12.4: Problemas de varianza, covarianza, regresión lineal
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(Consulte el Ejercicio 1 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 1 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “, m-file npr07_01.m). La clase\(\{C_j: 1 \le j \le 10\}\) es una partición. \(X\)La variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} on\(C_1\) through\(C_{10}\), respectivamente, con probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
npr07_01 Data are in T and pc EX = T*pc' EX = 2.7000 VX = (T.^2)*pc' - EX^2 VX = 1.5500 [X,PX] = csort(T,pc); % Alternate Ex = X*PX' Ex = 2.7000 Vx = (X.^2)*PX' - EX^2 Vx = 1.5500
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
(Consulte el Ejercicio 2 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 2 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “, m-file npr07_02.m). Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 y $7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra
\(X = 3.5 I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5 I_{C_3} + 7.5 I_{C_4} + 5.0 I_{C_5} + 5.0 I_{C_6} + 3.5 I_{C_7} + 7.5 I_{C_8}\)
Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
npr07_02 Data are in T, pc EX = T*pc'; VX = (T.^2)*pc' - EX^2 VX = 2.8525
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
(Consulte el Ejercicio 12 de "Problemas sobre variables y probabilidades aleatorias “, Ejercicio 3 de" Problemas sobre la expectativa matemática “, m-file npr06_12.m). La clase\(\{A, B, C, D\}\) tiene probabilidades minterm
\(pm = \)0,001 * [5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]
Considerar\(X = I_A + I_B + I_C + I_D\), que cuenta el número de estos eventos que ocurren en un juicio. Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
npr06_12 Minterm probabilities in pm, coefficients in c canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities pm Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution VX = (X.^2)*PX' - (X*PX')^2 VX = 0.7309
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
(Consulte el Ejercicio 4 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). En una tormenta eléctrica en un parque nacional hay 127 rayos. La experiencia muestra que la probabilidad de que cada rayo inicie un incendio es de aproximadamente 0.0083. Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
\(X\)~ binomio (127, 0.0083). \(\text{Var} [X] = 127 \cdot 0.0083 \cdot (1-0.0083) = 1.0454\).
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
(Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). Dos monedas son volteadas veinte veces. Dejar\(X\) ser el número de coincidencias (ambas cabezas o ambas colas). Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
\(X\)~ binomio (20, 1/2). \(\text{Var}[X] = 20 \cdot (1/2)^2 = 5\).
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
(Consulte el Ejercicio 6 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Se venden cincuenta oportunidades. Un jugador paga $10 para jugar; gana $30 con probabilidad\(p = 0.2\). El beneficio para el Colegio es
\(X = 50 \cdot 10 - 30 N\), donde\(N\) está el número de ganadores
Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
\(N\)~ binomio (50, 0.2). \(\text{Var}[N] = 50 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 8\). \(\text{Var} [X] = 30^2\ \text{Var} [N] = 7200\).
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
(Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). El número de pulsos de ruido que llegan a un circuito de alimentación en una hora es una cantidad aleatoria\(X\) que tiene distribución de Poisson (7). Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
\(X\)~ Poisson (7). \(\text{Var} [X] = \mu = 7\).
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
(Consulte el Ejercicio 24 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 8 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “). El tiempo total de operación para las unidades en el Ejercicio 24 de "Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad" es una variable aleatoria\(T\) ~ gamma (20, 0.0002). Determinar\(\text{Var} [T]\).
- Contestar
-
\(T\)~ gamma (20, 0.0002). \(\text{Var}[T] = 20/0.0002^2 = 500,000,000\).
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
La clase\(\{A, B, C, D, E, F\}\) es independiente, con respectivas probabilidades
0.43, 0.53, 0.46, 0.37, 0.45, 0.39. Let
\(X = 6 I_A + 13 I_B - 8I_C\),\(Y = -3I_D + 4 I_E + I_F - 7\)
a. Utilizar propiedades de expectativa y varianza para obtener\(E[X]\),\(\text{Var} [X]\),\(E[Y]\), y\(\text{Var}[Y]\). Tenga en cuenta que no es necesario obtener las distribuciones para\(X\) o\(Y\).
b. vamos\(Z = 3Y - 2X\).
