercicio 19 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “). El número de pulsos de ruido que llegan a un circuito de alimentación en una hora es una cantidad aleatoria que tiene distribución de Poisson (7). ¿Cuál es el número esperado de pulsos en una hora?

Contestar

$$X$$~ Poisson (7). $$E[X] = 7$$.

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

(Consulte el Ejercicio 24 y el Ejercicio 25 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “). El tiempo total de operación para las unidades en el Ejercicio 24 es una variable aleatoria$$T$$ ~ gamma (20, 0.0002). ¿Cuál es el tiempo de funcionamiento esperado?

Contestar

$$X$$~ gamma (20, 0.0002). $$E[X] = 20/0.0002 = 100,000$$.

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

(Consulte el Ejercicio 41 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “). La variable aleatoria$$X$$ tiene función de densidad

$$f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5)(2 - t) & \text{for } 1 \le t \le 2 \end{cases} = I_{[0, 1]}(t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 - t)$$.

¿Cuál es el valor esperado$$E[X]$$?

Contestar

$$E[X] = \int t f_X(t)\ dt = \dfrac{6}{5} \int_{0}^{1} t^3 \ dt + \dfrac{6}{5} \int_{1}^{2} (2t - t^2)\ dt = \dfrac{11}{10}$$

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Exponencial truncado. Supongamos$$X$$ ~ exponencial ($$\lambda$$) y$$Y = I_{[0, a]} (X) X + I_{a, \infty} (X) a$$.

a. Utilizar el hecho de que

$$\int_{0}^{\infty} te^{-\lambda t} \ dt = \dfrac{1}{\lambda ^2}$$y$$\int_{a}^{\infty} te^{-\lambda t}\ dt = \dfrac{1}{\lambda ^2} e^{-\lambda t} (1 + \lambda a)$$

para determinar una expresión para$$E[Y]$$.

b. Utilizar el método de aproximación, con$$\lambda = 1/50$$,$$a = 30$$. Aproximar el exponencial a 10,000 puntos para$$0 \le t \le 1000$$. Comparar el resultado aproximado con el resultado teórico de la parte (a).

Contestar

$$E[Y] = \int g(t) f_X (t)\ dt = \int_{0}^{a} t \lambda e^{-\lambda t} \ dt + aP(X > a) =$$

$$\dfrac{\lambda}{\lambda ^2} [1 - e^{-\lambda a} (1 + \lambda a)] + a e^{-\lambda a} = \dfrac{1}{\lambda} (1 - e^{-\lambda a})$$

tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints [0 1000]
Enter number of x approximation points 10000
Enter density as a function of t (1/50)*exp(-t/50)
Use row matrices X and PX as in the simple case
G = X.*(X<=30) + 30*(X>30);
EZ = G8PX'
EZ = 22.5594
ez = 50*(1-exp(-30/50))     %Theoretical value
ez = 22.5594

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

(Consulte el Ejercicio 1 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_01.m). Se seleccionan dos cartas al azar, sin reemplazo, de una baraja estándar. $$X$$Sea el número de ases y$$Y$$ sea el número de espadas. Bajo los supuestos habituales, determinar la distribución conjunta. Determinar$$E[X]$$$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,,$$E[Y^2]$$, y$$E[XY]$$.

Contestar
npr08_01
Data in Pn, P, X, Y
jcalc
Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane) P
Enter row marix of VALUES of X    X
Enter row marix of VALUES of Y    Y
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
EX = X*PX'
EX = 0.1538

ex = total(t.*P)            % Alternate
ex = 0.1538
EY = Y*PY'
EY = 0.5000
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 0.1629
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 0.6176
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 0.0769

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

(Consulte el Ejercicio 2 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_02.m). Dos puestos para puestos de trabajo en campus están abiertos. Aplican dos estudiantes de segundo año, tres juniors y tres seniors. Se decide seleccionar dos al azar (cada par posible igualmente probable). $$X$$Sea el número de estudiantes de segundo año y$$Y$$ sea el número de juniors que sean seleccionados. Determinar la distribución conjunta para$$\{X, Y\}$$ y$$E[X]$$$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$, y$$E[XY]$$.

