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# 12.4: Problemas de varianza, covarianza, regresión lineal

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

(Consulte el Ejercicio 1 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 1 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “, m-file npr07_01.m). La clase$$\{C_j: 1 \le j \le 10\}$$ es una partición. $$X$$La variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} on$$C_1$$ through$$C_{10}$$, respectivamente, con probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar
npr07_01
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX =  2.7000
VX = (T.^2)*pc' - EX^2
VX =  1.5500
[X,PX] = csort(T,pc);    % Alternate
Ex = X*PX'
Ex =  2.7000
Vx = (X.^2)*PX' - EX^2
Vx =  1.5500

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

(Consulte el Ejercicio 2 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 2 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “, m-file npr07_02.m). Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50,$5.00, $3.50,$7.50, $5.00,$5.00, $3.50 y$7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra

$$X = 3.5 I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5 I_{C_3} + 7.5 I_{C_4} + 5.0 I_{C_5} + 5.0 I_{C_6} + 3.5 I_{C_7} + 7.5 I_{C_8}$$

Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar
npr07_02
Data are in T, pc
EX = T*pc';
VX = (T.^2)*pc' - EX^2
VX =  2.8525

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

(Consulte el Ejercicio 12 de "Problemas sobre variables y probabilidades aleatorias “, Ejercicio 3 de" Problemas sobre la expectativa matemática “, m-file npr06_12.m). La clase$$\{A, B, C, D\}$$ tiene probabilidades minterm

$$pm =$$0,001 * [5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

Considerar$$X = I_A + I_B + I_C + I_D$$, que cuenta el número de estos eventos que ocurren en un juicio. Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar
npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
canonic
Enter row vector of coefficients  c
Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
VX = (X.^2)*PX' - (X*PX')^2
VX =  0.7309

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

(Consulte el Ejercicio 4 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). En una tormenta eléctrica en un parque nacional hay 127 rayos. La experiencia muestra que la probabilidad de que cada rayo inicie un incendio es de aproximadamente 0.0083. Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar

$$X$$~ binomio (127, 0.0083). $$\text{Var} [X] = 127 \cdot 0.0083 \cdot (1-0.0083) = 1.0454$$.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

(Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). Dos monedas son volteadas veinte veces. Dejar$$X$$ ser el número de coincidencias (ambas cabezas o ambas colas). Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar

$$X$$~ binomio (20, 1/2). $$\text{Var}[X] = 20 \cdot (1/2)^2 = 5$$.

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

(Consulte el Ejercicio 6 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Se venden cincuenta oportunidades. Un jugador paga $10 para jugar; gana$30 con probabilidad$$p = 0.2$$. El beneficio para el Colegio es

$$X = 50 \cdot 10 - 30 N$$, donde$$N$$ está el número de ganadores

Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar

$$N$$~ binomio (50, 0.2). $$\text{Var}[N] = 50 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 8$$. $$\text{Var} [X] = 30^2\ \text{Var} [N] = 7200$$.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

(Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). El número de pulsos de ruido que llegan a un circuito de alimentación en una hora es una cantidad aleatoria$$X$$ que tiene distribución de Poisson (7). Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar

$$X$$~ Poisson (7). $$\text{Var} [X] = \mu = 7$$.

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

(Consulte el Ejercicio 24 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 8 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “). El tiempo total de operación para las unidades en el Ejercicio 24 de "Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad" es una variable aleatoria$$T$$ ~ gamma (20, 0.0002). Determinar$$\text{Var} [T]$$.

Contestar

$$T$$~ gamma (20, 0.0002). $$\text{Var}[T] = 20/0.0002^2 = 500,000,000$$.

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

La clase$$\{A, B, C, D, E, F\}$$ es independiente, con respectivas probabilidades

0.43, 0.53, 0.46, 0.37, 0.45, 0.39. Let

$$X = 6 I_A + 13 I_B - 8I_C$$,$$Y = -3I_D + 4 I_E + I_F - 7$$

a. Utilizar propiedades de expectativa y varianza para obtener$$E[X]$$,$$\text{Var} [X]$$,$$E[Y]$$, y$$\text{Var}[Y]$$. Tenga en cuenta que no es necesario obtener las distribuciones para$$X$$ o$$Y$$.

b. vamos$$Z = 3Y - 2X$$.