Determinar\(E[Z]\), y\(\text{Var} [Z]\).
- Contestar
-
cx = [6 13 -8 0]; cy = [-3 4 1 -7]; px = 0.01*[43 53 46 100]; py = 0.01*[37 45 39 100]; EX = dot(cx,px) EX = 5.7900 EY = dot(cy,py) EY = -5.9200 VX = sum(cx.^2.*px.*(1-px)) VX = 66.8191 VY = sum(cy.^2.*py.*(1-py)) VY = 6.2958 EZ = 3*EY - 2*EX EZ = -29.3400 VZ = 9*VY + 4*VX VZ = 323.9386
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
Considerar\(X = -3.3 I_A - 1.7 I_B + 2.3 I_C + 7.6 I_D - 3.4\). La clase\(\{A, B, C, D\}\) tiene probabilidades minterm (los datos están en m-file npr12_10.m)
\(\text{pmx} =\)[0.0475 0.0725 0.0120 0.0180 0.1125 0.1675 0.0280 0.0420\(\cdot\cdot\cdot\)
0.0480 0.0720 0.0130 0.0170 0.1120 0.1680 0.0270 0.0430]
a. Calcular\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).
b. vamos\(W = 2X^2 - 3X + 2\).
Calcular\(E[W]\) y\(\text{Var} [W]\)
- Contestar
-
npr12_10 Data are in cx, cy, pmx and pmy canonic Enter row vector of coefficients cx Enter row vector of minterm probabilities pmx Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution EX = dot(X,PX) EX = -1.2200 VX = dot(X.^2,PX) - EX^2 VX = 18.0253 G = 2*X.^2 - 3*X + 2; [W,PW] = csort(G,PX); EW = dot(W,PW) EW = 44.6874 VW = dot(W.^2,PW) - EW^2 VW = 2.8659e+03
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
Considera una segunda variable aleatoria\(Y = 10 I_E + 17 I_F + 20 I_G - 10\) además de la del Ejercicio 12.4.10. La clase\(\{E, F, G\}\) tiene probabilidades minterm (en mfile npr12_10.m)
\(\text{pmy} =\)[0.06 0.14 0.09 0.21 0.06 0.14 0.09 0.21]
El par\(\{X, Y\}\) es independiente.
a. Calcular\(E[Y]\) y\(\text{Var} [Y]\).
b. vamos\(Z = X^2 + 2XY - Y\).
Calcular\(E[Z]\) y\(\text{Var} [Z]\).
- Contestar
-
(Continuación del Ejercicio 12.4.10)
[Y,PY] = canonicf(cy,pmy); EY = dot(Y,PY) EY = 19.2000 VY = dot(Y.^2,PY) - EY^2 VY = 178.3600 icalc Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P H = t.^2 + 2*t.*u - u; [Z,PZ] = csort(H,P); EZ = dot(Z,PZ) EZ = -46.5343 VZ = dot(Z.^2,PZ) - EZ^2 VZ = 3.7165e+04
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente, con\(X\) ~ gamma (3, 0.1) y
\(Y\)~ Poisson (13). Vamos\(Z = 2X - 5Y\). Determinar\(E[Z]\) y\(\text{Var} [Z]\).
- Contestar
-
\(X\)~ gamma (3, 0.1) implica\(E[X] = 30\) y\(\text{Var} [X] = 300.\)\(Y\) ~ Poisson (13) implica\(E[Y] = \text{Var} [Y] = 13\). Entonces
\(E[Z] = 2\cdot 30 - 5 \cdot 13 = -5\),\(\text{Var}[Z] = 4 \cdot 300 + 25 \cdot 13 = 1525\).
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
El par\(\{X, Y\}\) se distribuye conjuntamente con los siguientes parámetros:
\(E[X] = 3\),\(E[Y] = 4\),\(E[XY] = 15\),\(E[X^2] = 11\),\(\text{Var} [Y] = 5\)
Determinar\(\text{Var} [3X - 2Y]\).