Contestar
npr08_02
Data are in X, Y, Pn, P
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 0.5000
EY = Y*PY'
EY = 0.7500
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 0.5714
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 0.9643
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 0.2143

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

(Consulte el Ejercicio 3 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_03.m). Se enrolla un dado. Que X sea el número de manchas que aparecen. Una moneda es volteada$$X$$ veces. $$Y$$Sea el número de cabezas que aparecen. Determinar la distribución conjunta para el par$$\{X, Y\}$$. Asumir$$P(X = k) = 1/6$$ para$$1 \le k \le 6$$ y para cada uno$$k$$,$$P(Y = j|X = k)$$ tiene la$$(k, 1/2)$$ distribución binomial. Organizar la matriz conjunta como en el plano, con valores de$$Y$$ aumento hacia arriba. Determinar el valor esperado$$E[Y]$$

Contestar
npr08_03
Data are in X, Y, P, PY
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 3.5000
EY = Y*PY'
EY = 1.7500
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 15.1667
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 4.6667
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 7.5833

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

(Consulte el Ejercicio 4 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_04.m). Como variación de Ejercicio, supongamos que se tira un par de dados en lugar de un solo dado. Determinar la distribución conjunta para$$\{X, Y\}$$ y determinar$$E[Y]$$.

Contestar
npr08_04
Data are in X, Y, P
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 7
EY = Y*PY'
EY = 3.5000
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 54.8333
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 15.4583

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

(Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_05.m). Supongamos que se tira un par de dados. Dejar$$X$$ ser el número total de manchas que aparecen. Enrolle el par una$$X$$ vez más. $$Y$$Sea el número de sietes que se lanzan en los$$X$$ rollos. Determinar la distribución conjunta$$\{X,Y\}$$ y determinar$$E[Y]$$

Contestar
npr08_05
Data are in X, Y, P, PY
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 7.0000
EY = Y*PY'
EY = 1.1667

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

(Consulte el Ejercicio 6 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_06.m). El par$$\{X,Y\}$$ tiene la distribución conjunta:

$$X =$$[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]$$Y =$$ [1.3 2.5 4.1 5.3]

$$P = \begin{bmatrix} 0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441 \\ 0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399 \\ 0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551 \\ 0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & 0.0651 & 0.0589 \end{bmatrix}$$

Determinar$$E[X]$$,$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$ y$$E[XY]$$.

Contestar
npr08_06
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 1.3696
EY = Y*PY'
EY = 3.0344
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 9.7644
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 11.4839
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 4.1423

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

(Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_07.m). El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta:

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = -3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9 u = 7.5 0.009 0.0396 0.0594 0.0216 0.044 0.0203 4.1 0.0495 0 0.1089 0.0528 0.0363 0.0231 -2.0 0.0405 0.132 0.0891 0.0324 0.0297 0.0189 -3.8 0.051 0.0484 0.0726 0.0132 0 0.0077

Determinar$$E[X]$$,$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$ y$$E[XY]$$.

Contestar
npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 0.8590
EY = Y*PY'
EY = 1.1455
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 5.8495
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 19.6115
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 3.6803

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

(Consulte el Ejercicio 8 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_08.m). El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta:

$$P(X = t, Y = u)$$

 t= 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 u = 12 0.0156 0.0191 0.0081 0.0035 0.0091 0.007 0.0098 0.0056 0.0091 0.0049 10 0.0064 0.0204 0.0108 0.004 0.0054 0.008 0.0112 0.0064 0.0104 0.0056 9 0.0196 0.0256 0.0126 0.006 0.0156 0.012 0.0168 0.0096 0.0056 0.0084 5 0.0112 0.0182 0.0108 0.007 0.0182 0.014 0.0196 0.0012 0.0182 0.0038 3 0.006 0.026 0.0162 0.005 0.016 0.02 0.028 0.006 0.016 0.004 -1 0.0096 0.0056 0.0072 0.006 0.0256 0.012 0.0268 0.0096 0.0256 0.0084 -3 0.0044 0.0134 0.018 0.014 0.0234 0.018 0.0252 0.0244 0.0234 0.0126 -5 0.0072 0.0017 0.0063 0.0045 0.0167 0.009 0.0026 0.0172 0.0217 0.0223

Determinar$$E[X]$$,$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$ y$$E[XY]$$.