Determinar$$E[Z]$$, y$$\text{Var} [Z]$$.

Contestar
cx = [6 13 -8 0];
cy = [-3 4 1 -7];
px = 0.01*[43 53 46 100];
py = 0.01*[37 45 39 100];
EX = dot(cx,px)
EX =   5.7900
EY = dot(cy,py)
EY =  -5.9200
VX = sum(cx.^2.*px.*(1-px))
VX =  66.8191
VY = sum(cy.^2.*py.*(1-py))
VY =   6.2958
EZ = 3*EY - 2*EX
EZ = -29.3400
VZ = 9*VY + 4*VX
VZ = 323.9386

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Considerar$$X = -3.3 I_A - 1.7 I_B + 2.3 I_C + 7.6 I_D - 3.4$$. La clase$$\{A, B, C, D\}$$ tiene probabilidades minterm (los datos están en m-file npr12_10.m)

$$\text{pmx} =$$[0.0475 0.0725 0.0120 0.0180 0.1125 0.1675 0.0280 0.0420$$\cdot\cdot\cdot$$

0.0480 0.0720 0.0130 0.0170 0.1120 0.1680 0.0270 0.0430]

a. Calcular$$E[X]$$ y$$\text{Var} [X]$$.

b. vamos$$W = 2X^2 - 3X + 2$$.
Calcular$$E[W]$$ y$$\text{Var} [W]$$

Contestar
npr12_10
Data are in cx, cy, pmx and pmy
canonic
Enter row vector of coefficients  cx
Enter row vector of minterm probabilities  pmx
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
EX = dot(X,PX)
EX =  -1.2200
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =  18.0253
G = 2*X.^2 - 3*X + 2;
[W,PW] = csort(G,PX);
EW = dot(W,PW)
EW =  44.6874
VW = dot(W.^2,PW) - EW^2
VW =  2.8659e+03

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Considera una segunda variable aleatoria$$Y = 10 I_E + 17 I_F + 20 I_G - 10$$ además de la del Ejercicio 12.4.10. La clase$$\{E, F, G\}$$ tiene probabilidades minterm (en mfile npr12_10.m)

$$\text{pmy} =$$[0.06 0.14 0.09 0.21 0.06 0.14 0.09 0.21]

El par$$\{X, Y\}$$ es independiente.

a. Calcular$$E[Y]$$ y$$\text{Var} [Y]$$.

b. vamos$$Z = X^2 + 2XY - Y$$.
Calcular$$E[Z]$$ y$$\text{Var} [Z]$$.

Contestar

(Continuación del Ejercicio 12.4.10)

[Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
EY = dot(Y,PY)
EY =  19.2000
VY = dot(Y.^2,PY) - EY^2
VY = 178.3600
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = t.^2 + 2*t.*u - u;
[Z,PZ] = csort(H,P);
EZ = dot(Z,PZ)
EZ = -46.5343
VZ = dot(Z.^2,PZ) - EZ^2
VZ =  3.7165e+04

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Supongamos que el par$$\{X, Y\}$$ es independiente, con$$X$$ ~ gamma (3, 0.1) y

$$Y$$~ Poisson (13). Vamos$$Z = 2X - 5Y$$. Determinar$$E[Z]$$ y$$\text{Var} [Z]$$.

Contestar

$$X$$~ gamma (3, 0.1) implica$$E[X] = 30$$ y$$\text{Var} [X] = 300.$$$$Y$$ ~ Poisson (13) implica$$E[Y] = \text{Var} [Y] = 13$$. Entonces

$$E[Z] = 2\cdot 30 - 5 \cdot 13 = -5$$,$$\text{Var}[Z] = 4 \cdot 300 + 25 \cdot 13 = 1525$$.