- Contestar
-
EX = 3; EY = 4; EXY = 15; EX2 = 11; VY = 5; VX = EX2 - EX^2 VX = 2 CV = EXY - EX*EY CV = 3 VZ = 9*VX + 4*VY - 6*2*CV VZ = 2
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
La clase\(\{A, B, C, D, E, F\}\) es independiente, con respectivas probabilidades
0.47, 0.33, 0.46, 0.27, 0.41, 0.37
Let
\(X = 8I_A + 11 I_B - 7I_C\),\(Y = -3I_D + 5I_E + I_F - 3\), y\(Z = 3Y - 2X\)
a. Utilizar propiedades de expectativa y varianza para obtener\(E[X]\),\(\text{Var} [X]\),\(E[Y]\), y\(\text{Var}[Y]\).
b. Determinar\(E[Z]\), y\(\text{Var} [Z]\).
c. Utilizar programas m apropiados para obtener\(E[X]\),\(\text{Var} [X]\),\(E[Y]\)\(\text{Var} [Y]\),\(E[Z]\), y\(\text{Var} [Z]\). Comparar con los resultados de las partes (a) y (b).
- Contestar
-
px = 0.01*[47 33 46 100]; py = 0.01*[27 41 37 100]; cx = [8 11 -7 0]; cy = [-3 5 1 -3]; ex = dot(cx,px) ex = 4.1700 ey = dot(cy,py) ey = -1.3900 vx = sum(cx.^2.*px.*(1 - px)) vx = 54.8671 vy = sum(cy.^2.*py.*(1-py)) vy = 8.0545 [X,PX] = canonicf(cx,minprob(px(1:3))); [Y,PY] = canonicf(cy,minprob(py(1:3))); icalc Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P EX = dot(X,PX) EX = 4.1700 EY = dot(Y,PY) EY = -1.3900 VX = dot(X.^2,PX) - EX^2 VX = 54.8671 VY = dot(Y.^2,PY) - EY^2 VY = 8.0545 EZ = 3*EY - 2*EX EZ = -12.5100 VZ = 9*VY + 4*VX VZ = 291.9589
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
Para la distribución Beta (\(r, s\)).
a. Determinar\(E[X^n]\), donde\(n\) es un entero positivo.
b. utilizar el resultado de la parte (a) para determinar\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
\(E[X^n] = \dfrac{\Gamma (r + s)}{\Gamma (r) \Gamma (s)} \int_0^1 t^{r + n - 1} dt = \dfrac{\Gamma (r + s)}{\Gamma (r) \Gamma (s)} \cdot \dfrac{\Gamma (r + n) \Gamma (s)}{\Gamma (r + s + n)} =\)
\(\dfrac{\Gamma (r + n) \Gamma (r + s)}{\Gamma (r + s + n) \Gamma (r)}\)
Usando\(\Gamma (x + 1) = x \Gamma (x)\) tenemos
\(E[X] = \dfrac{r}{r + s}\),\(E[X^2] = \dfrac{r(r + 1)}{(r + s) (r + s + 1)}\)
Algunas manipulaciones algebraicas muestran que
\(\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = \dfrac{rs} {(r + s)^2 (r + s + 1)}\)
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
El par\(\{X, Y\}\) tiene distribución conjunta. Supongamos
\(E[X] = 3\),\(E[X^2] = 11\),\(E[Y] = 10\),\(E[Y^2] = 101\),\(E[XY] = 30\)
Determinar\(\text{Var} [15X - 2Y]\).
- Contestar
-
EX = 3; EX2 = 11; EY = 10; EY2 = 101; EXY = 30; VX = EX2 - EX^2 VX = 2 VY = EY2 - EY^2 VY = 1 CV = EXY - EX*EY CV = 0 VZ = 15^2*VX + 2^2*VY VZ = 454
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
El par\(\{X, Y\}\) tiene distribución conjunta. Supongamos
\(E[X] = 2\),\(E[X^2] = 5\),\(E[Y] = 1\),\(E[Y^2] = 2\),\(E[XY] = 1\)
Determinar\(\text{Var} [3X + 2Y]\).