Contestar
npr08_08
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 10.1000
EY = Y*PY'
EY = 3.0016
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 133.0800
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 41.5564
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 22.2890

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

(Consulte el Ejercicio 9 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, m-file npr08_09.m). Se conservaron datos sobre el efecto del tiempo de capacitación en el tiempo para realizar un trabajo en una línea de producción. $$X$$es la cantidad de entrenamiento, en horas, y$$Y$$ es el tiempo para realizar la tarea, en minutos. Los datos son los siguientes:

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = 1 1.5 2 2.5 3 u = 5 0.039 0.011 0.005 0.001 0.001 4 0.065 0.07 0.05 0.015 0.01 3 0.031 0.061 0.137 0.051 0.033 2 0.012 0.049 0.163 0.058 0.039 1 0.003 0.009 0.045 0.025 0.017

Determinar$$E[X]$$,$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$ y$$E[XY]$$.

Contestar
npr08_09
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 1.9250
EY = Y*PY'
EY = 2.8050
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 4.0375
EY2 = (Y.^2)*PY'           EXY = total(t.*u.*P)
EY2 = 8.9850               EXY = 5.1410

Para las densidades articulares en el Ejercicio 20-32 a continuación

a. Determinar analíticamente$$E[X]$$,$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$ y$$E[XY]$$.

b. Utilice una aproximación discreta para$$E[X]$$,$$E[Y]$$,$$E[X^2]$$,$$E[Y^2]$$ y$$E[XY]$$.

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

(Consulte el Ejercicio 10 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “). $$f_{XY}(t, u) = 1$$para$$0 \le t \le 1$$. $$0 \le u \le 2(1-t)$$.

$$f_X(t) = 2(1 -t)$$,$$0 \le t \le 1$$,$$f_Y(u) = 1 - u/2$$,$$0 \le u \le 2$$

Contestar

$$E[X] = \int_{0}^{1} 2t(1 - t)\ dt = 1/3$$,$$E[Y] = 2/3$$,$$E[X^2] = 1/6$$,$$E[Y^2] = 2/3$$

$$E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-t)} tu\ dudt = 1/6$$

tuappr: [0 1] [0 2] 200 400  u<=2*(1-t)
EX = 0.3333    EY = 0.6667    EX2 = 0.1667    EY2 = 0.6667
EXY = 0.1667 (use t, u, P)

Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

(Consulte el Ejercicio 11 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = 1/2$$en el cuadrado con vértices en (1, 0), (2, 1) (1, 2), (0, 1).

$$f_{X} (t) = f_{Y} (t) = I_{[0, 1]} (t) t + I_{(1, 2]} (t) (2 - t)$$

Contestar

$$E[X] = E[Y] = \int_{0}^{1} t^2 \ dt + \int_{1}^{t} (2t - t^2) \ dt = 1$$,$$E[X^2] = E[Y^2] = 7/6$$

$$E[XY] = (1/2) \int_{0}^{1} \int_{1 - t}^{1 + t} dt dt + (1/2) \int_{1}^{2} \int_{t - 1}^{3 - t} du dt = 1$$

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200  0.5*(u<=min(t+1,3-t))&(u>=max(1-t,t-1))
EX = 1.0000    EY = 1.0002    EX2 = 1.1684    EY2 = 1.1687    EXY = 1.0002

Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

(Consulte el Ejercicio 12 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = 4t (1 - u)$$para$$0 \le t \le 1$$. $$0 \le u \le 1$$

$$f_X (t) = 2t$$,$$0 \le t \le 1$$,$$f_Y(u) = 2(1 - u)$$,$$0 \le u \le 1$$

Contestar

$$E[X] = 2/3$$,$$E[Y] = 1/3$$,$$E[X^2] = 1/2$$,$$E[Y^2] = 1/6$$,$$E[XY] = 2/9$$

tuappr: [0 1] [0 1] 200 200  4*t.*(1-u)
EX = 0.6667    EY = 0.3333    EX2 = 0.5000    EY2 = 0.1667    EXY = 0.2222

Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

(Consulte el Ejercicio 13 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{1}{8} (t + u)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 2$$

$$f_{X} (t) = f_{Y} (t) = \dfrac{1}{4} (t + 1)$$,$$0 \le t \le 2$$

Contestar

$$E[X] = E[Y] = \dfrac{1}[4} \int_{0}^{2} (t^2 + t) \ dt = \dfrac{7}{6}$$,$$E[X^2] = E[Y^2] = 5/3$$

$$E[XY] = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (t^2u + tu^2) \ dudt = \dfrac{4}{3}$$

tuappr: [0 1] [0 1] 200 200  4*t.*(1-u)
EX = 1.1667    EY = 1.1667    EX2 = 1.6667    EY2 = 1.6667    EXY = 1.3333

Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

(Consulte el Ejercicio 14 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = 4ue^{-2t}$$para$$0 \le t, 0 \le u \le 1$$

$$f_X (t) = 2e^{-2t}$$,$$0 \le t$$,$$f_Y(u) = 2u$$,$$0 \le u \le 1$$

Contestar

$$E[X] = \int_{0}^{\infty} 2te^{-2t} \ dt = \dfrac{1}{2}$$,$$E[Y] = \dfrac{2}{3}$$,$$E[X^2] = \dfrac{1}{2}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{1}{2}$$,$$E[XY] = \dfrac{1}{3}$$

tuappr: [0 6] [0 1] 600 200  4*u.*exp(-2*t)
EX = 0.5000    EY = 0.6667    EX2 = 0.4998    EY2 = 0.5000    EXY = 0.3333

Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

(Consulte el Ejercicio 15 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 1 + t$$.

$$f_X(t) = \dfrac{3}{88} (1 + t) (1 + 4t + t^2) = \dfrac{3}{88} (1 + 5t + 5t^2 + t^3)$$,$$0 \le t \le 2$$

$$f_Y(t) = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{3}{88} (6u^2 + 4) + I_{(1, 3]} (u) \dfrac{3}{88} (3 + 2u + 8u^2 - 3u^3)$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{313}{220}$$,$$E[Y] = \dfrac{1429}{880}$$,$$E[X^2] = \dfrac{49}{22}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{172}{55}$$,$$E[XY] = \dfrac{2153}{880}$$

tuappr: [0 2] [0 3] 200 300  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<1+t)
EX = 1.4229    EY = 1.6202    EX2 = 2.2277    EY2 = 3.1141    EXY = 2.4415

Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

(Consulte el Ejercicio 16 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = 12t^2 u$$en el paralelogramo con vértices

(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

$$f_X(t) = I_{[-1, 0]} (t) 6t^2 (t + 1)^2 + I_{(0, 1]} (t) 6t^2 (1 - t^2)$$,$$f_Y(u) 12u^3 - 12u^2 + 4u$$,$$0 \le u \le 1$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{2}{5}$$,$$E[Y] = \dfrac{11}{15}$$,$$E[X^2] = \dfrac{2}{5}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{3}{5}$$,$$E[XY] = \dfrac{2}{5}$$

tuappr: [-1 1] [0 1] 400 300  12*t.^2.*u.*(u>=max(0,t)).*(u<=min(1+t,1))
EX = 0.4035    EY = 0.7342    EX2 = 0.4016    EY2 = 0.6009    EXY = 0.4021

Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

(Consulte el Ejercicio 17 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1, 2-t\}$$.

$$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{11}t + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{12}{11} t (2 - t)^2$$,$$f_Y(u) = \dfrac{12}{11} u(u - 2)^2$$,$$0 \le u \le 1$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{52}{55}$$,$$E[Y] = \dfrac{32}{55}$$,$$E[X^2] = \dfrac{57}{55}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{2}{5}$$,$$E[XY] = \dfrac{28}{55}$$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
EX = 0.9458    EY = 0.5822    EX2 = 1.0368    EY2 = 0.4004    EXY = 0.5098

Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

(Consulte el Ejercicio 18 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}$$.

$$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{6}{23} (2 - t) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{23} t^2$$,$$f_Y(u) = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{6}{23} (2u + 1) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{3}{23} (4 + 6u - 4u^2)$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{53}{46}$$,$$E[Y] = \dfrac{22}{23}$$,$$E[X^2] = \dfrac{397}{230}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{261}{230}$$,$$E[XY] = \dfrac{251}{230}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200  (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
EX = 1.1518    EY = 0.9596    EX2 = 1.7251    EY2 = 1.1417    EXY = 1.0944

Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

(Consulte el Ejercicio 19 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{2, 3 - t\}$$.

$$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{179} (3t^2 + 1) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{179} (9 - 6t + 19t^2 - 6t^3)$$

$$f_Y (u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{179} (4 + u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{12}{179} (27 - 24u + 8u^2 - u^3)$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{2313}{1790}$$,$$E[Y] = \dfrac{778}{895}$$,$$E[X^2] = \dfrac{1711}{895}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{916}{895}$$,$$E[XY] = \dfrac{1811}{1790}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u<=min(2,3-t))
EX = 1.2923    EY = 0.8695    EX2 = 1.9119    EY2 = 1.0239    EXY = 1.0122

Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

(Consulte el Ejercicio 20 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (3t + 2tu)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}$$.

$$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{227} (t^3 + 5t^2 + 4t) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{120}{227} t$$

$$f_Y (u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{227} (2u + 3) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{6}{227} (2u + 3) (3 + 2u - u^2)$$

$$= I_{[0, 1]} (u) \dfrac{24}{227} (2u + 3) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{6}{227} (9 + 12u + u^2 - 2u^3)$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{1567}{1135}$$,$$E[Y] = \dfrac{2491}{2270}$$,$$E[X^2] = \dfrac{476}{227}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{1716}{1135}$$,$$E[XY] = \dfrac{5261}{3405}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u<=min(1+t,2))
EX = 1.3805    EY = 1.0974    EX2 = 2.0967    EY2 = 1.5120    EXY = 1.5450

Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

(Consulte el Ejercicio 21 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{2}{13} (t + 2u)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{2t, 3-t\}$$.

$$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{13} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{13} (3 - t)$$

$$f_Y(u) = I_{[0, 1]} (u) (\dfrac{4}{13} + \dfrac{8}{13} u - \dfrac{9}{52} u^2) + I_{(1, 2]} (u) (\dfrac{9}{13} + \dfrac{6}{13} u - \dfrac{51}{52} u^2)$$

Contestar

$$E[X] = \dfrac{16}{13}$$,$$E[Y] = \dfrac{11}{12}$$,$$E[X^2] = \dfrac{219}{130}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{83}{78}$$,$$E[XY] = \dfrac{431}{390}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (2/13)*(t + 2*u).*(u<=min(2*t,3-t))
EX = 1.2309    EY = 0.9169    EX2 = 1.6849    EY2 = 1.0647    EXY = 1.1056

Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

(Consulte el Ejercicio 22 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribución conjunta “).

$$f_{XY} (t, u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 2u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{9}{14} t^2 u^2$$, para$$0 \le u \le 1$$.

$$f_X(t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 1) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{3}{14} t^2$$,$$f_Y(u) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{4} u + \dfrac{3}{2} u^2$$ (0\ le u\ le 1\)

Contestar

$$E[X] = \dfrac{243}{224}$$,$$E[Y] = \dfrac{11}{16}$$,$$E[X^2] = \dfrac{107}{70}$$,$$E[Y^2] = \dfrac{127}{240}$$,$$E[XY] = \dfrac{347}{448}$$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (3/8)*(t.^2 + 2*u).*(t<=1) + (9/14)*(t.^2.*u.^2).*(t > 1)
EX = 1.0848    EY = 0.6875    EX2 = 1.5286    EY2 = 0.5292    EXY = 0.7745

Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

La clase$$\{X, Y, Z\}$$ de variables aleatorias es iid (independiente, distribuida idénticamente) con distribución común

$$X =$$[-5 -1 3 4 7]$$PX =$$ 0.01 * [15 20 30 25 10]

Vamos$$W = 3X - 4Y + 2Z$$. Determinar$$E[W]$$. Haga esto usando icalc, luego repita con icalc3 y compare los resultados.