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

El par$$\{X, Y\}$$ se distribuye conjuntamente con los siguientes parámetros:

$$E[X] = 3$$,$$E[Y] = 4$$,$$E[XY] = 15$$,$$E[X^2] = 11$$,$$\text{Var} [Y] = 5$$

Determinar$$\text{Var} [3X - 2Y]$$.

Contestar
EX = 3;
EY = 4;
EXY = 15;
EX2 = 11;
VY = 5;
VX = EX2 - EX^2
VX =  2
CV = EXY - EX*EY
CV =  3
VZ = 9*VX + 4*VY - 6*2*CV
VZ =  2

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

La clase$$\{A, B, C, D, E, F\}$$ es independiente, con respectivas probabilidades

0.47, 0.33, 0.46, 0.27, 0.41, 0.37

Let

$$X = 8I_A + 11 I_B - 7I_C$$,$$Y = -3I_D + 5I_E + I_F - 3$$, y$$Z = 3Y - 2X$$

a. Utilizar propiedades de expectativa y varianza para obtener$$E[X]$$,$$\text{Var} [X]$$,$$E[Y]$$, y$$\text{Var}[Y]$$.

b. Determinar$$E[Z]$$, y$$\text{Var} [Z]$$.

c. Utilizar programas m apropiados para obtener$$E[X]$$,$$\text{Var} [X]$$,$$E[Y]$$$$\text{Var} [Y]$$,$$E[Z]$$, y$$\text{Var} [Z]$$. Comparar con los resultados de las partes (a) y (b).

Contestar
px = 0.01*[47 33 46 100];
py = 0.01*[27 41 37 100];
cx = [8 11 -7 0];
cy = [-3 5 1 -3];
ex = dot(cx,px)
ex =   4.1700
ey = dot(cy,py)
ey =  -1.3900
vx = sum(cx.^2.*px.*(1 - px))
vx =  54.8671
vy = sum(cy.^2.*py.*(1-py))
vy =   8.0545
[X,PX] = canonicf(cx,minprob(px(1:3)));
[Y,PY] = canonicf(cy,minprob(py(1:3)));
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
EX = dot(X,PX)
EX =   4.1700
EY = dot(Y,PY)
EY =  -1.3900
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =  54.8671
VY = dot(Y.^2,PY) - EY^2
VY =   8.0545
EZ = 3*EY - 2*EX
EZ = -12.5100
VZ = 9*VY + 4*VX
VZ = 291.9589

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Para la distribución Beta ($$r, s$$).

a. Determinar$$E[X^n]$$, donde$$n$$ es un entero positivo.

b. utilizar el resultado de la parte (a) para determinar$$E[X]$$ y$$\text{Var} [X]$$.

Contestar

$$E[X^n] = \dfrac{\Gamma (r + s)}{\Gamma (r) \Gamma (s)} \int_0^1 t^{r + n - 1} dt = \dfrac{\Gamma (r + s)}{\Gamma (r) \Gamma (s)} \cdot \dfrac{\Gamma (r + n) \Gamma (s)}{\Gamma (r + s + n)} =$$

$$\dfrac{\Gamma (r + n) \Gamma (r + s)}{\Gamma (r + s + n) \Gamma (r)}$$

Usando$$\Gamma (x + 1) = x \Gamma (x)$$ tenemos

$$E[X] = \dfrac{r}{r + s}$$,$$E[X^2] = \dfrac{r(r + 1)}{(r + s) (r + s + 1)}$$

Algunas manipulaciones algebraicas muestran que

$$\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = \dfrac{rs} {(r + s)^2 (r + s + 1)}$$

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

El par$$\{X, Y\}$$ tiene distribución conjunta. Supongamos

$$E[X] = 3$$,$$E[X^2] = 11$$,$$E[Y] = 10$$,$$E[Y^2] = 101$$,$$E[XY] = 30$$

Determinar$$\text{Var} [15X - 2Y]$$.