- Contestar
-
EX = 2; EX2 = 5; EY = 1; EY2 = 2; EXY = 1; VX = EX2 - EX^2 VX = 1 VY = EY2 - EY^2 VY = 1 CV = EXY - EX*EY CV = -1 VZ = 9*VX + 4*VY + 2*6*CV VZ = 1
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
El par\(\{X, Y\}\) es independiente, con
\(E[X] = 2\),\(E[Y] = 1\),\(\text{Var} [X] = 6\),\(\text{Var} [Y] = 4\)
Vamos\(Z = 2X^2 + XY^2 - 3Y + 4\).
Determinar\(E[Z]\).
- Contestar
-
EX = 2; EY = 1; VX = 6; VY = 4; EX2 = VX + EX^2 EX2 = 10 EY2 = VY + EY^2 EY2 = 5 EZ = 2*EX2 + EX*EY2 - 3*EY + 4 EZ = 31
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
(Consulte el Ejercicio 9 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). La variable aleatoria X tiene función de densidad
\(f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5)(2 - t) & \text{for } 1 < t \le 2 \end{cases} = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 - t)\)
\(E[X] = 11/10\). Determinar\(\text{Var} [X]\).
- Contestar
-
\(E[X^2] = \int t^2 f_X (t)\ dt = \dfrac{6}{5} \int_0^1 t^4\ dt + \dfrac{6}{5} \int_1^2 (2t^2 - t^3)\ dt = \dfrac{67}{50}\)
\(\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = \dfrac{13}{100}\)
Para las distribuciones en Ejercicios 20-22
Determinar\(\text{Var} [X]\),\(\text{Cov} [X, Y]\), y la línea de regresión de\(Y\) on\(X\).
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
(Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 17 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en el archivo npr08_07.m):
\(P(X = t, Y = u)\)
| t = | -3.1 | -0.5 | 1.2 | 2.4 | 3.7 | 4.9 |
| u = 7.5 | 0.0090 | 0.0396 | 0.0594 | 0.0216 | 0.0440 | 0.0203 |
| 4.1 | 0.0495 | 0 | 0.1089 | 0.0528 | 0.0363 | 0.0231 |
| -2.0 | 0.0405 | 0.1320 | 0.0891 | 0.0324 | 0.0297 | 0.0189 |
| -3.8 | 0.0510 | 0.0484 | 0.0726 | 0.0132 | 0 | 0.0077 |
- Contestar
-
npr08_07 Data are in X, Y, P jcalc - - - - - - - - - - - EX = dot(X,PX); EY = dot(Y,PY); VX = dot(X.^2,PX) - EX^2 VX = 5.1116 CV = total(t.*u.*P) - EX*EY CV = 2.6963 a = CV/VX a = 0.5275 b = EY - a*EX b = 0.6924 % Regression line: u = at + b
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
(Consulte el Ejercicio 8 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 18 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en el archivo npr08_08.m):
\(P(X = t, Y = u)\)
| t = | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
| u = 12 | 0.0156 | 0.0191 | 0.0081 | 0.0035 | 0.0091 | 0.0070 | 0.0098 | 0.0056 | 0.0091 | 0.0049 |
| 10 | 0.0064 | 0.0204 | 0.0108 | 0.0040 | 0.0054 | 0.0080 | 0.0112 | 0.0064 | 0.0104 | 0.0056 |
| 9 | 0.0196 | 0.0256 | 0.0126 | 0.0060 | 0.0156 | 0.0120 | 0.0168 | 0.0096 | 0.0056 | 0.0084 |
| 5 | 0.0112 | 0.0182 | 0.0108 | 0.0070 | 0.0182 | 0.0140 | 0.0196 | 0.0012 | 0.0182 | 0.0038 |
| 3 | 0.0060 | 0.0260 | 0.0162 | 0.0050 | 0.0160 | 0.0200 | 0.0280 | 0.0060 | 0.0160 | 0.0040 |
| -1 | 0.0096 | 0.0056 | 0.0072 | 0.0060 | 0.0256 | 0.0120 | 0.0268 | 0.0096 | 0.0256 | 0.0084 |
| -3 | 0.0044 | 0.0134 | 0.0180 | 0.0140 | 0.0234 | 0.0180 | 0.0252 | 0.0244 | 0.0234 | 0.0126 |
| -5 | 0.0072 | 0.0017 | 0.0063 | 0.0045 | 0.0167 | 0.0090 | 0.0026 | 0.0172 | 0.0217 | 0.0223 |
- Contestar
-