Contestar

Usar$$x$$ y$$px$$ evitar renombrar.

x = [-5 -1 3 4 7];
px = 0.01*[15 20 30 25 10];
icalc
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities px
Enter Y probabilities px
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
G = 3*t - 4*u
[R,PR] = csort(G,P);
icalc
Enter row matrix of X-values  R
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  PR
Enter Y probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = t + 2*u;
EH = total(H.*P)
EH = 1.6500
[W,PW] = csort(H,P);  % Alternate
EW = W*PW'
EW = 1.6500
icalc3                % Solution with icalc3
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter row matrix of Z-values  x
Enter X probabilities  px
Enter Y probabilities  px
Enter Z probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, Z,
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
K = 3*t - 4*u + 2*v;
EK = total(K.*P)
EK = 1.6500

Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

(Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas sobre las funciones de las variables aleatorias “) El comité cultural de una organización estudiantil ha organizado un trato especial para entradas a un concierto. El acuerdo es que la organización comprará diez boletos a $20 cada uno (independientemente del número de compradores individuales). Los boletos adicionales están disponibles según el siguiente horario: 11-20,$18 cada uno; 21-30 $16 cada uno; 31-50,$15 cada uno; 51-100, \$13 cada uno

Si el número de compradores es una variable aleatoria$$X$$, el costo total (en dólares) es una cantidad aleatoria$$Z = g(X)$$ descrita por

$$g(X) = 200 + 18I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20) +$$

$$(15 - 16) I_{M3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)$$

donde$$M1 = [10, \infty)$$$$M2 = [20, \infty)$$,$$M3 = [30, \infty)$$,$$M4 = [50, \infty)$$

Supongamos$$X$$ ~ Poisson (75). Aproximar la distribución de Poisson truncando a 150. Determinar$$E[Z]$$ y$$E[Z^2]$$.

Contestar
X = 0:150;
PX = ipoisson(75, X);
G = 200 + 18*(X - 10).*(X>=10) + (16 - 18)*(X - 20).*(X>=20) + ...
(15 - 16)*(X - 30).*(X>=30) + (13 - 15)*(X>=50);
[Z,PZ] = csort(G,PX);
EZ = Z*PZ'
EZ = 1.1650e+03
EZ2 = (Z.^2)*PZ'
EZ2 = 1/3699e+06

Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en m-file npr08_07.m):

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = -3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9 u = 7.5 0.009 0.0396 0.0594 0.0216 0.044 0.0203 4.1 0.0495 0 0.1089 0.0528 0.0363 0.0231 -2.0 0.0405 0.132 0.0891 0.0324 0.0297 0.0189 -3.8 0.051 0.0484 0.0726 0.0132 0 0.0077

Vamos$$Z = g(X, Y) = 3X^2 + 2XY - Y^2)$$. Determinar$$E[Z]$$ y$$E[Z^2]$$.

Contestar
npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
------------------
G = 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2;
EG = total(G.*P)
EG = 5.2975
ez2 = total(G.^2.*P)
EG2 = 1.0868e+03
[Z,PZ] = csort(G,P);        % Alternate
EZ = Z*PZ'
EZ = 5.2975
EZ2 = (Z.^2)*PZ'
EZ2 = 1.0868e+03

Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

Para el par$$\{X, Y\}$$ en el Ejercicio 11.3.35, vamos

$$W = g(X, Y) = \begin{cases} X & \text{for } X + Y \le 4 \\ 2Y & \text{for } X+Y > 4 \end{cases} = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y)2Y$$

Determinar$$E[W]$$ y$$E[W^2]$$.

Contestar
H = t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4);
EH = total(H.*P)
EH = 4.7379
EH2 = total(H.^2.*P)
EH2 = 61.4351
[W,PW] = csort(H,P);    %Alternate
EW = W*PW'
EW = 4.7379
EW2 = (W.^2)*PW'
EW2 = 61.4351

Para la distribución en Ejercicios 37-41 a continuación

a. Determinar analíticamente$$E[Z]$$ y$$E[Z^2]$$
b. Utilice una aproximación discreta para calcular las mismas cantidades.

Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 1+t$$ (ver Ejercicio 25).

$$Z = I_{[0, 1]} (X)4X + I_{(1,2]} (X)(X+Y)$$

Contestar
$$E[Z] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + t} 4t (2t + 3u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} (t + u) (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{5649}{1760}$$

$$E[Z^2] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + t} (4t)^2 (2t + 3u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} (t + u)^2 (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{4881}{440}$$
tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t+3*u.^2).*(u<=1+t)
G = 4*t.*(t<=1) + (t + u).*(t>1);
EG = total(G.*P)
EG = 3.2086
EG2 = total(G.^2.*P)
EG2 = 11.0872

Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}$$ (ver Ejercicio 27)

$$Z = I_M(X, Y) \dfrac{1}{2}X + I_{M^c} (X, Y) Y^2$$,$$M = \{(t, u) : u > t\}$$

Contestar
$$E[Z] = \dfrac{12}{11} \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^2u\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^3\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} tu^3\ dudt = \dfrac{16}{55}$$

$$E[Z^2] = \dfrac{6}{11} \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^3u\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^5\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} tu^5\ dudt = \dfrac{39}{308}$$
tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
G = (1/2)*t.*(u>t) + u.^2.*(u<=t);
EZ = 0.2920 EZ2 = 0.1278

Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}$$ (ver Ejercicio 28)

$$Z = I_M (X, Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y)2Y$$,$$M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}$$

Contestar
$$E[Z] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (t + u) (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 2u (1 + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 2u (t + 2u)\ dudt = \dfrac{175}{92}$$

$$E[Z^2] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (t + u)^2 (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 4u^2 (1 + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 4u^2 (t + 2u)\ dudt =$$
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (3/23)*(t+2*u).*(u<=max(2-t,t))
M = max(t,u)<=1;
G = (t+u).*M + 2*u.*(1-M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.9048
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 4.4963

Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{2, 3-t\}$$ (ver Ejercicio 19)

$$Z = I_M (X,Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y^2$$,$$M = \{(t, u): t \le 1, u \ge 1\}$$

Contestar
$$E[Z] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (t + u) (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2u^2 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 2u^2 (3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{1422}{895}$$

$$E[Z^2] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (t + u)^2 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 4u^4 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 4u^4 (3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{28296}{6265}$$
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u <= min(2,3-t))
M = (t<=1)&(u>=1);
G = (t + u).*M + 2*u.^2.*(1 - M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.5898
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 4.5224

Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (2t + 2tu)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}$$ (ver Ejercicio 30).

$$Z = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) XY$$,$$M = \{(t, u): u \le \text{min } (1, 2 - t)\}$$

Contestar
$$E[Z] = \dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t (3t + 2tu) \ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} t(3t + 2tu)\ dudt +$$

$$\dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{1}^{1 + t} tu(3t + 2tu)\ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{2 - t}^{2} tu (3t + 2tu)\ dudt = \dfrac{5774}{3405}$$

$$E[Z^2] = \dfrac{56673}{15890}$$
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u <= min(1+t,2))
M = u <= min(1,2-t);
G = t.*M + t.*u.*(1 - M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.6955
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 3.5659

Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

La clase$$\{X, Y, Z\}$$ es independiente. (Consulte el Ejercicio 16 de “Problemas en Funciones de Variables Aleatorias”, m-file npr10_16.m)

$$X = -2I_A + I_B + 3I_C$$. Las probabilidades minterm son (en el orden habitual)

0.255 0.025 0.375 0.045 0.108 0.012 0.162 0.018

$$Y = I_D + 3I_E + I_F - 3$$. La clase$$\{D, E, F\}$$ es independiente con

$$P(D) = 0.32$$$$P(E) = 0.56$$$$P(F) = 0.40$$

$$Z$$tiene distribución

 Valor -1.3 1.2 2.7 3.4 5.8 Probabilidad 0.12 0.24 0.43 0.13 0.08

$$W = X^2 + 3XY^2 - 3Z$$. Determinar$$E[W]$$ y$$E[W^2]$$.

Contestar
npr10_16
Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ
[X,PX] = canonicf(cx,pmx);
[Y,PY] - canonicf(cy,pmy);
icalc3
input: X, Y, Z, PX, PY, PZ
-------------
Use array operations on matrices X, Y, Z.
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
G = t.^2 + 3*t.*u.^2 - 3*v;
[W,PW] = csort(G,P);
EW = W*PW'
EW = -1.8673
EW2 = (W.^2)*PW'
EW2 = 426.8529

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