npr08_08 Data are in X, Y, P jcalc - - - - - - - - - - - - EX = dot(X,PX); EY = dot(Y,PY); VX = dot(X.^2,PX) - EX^2 VX = 31.0700 CV = total(t.*u.*P) - EX*EY CV = -8.0272 a = CV/VX a = -0.2584 b = EY - a*EX b = 5.6110 % Regression line: u = at + b
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
(Ver Ejercicio 9 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y Ejercicio 19 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). Se conservaron datos sobre el efecto del tiempo de capacitación en el tiempo para realizar un trabajo en una línea de producción. \(X\)es la cantidad de entrenamiento, en horas, y\(Y\) es el tiempo para realizar la tarea, en minutos. Los datos son los siguientes (en el archivo npr08_09.m):
\(P(X = t, Y = u)\)
| t = | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| u = 5 | 0.039 | 0.011 | 0.005 | 0.001 | 0.001 |
| 4 | 0.065 | 0.070 | 0.050 | 0.015 | 0.010 |
| 3 | 0.031 | 0.061 | 0.137 | 0.051 | 0.033 |
| 2 | 0.012 | 0.049 | 0.163 | 0.058 | 0.039 |
| 1 | 0.003 | 0.009 | 0.045 | 0.025 | 0.017 |
- Contestar
-
npr08_09 Data are in X, Y, P jcalc - - - - - - - - - - - - EX = dot(X,PX); EY = dot(Y,PY); VX = dot(X.^2,PX) - EX^2 VX = 0.3319 CV = total(t.*u.*P) - EX*EY CV = -0.2586 a = CV/VX a = -0.77937/6; b = EY - a*EX b = 4.3051 % Regression line: u = at + b
Para las densidades articulares en los Ejercicios 23-30 siguientes
- Determinar analíticamente\(\text{Var} [X]\)\(\text{Cov} [X, Y]\), y la línea de regresión de\(Y\) on\(X\).
- Compruébalos con una aproximación discreta.
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
(Consulte el Ejercicio 10 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 20 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = 1\)para\(0 \le t \le 1\),\(0 \le u \le 2(1 - t)\).
\(E[X] = \dfrac{1}{3}\),\(E[X^2] = \dfrac{1}{6}\),\(E[Y] = \dfrac{2}{3}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-t)} tu\ dudt = 1/6\)
\(\text{Cov} [X, Y] = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = -1/18\)\(\text{Var} [X] = 1/6 - (1/3)^2 = 1/18\)
\(a = \text{Cov} [X, Y] /\text{Var} [X] = -1\)\(b = E[Y] - aE[X] = 1\)
tuappr: [0 1] [0 2] 200 400 u<=2*(1-t) EX = dot(X,PX); EY = dot(Y,PY); VX = dot(X.^2,PX) - EX^2 VX = 0.0556 CV = total(t.*u.*P) - EX*EY CV = -0.0556 a = CV/VX a = -1.0000 b = EY - a*EX b = 1.0000
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
(Consulte el Ejercicio 13 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 23 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{1}{8} (t + u)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 2\).
\(E[X] = E[Y] = \dfrac{7}{6}\),\(E[X^2] = \dfrac{5}{3}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} tu (t + u)\ dudt = 4/3\),\(\text{Cov} [X, Y] = -1/36\),\(\text{Var} [X] = 11/36\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -1/11\),\(b = E[Y] - a E[X] = 14/11\)
tuappr: [0 2] [0 2] 200 200 (1/8)*(t+u) VX = 0.3055 CV = -0.0278 a = -0.0909 b = 1.2727
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
(Consulte el Ejercicio 15 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 25 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 1 + t\).
\(E[X] = \dfrac{313}{220}\),\(E[Y] = \dfrac{1429}{880}\),\(E[X^2] = \dfrac{49}{22}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1+t} tu (2t + 3u^2)\ dudt = 2153/880\),\(\text{Cov} [X, Y] = 26383/1933600\),\(\text{Var} [X] = 9831/48400\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = 26383/39324\),\(b = E[Y] - a E[X] = 26321/39324\)
tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<=1+t) VX = 0.2036 CV = 0.1364 a = 0.6700 b = 0.6736
Ejercicio\(\PageIndex{26}\)
(Consulte el Ejercicio 16 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 26 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = 12t^2 u\)en el paralelogramo con vértices
(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)
\(E[X] = \dfrac{2}{5}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{15}\),\(E[X^2] = \dfrac{2}{5}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = 12 \int_{-1}^{0} \int_{0}^{t + 1} t^3 u^2\ dudt + 12 \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^3 u^2 \ dudt = \dfrac{2}{5}\)
\(\text{Cov} [X, Y] = \dfrac{8}{75}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{6}{25}\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = 4/9\),\(b = E[Y] - a E[X] = 5/9\)
tuappr: [-1 1] [0 1] 400 200 12*t.^2.*u.*(u>= max(0,t)).*(u<= min(1+t,1)) VX = 0.2383 CV = 0.1056 a = 0.4432 b = 0.5553
Ejercicio\(\PageIndex{27}\)
(Consulte el Ejercicio 17 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, y el Ejercicio 27 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}\).
\(E[X] = \dfrac{52}{55}\),\(E[Y] = \dfrac{32}{55}\),\(E[X^2] = \dfrac{627}{605}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t^2 u^2\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-t} t^2 u^2 \ dudt = \dfrac{28}{55}\)
\(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{124}{3025}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{431}{3025}\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{124}{431}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{368}{431}\)
tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t)) VX = 0.1425 CV =-0.0409 a = -0.2867 b = 0.8535
Ejercicio\(\PageIndex{28}\)
(Consulte el Ejercicio 18 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 28 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}\).
\(E[X] = \dfrac{53}{46}\),\(E[Y] = \dfrac{22}{23}\),\(E[X^2] = \dfrac{9131}{5290}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2-t} tu (t + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{0}^{t} tu (t + 2u) \ dudt = \dfrac{251}{230}\)
\(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{57}{5290}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{4217}{10580}\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{114}{4217}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{4165}{4217}\)
tuappr: [0 2] [0 2] 200 200 (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t)) VX = 0.3984 CV = -0.0108 a = -0.0272 b = 0.9909
Ejercicio\(\PageIndex{29}\)
(Consulte el Ejercicio 21 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 31 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{2}{13} (t + 2u)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2t, 3 - t\}\).
\(E[X] = \dfrac{16}{13}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{12}\),\(E[X^2] = \dfrac{2847}{1690}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \dfrac{2}{13} \int_{0}^{1} \int_{0}^{3-t} tu (t + 2u)\ dudt + \dfrac{2}{13} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2t} tu (t + 2u) \ dudt = \dfrac{431}{390}\)
\(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{3}{130}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{287}{1690}\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{39}{297}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{3733}{3444}\)
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (2/13)*(t + 2*u).*(u<=min(2*t,3-t)) VX = 0.1698 CV = -0.0229 a = -0.1350 b = 1.0839
Ejercicio\(\PageIndex{30}\)
(Consulte el Ejercicio 22 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 32 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 2u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{9}{14} t^2u^2\), para\(0 \le u \le 1\).
\(E[X] = \dfrac{243}{224}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{16}\),\(E[X^2] = \dfrac{107}{70}\)
- Contestar
-
\(E[XY] = \dfrac{3}{8} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} tu (t^2 + 2u)\ dudt + \dfrac{9}{14} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} t^3u^3 \ dudt = \dfrac{347}{448}\)
\(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{103}{3584}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{88243}{250880}\)
\(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{7210}{88243}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{105691}{176486}\)
tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (3/8)*(t.^2 + 2*u).*(t<=1) + (9/14)*t.^2.*u.^2.*(t>1) VX = 0.3517 CV = 0.0287 a = 0.0817 b = 0.5989
Ejercicio\(\PageIndex{31}\)
La clase\(\{X, Y, Z\}\) de variables aleatorias es iid (independiente, distribuida idénticamente) con distribución común
\(X =\)[-5 -1 3 4 7]\(PX =\) 0.01 * [15 20 30 25 10]
Vamos\(W = 3X - 4Y + 2Z\). Determinar\(E[W]\) y\(\text{Var} [W]\). Haga esto usando icalc, luego repita con icalc3 y compare los resultados.
- Contestar
-
x = [-5 -1 3 4 7]; px = 0.01*[15 20 30 25 10]; EX = dot(x,px) % Use of properties EX = 1.6500 VX = dot(x.^2,px) - EX^2 VX = 12.8275 EW = (3 - 4+ 2)*EX EW = 1.6500 VW = (3^2 + 4^2 + 2^2)*VX VW = 371.9975 icalc % Iterated use of icalc Enter row matrix of X-values x Enter row matrix of Y-values x Enter X probabilities px Enter Y probabilities px Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P G = 3*t - 4*u; [R,PR] = csort(G,P); icalc Enter row matrix of X-values R Enter row matrix of Y-values x Enter X probabilities PR Enter Y probabilities px Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P H = t + 2*u; [W,PW] = csort(H,P); EW = dot(W,PW) EW = 1.6500 VW = dot(W.^2,PW) - EW^2 VW = 371.9975 icalc3 % Use of icalc3 Enter row matrix of X-values x Enter row matrix of Y-values x Enter row matrix of Z-values x Enter X probabilities px Enter Y probabilities px Enter Z probabilities px Use array operations on matrices X, Y, Z, PX, PY, PZ, t, u, v, and P S = 3*t - 4*u + 2*v; [w,pw] = csort(S,P); Ew = dot(w,pw) Ew = 1.6500 Vw = dot(w.^2,pw) - Ew^2 Vw = 371.9975
Ejercicio\(\PageIndex{32}\)
\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 1 + t\) (ver Ejercicio 25 y Ejercicio 37 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).
\(Z = I_{[0, 1]} (X) 4X + I_{(1, 2]} (X) (X+ Y)\)
\(E[X] = \dfrac{313}{220}\),\(E[Z] = \dfrac{5649}{1760}\),\(E[Z^2] = \dfrac{4881}{440}\)
Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.
- Contestar
-
\(E[XZ] = \dfrac{3}{88} \int_0^1 \int_{0}^{1+t} 4t^2 (2t + 2u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} t (t + u) (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{16931}{3520}\)
\(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{2451039}{3097600}\)\(\text{Cov} [X,Z] = E[XZ] - E[X] E[Z] = \dfrac{94273}{387200}\)
tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t+3*u.^2).*(u<=1+t) G = 4*t.*(t<=1) + (t+u).*(t>1); EZ = total(G.*P) EZ = 3.2110 EX = dot(X,PX) EX = 1.4220 CV = total(G.*t.*P) - EX*EZ CV = 0.2445 % Theoretical 0.2435 VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2 VZ = 0.7934 % Theoretical 0.7913
Ejercicio\(\PageIndex{33}\)
\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}\) (ver Ejercicio 27 y Ejercicio 38 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).
\(Z = I_M (X,Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y\),\(M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}\)
\(E[X] = \dfrac{52}{55}\),\(E[Z] = \dfrac{16}{55}\),\(E[Z^2] = \dfrac{39}{308}\)
Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.
- Contestar
-
\(E[XZ] = \dfrac{24}{11} \int_0^1 \int_{t}^{1} t (t/2) tu \ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^2tu \ dudt \dfrac{24}{11} \int_1^2 \int_{0}^{2 - t} t tu^2 tu\ dudt= \dfrac{211}{770}\)
\(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{3557}{84700}\)\(\text{Cov} [Z,X] = E[XZ] - E[X] E[Z] = -\dfrac{43}{42350}\)
tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t)) G = (t/2).*(u>t) + u.^2.*(u<=t); VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2 VZ = 0.0425 CV = total(t.*G.*P) - EZ*dot(X,PX) CV = -9.2940e-04
Ejercicio\(\PageIndex{34}\)
\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}\) (ver Ejercicio 28 y Ejercicio 39 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).
\(Z = I_M (X, Y) (X+Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y\),\(M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}\)
\(E[X] = \dfrac{53}{46}\),\(E[Z] = \dfrac{175}{92}\),\(E[Z^2] = \dfrac{2063}{460}\)
Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [Z]\). Consultar con aproximación discreta.
- Contestar
-
\(E[ZX] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t (t + u) (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 2tu(t + 2u) \ dudt +\)
\(\dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 2tu(t + 2u)\ dudt = \dfrac{1009}{460}\)
\(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{36671}{42320}\)\(\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = \dfrac{39}{21160}\)
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (3/23)*(t+2*u).*(u<=max(2-t,t)) M = max(t,u)<=1; G = (t+u).*M + 2*u.*(1-M); EZ = total(G.*P); EX = dot(X,PX); CV = total(t.*G.*P) - EX*EZ CV = 0.0017
Ejercicio\(\PageIndex{35}\)
\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2, 3 - t\}\) (ver Ejercicio 29 y Ejercicio 40 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).
\(Z = I_M (X, Y) (X+Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y^2\),\(M = \{(t, u): t \le 1, u \ge 1\}\)
\(E[X] = \dfrac{2313}{1790}\),\(E[Z] = \dfrac{1422}{895}\),\(E[Z^2] = \dfrac{28296}{6265}\)
Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.
- Contestar
-
\(E[ZX] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} t (t + u) (3t^2 + u) \ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2tu^2 (3t^2 + u) \ dudt +\)
\(\dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 2tu^2(3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{24029}{12530}\)
\(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{11170332}{5607175}\)\(\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = -\dfrac{1517647}{11214350}\)
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u <= min(2,3-t)) M = (t<=1)&(u>=1); G = (t + u).*M + 2*u.^2.*(1 - M); EZ = total(G.*P); EX = dot(X,PX); CV = total(t.*G.*P) - EZ*EX CV = -0.1347
Ejercicio\(\PageIndex{36}\)
\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (3t + 2tu)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}\) (ver Ejercicio 30 y Ejercicio 41 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).
\(Z = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) XY\),\(M = \{(t, u): u \le \text{min } (1, 2 - t)\}\)
\(E[X] = \dfrac{1567}{1135}\),\(E[Z] = \dfrac{5774}{3405}\),\(E[Z^2] = \dfrac{56673}{15890}\)
Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.
- Contestar
-
\(E[ZX] = \dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t^2 (3t + 2tu) \ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-t} t^2(3t + 2tu) \ dudt +\)
\(\dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{1}^{1 + t} t^2 u(3t + 2tu)\ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{2 - t}^{2} t^2 u(3t + 2tu)\ dudt = \dfrac{20338}{7945}\)
\(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{112167631}{162316350}\)\(\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = \dfrac{5915884}{27052725}\)
tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u <= min(1+t,2)) EX = dot(X,PX); M = u <= min(1,2-t); G = t.*M + t.*u.*(1 - M); EZ = total(G.*P); EZX = total(t.*G.*P) EZX = 2.5597 CV = EZX - EX*EZ CV = 0.2188 VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2 VZ = 0.6907
Ejercicio\(\PageIndex{37}\)
(Ver Ejercicio 12.4.20, y Ejercicios 9 y 10 de "Problemas sobre Funciones de Variables Aleatorias “). Para el par\(\{X, Y\}\) en el Ejercicio 12.4.20, vamos
\(Z = g(X, Y) = 3X^2 + 2XY - Y^2\)
\(W = h(X, Y) = \begin{cases} X & \text{for } X + Y \le 4 \\ 2Y & \text{for } X + Y > 4 \end{cases} = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) 2Y\)
Determinar la distribución conjunta para el par\(\{Z, W\}\) y determinar la línea de regresión de\(W\) on\(Z\).
- Contestar
-
npr08_07 Data are in X, Y, P jointzw Enter joint prob for (X,Y) P Enter values for X X Enter values for Y Y Enter expression for g(t,u) 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2 Enter expression for h(t,u) t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4) Use array operations on Z, W, PZ, PW, v, w, PZW EZ = dot(Z,PZ) EZ = 5.2975 EW = dot(W,PW) EW = 4.7379 VZ = dot(Z.^2,PZ) - EZ^2 VZ = 1.0588e+03 CZW = total(v.*w.*PZW) - EZ*EW CZW = -12.1697 a = CZW/VZ a = -0.0115 b = EW - a*EZ b = 4.7988 % Regression line: w = av + b