Contestar
EX = 3;
EX2 = 11;
EY = 10;
EY2 = 101;
EXY = 30;
VX = EX2 - EX^2
VX =    2
VY = EY2 - EY^2
VY =    1
CV = EXY - EX*EY
CV =    0
VZ = 15^2*VX + 2^2*VY
VZ =  454

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

El par$$\{X, Y\}$$ tiene distribución conjunta. Supongamos

$$E[X] = 2$$,$$E[X^2] = 5$$,$$E[Y] = 1$$,$$E[Y^2] = 2$$,$$E[XY] = 1$$

Determinar$$\text{Var} [3X + 2Y]$$.

Contestar
EX = 2;
EX2 = 5;
EY = 1;
EY2 = 2;
EXY = 1;
VX = EX2 - EX^2
VX =    1
VY = EY2 - EY^2
VY =    1
CV = EXY - EX*EY
CV =   -1
VZ = 9*VX + 4*VY + 2*6*CV
VZ =    1

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

El par$$\{X, Y\}$$ es independiente, con

$$E[X] = 2$$,$$E[Y] = 1$$,$$\text{Var} [X] = 6$$,$$\text{Var} [Y] = 4$$

Vamos$$Z = 2X^2 + XY^2 - 3Y + 4$$.

Determinar$$E[Z]$$.

Contestar
EX = 2;
EY = 1;
VX = 6;
VY = 4;
EX2 = VX + EX^2
EX2 =  10
EY2 = VY + EY^2
EY2 =   5
EZ = 2*EX2 + EX*EY2 - 3*EY + 4
EZ =   31

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

(Consulte el Ejercicio 9 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). La variable aleatoria X tiene función de densidad

$$f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5)(2 - t) & \text{for } 1 < t \le 2 \end{cases} = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 - t)$$

$$E[X] = 11/10$$. Determinar$$\text{Var} [X]$$.

Contestar

$$E[X^2] = \int t^2 f_X (t)\ dt = \dfrac{6}{5} \int_0^1 t^4\ dt + \dfrac{6}{5} \int_1^2 (2t^2 - t^3)\ dt = \dfrac{67}{50}$$

$$\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = \dfrac{13}{100}$$

Para las distribuciones en Ejercicios 20-22

Determinar$$\text{Var} [X]$$,$$\text{Cov} [X, Y]$$, y la línea de regresión de$$Y$$ on$$X$$.

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

(Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 17 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en el archivo npr08_07.m):

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = -3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9 u = 7.5 0.009 0.0396 0.0594 0.0216 0.044 0.0203 4.1 0.0495 0 0.1089 0.0528 0.0363 0.0231 -2.0 0.0405 0.132 0.0891 0.0324 0.0297 0.0189 -3.8 0.051 0.0484 0.0726 0.0132 0 0.0077
Contestar
npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
- - - - - - - - - - -
EX = dot(X,PX);
EY = dot(Y,PY);
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =   5.1116
CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
CV =   2.6963
a = CV/VX
a =    0.5275
b = EY - a*EX
b =    0.6924       % Regression line: u = at + b

Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

(Consulte el Ejercicio 8 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 18 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). El par$$\{X, Y\}$$ tiene la distribución conjunta (en el archivo npr08_08.m):

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 u = 12 0.0156 0.0191 0.0081 0.0035 0.0091 0.007 0.0098 0.0056 0.0091 0.0049 10 0.0064 0.0204 0.0108 0.004 0.0054 0.008 0.0112 0.0064 0.0104 0.0056 9 0.0196 0.0256 0.0126 0.006 0.0156 0.012 0.0168 0.0096 0.0056 0.0084 5 0.0112 0.0182 0.0108 0.007 0.0182 0.014 0.0196 0.0012 0.0182 0.0038 3 0.006 0.026 0.0162 0.005 0.016 0.02 0.028 0.006 0.016 0.004 -1 0.0096 0.0056 0.0072 0.006 0.0256 0.012 0.0268 0.0096 0.0256 0.0084 -3 0.0044 0.0134 0.018 0.014 0.0234 0.018 0.0252 0.0244 0.0234 0.0126 -5 0.0072 0.0017 0.0063 0.0045 0.0167 0.009 0.0026 0.0172 0.0217 0.0223
Contestar
npr08_08
Data are in X, Y, P
jcalc
- - - - - - - - - - - -
EX = dot(X,PX);
EY = dot(Y,PY);
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =  31.0700
CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
CV =  -8.0272
a  = CV/VX
a  =  -0.2584
b = EY - a*EX
b  =   5.6110       % Regression line: u = at + b

Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

(Ver Ejercicio 9 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y Ejercicio 19 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). Se conservaron datos sobre el efecto del tiempo de capacitación en el tiempo para realizar un trabajo en una línea de producción. $$X$$es la cantidad de entrenamiento, en horas, y$$Y$$ es el tiempo para realizar la tarea, en minutos. Los datos son los siguientes (en el archivo npr08_09.m):

$$P(X = t, Y = u)$$

 t = 1 1.5 2 2.5 3 u = 5 0.039 0.011 0.005 0.001 0.001 4 0.065 0.07 0.05 0.015 0.01 3 0.031 0.061 0.137 0.051 0.033 2 0.012 0.049 0.163 0.058 0.039 1 0.003 0.009 0.045 0.025 0.017
Contestar
npr08_09
Data are in X, Y, P
jcalc
- - - - - - - - - - - -
EX = dot(X,PX);
EY = dot(Y,PY);
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =   0.3319
CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
CV =  -0.2586
a  = CV/VX
a  =  -0.77937/6;
b = EY - a*EX
b  =   4.3051       % Regression line: u = at + b

Para las densidades articulares en los Ejercicios 23-30 siguientes

1. Determinar analíticamente$$\text{Var} [X]$$$$\text{Cov} [X, Y]$$, y la línea de regresión de$$Y$$ on$$X$$.
2. Compruébalos con una aproximación discreta.

Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

(Consulte el Ejercicio 10 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 20 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = 1$$para$$0 \le t \le 1$$,$$0 \le u \le 2(1 - t)$$.

$$E[X] = \dfrac{1}{3}$$,$$E[X^2] = \dfrac{1}{6}$$,$$E[Y] = \dfrac{2}{3}$$

Contestar

$$E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-t)} tu\ dudt = 1/6$$

$$\text{Cov} [X, Y] = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = -1/18$$$$\text{Var} [X] = 1/6 - (1/3)^2 = 1/18$$

$$a = \text{Cov} [X, Y] /\text{Var} [X] = -1$$$$b = E[Y] - aE[X] = 1$$

tuappr: [0 1] [0 2] 200 400  u<=2*(1-t)
EX = dot(X,PX);
EY = dot(Y,PY);
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =   0.0556
CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
CV =  -0.0556
a = CV/VX
a =   -1.0000
b = EY - a*EX
b =    1.0000

Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

(Consulte el Ejercicio 13 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 23 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{1}{8} (t + u)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 2$$.

$$E[X] = E[Y] = \dfrac{7}{6}$$,$$E[X^2] = \dfrac{5}{3}$$

Contestar

$$E[XY] = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} tu (t + u)\ dudt = 4/3$$,$$\text{Cov} [X, Y] = -1/36$$,$$\text{Var} [X] = 11/36$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -1/11$$,$$b = E[Y] - a E[X] = 14/11$$

tuappr:  [0 2] [0 2] 200 200 (1/8)*(t+u)
VX =  0.3055  CV = -0.0278  a = -0.0909  b =  1.2727

Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

(Consulte el Ejercicio 15 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 25 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 1 + t$$.

$$E[X] = \dfrac{313}{220}$$,$$E[Y] = \dfrac{1429}{880}$$,$$E[X^2] = \dfrac{49}{22}$$

Contestar

$$E[XY] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1+t} tu (2t + 3u^2)\ dudt = 2153/880$$,$$\text{Cov} [X, Y] = 26383/1933600$$,$$\text{Var} [X] = 9831/48400$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = 26383/39324$$,$$b = E[Y] - a E[X] = 26321/39324$$

tuappr:  [0 2] [0 3] 200 300  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<=1+t)
VX =  0.2036  CV = 0.1364 a = 0.6700  b = 0.6736


Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

(Consulte el Ejercicio 16 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 26 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = 12t^2 u$$en el paralelogramo con vértices

(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

$$E[X] = \dfrac{2}{5}$$,$$E[Y] = \dfrac{11}{15}$$,$$E[X^2] = \dfrac{2}{5}$$

Contestar

$$E[XY] = 12 \int_{-1}^{0} \int_{0}^{t + 1} t^3 u^2\ dudt + 12 \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^3 u^2 \ dudt = \dfrac{2}{5}$$

$$\text{Cov} [X, Y] = \dfrac{8}{75}$$,$$\text{Var} [X] = \dfrac{6}{25}$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = 4/9$$,$$b = E[Y] - a E[X] = 5/9$$

tuappr: [-1 1] [0 1] 400 200  12*t.^2.*u.*(u>= max(0,t)).*(u<= min(1+t,1))
VX = 0.2383  CV = 0.1056  a = 0.4432  b = 0.5553

Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

(Consulte el Ejercicio 17 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, y el Ejercicio 27 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}$$.

$$E[X] = \dfrac{52}{55}$$,$$E[Y] = \dfrac{32}{55}$$,$$E[X^2] = \dfrac{627}{605}$$

Contestar

$$E[XY] = \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t^2 u^2\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-t} t^2 u^2 \ dudt = \dfrac{28}{55}$$

$$\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{124}{3025}$$,$$\text{Var} [X] = \dfrac{431}{3025}$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{124}{431}$$,$$b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{368}{431}$$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
VX = 0.1425  CV =-0.0409  a = -0.2867 b = 0.8535

Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

(Consulte el Ejercicio 18 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 28 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}$$.

$$E[X] = \dfrac{53}{46}$$,$$E[Y] = \dfrac{22}{23}$$,$$E[X^2] = \dfrac{9131}{5290}$$

Contestar

$$E[XY] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2-t} tu (t + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{0}^{t} tu (t + 2u) \ dudt = \dfrac{251}{230}$$

$$\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{57}{5290}$$,$$\text{Var} [X] = \dfrac{4217}{10580}$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{114}{4217}$$,$$b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{4165}{4217}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200 (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
VX = 0.3984 CV = -0.0108  a = -0.0272  b = 0.9909

Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

(Consulte el Ejercicio 21 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 31 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = \dfrac{2}{13} (t + 2u)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{2t, 3 - t\}$$.

$$E[X] = \dfrac{16}{13}$$,$$E[Y] = \dfrac{11}{12}$$,$$E[X^2] = \dfrac{2847}{1690}$$

Contestar

$$E[XY] = \dfrac{2}{13} \int_{0}^{1} \int_{0}^{3-t} tu (t + 2u)\ dudt + \dfrac{2}{13} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2t} tu (t + 2u) \ dudt = \dfrac{431}{390}$$

$$\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{3}{130}$$,$$\text{Var} [X] = \dfrac{287}{1690}$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{39}{297}$$,$$b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{3733}{3444}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (2/13)*(t + 2*u).*(u<=min(2*t,3-t))
VX = 0.1698  CV = -0.0229  a = -0.1350  b = 1.0839

Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

(Consulte el Ejercicio 22 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 32 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). $$f_{XY} (t, u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 2u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{9}{14} t^2u^2$$, para$$0 \le u \le 1$$.

$$E[X] = \dfrac{243}{224}$$,$$E[Y] = \dfrac{11}{16}$$,$$E[X^2] = \dfrac{107}{70}$$

Contestar

$$E[XY] = \dfrac{3}{8} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} tu (t^2 + 2u)\ dudt + \dfrac{9}{14} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} t^3u^3 \ dudt = \dfrac{347}{448}$$

$$\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{103}{3584}$$,$$\text{Var} [X] = \dfrac{88243}{250880}$$

$$a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{7210}{88243}$$,$$b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{105691}{176486}$$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (3/8)*(t.^2 + 2*u).*(t<=1) + (9/14)*t.^2.*u.^2.*(t>1)
VX = 0.3517  CV = 0.0287 a = 0.0817  b = 0.5989

Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

La clase$$\{X, Y, Z\}$$ de variables aleatorias es iid (independiente, distribuida idénticamente) con distribución común

$$X =$$[-5 -1 3 4 7]$$PX =$$ 0.01 * [15 20 30 25 10]

Vamos$$W = 3X - 4Y + 2Z$$. Determinar$$E[W]$$ y$$\text{Var} [W]$$. Haga esto usando icalc, luego repita con icalc3 y compare los resultados.

Contestar
x = [-5 -1 3 4 7];
px = 0.01*[15 20 30 25 10];
EX = dot(x,px)                % Use of properties
EX =   1.6500
VX = dot(x.^2,px) - EX^2
VX =  12.8275
EW = (3 - 4+ 2)*EX
EW =   1.6500
VW = (3^2 + 4^2 + 2^2)*VX
VW = 371.9975
icalc                         % Iterated use of icalc
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  px
Enter Y probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
G = 3*t - 4*u;
[R,PR] = csort(G,P);
icalc
Enter row matrix of X-values  R
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  PR
Enter Y probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = t + 2*u;
[W,PW] = csort(H,P);
EW = dot(W,PW)
EW =   1.6500
VW = dot(W.^2,PW) - EW^2
VW = 371.9975
icalc3                        % Use of icalc3
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter row matrix of Z-values  x
Enter X probabilities  px
Enter Y probabilities  px
Enter Z probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, Z,
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
S = 3*t - 4*u + 2*v;
[w,pw] = csort(S,P);
Ew = dot(w,pw)
Ew =   1.6500
Vw = dot(w.^2,pw) - Ew^2
Vw = 371.9975

Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le 1 + t$$ (ver Ejercicio 25 y Ejercicio 37 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

$$Z = I_{[0, 1]} (X) 4X + I_{(1, 2]} (X) (X+ Y)$$

$$E[X] = \dfrac{313}{220}$$,$$E[Z] = \dfrac{5649}{1760}$$,$$E[Z^2] = \dfrac{4881}{440}$$

Determinar$$\text{Var} [Z]$$ y$$\text{Cov} [X, Z]$$. Consultar con aproximación discreta.

Contestar

$$E[XZ] = \dfrac{3}{88} \int_0^1 \int_{0}^{1+t} 4t^2 (2t + 2u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} t (t + u) (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{16931}{3520}$$

$$\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{2451039}{3097600}$$$$\text{Cov} [X,Z] = E[XZ] - E[X] E[Z] = \dfrac{94273}{387200}$$

tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t+3*u.^2).*(u<=1+t)
G = 4*t.*(t<=1) + (t+u).*(t>1);
EZ = total(G.*P)
EZ = 3.2110
EX = dot(X,PX)
EX = 1.4220
CV = total(G.*t.*P) - EX*EZ
CV = 0.2445                       % Theoretical 0.2435
VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2
VZ = 0.7934                       % Theoretical 0.7913

Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}$$ (ver Ejercicio 27 y Ejercicio 38 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

$$Z = I_M (X,Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y$$,$$M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}$$

$$E[X] = \dfrac{52}{55}$$,$$E[Z] = \dfrac{16}{55}$$,$$E[Z^2] = \dfrac{39}{308}$$

Determinar$$\text{Var} [Z]$$ y$$\text{Cov} [X, Z]$$. Consultar con aproximación discreta.

Contestar

$$E[XZ] = \dfrac{24}{11} \int_0^1 \int_{t}^{1} t (t/2) tu \ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^2tu \ dudt \dfrac{24}{11} \int_1^2 \int_{0}^{2 - t} t tu^2 tu\ dudt= \dfrac{211}{770}$$

$$\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{3557}{84700}$$$$\text{Cov} [Z,X] = E[XZ] - E[X] E[Z] = -\dfrac{43}{42350}$$

tuappr:  [0 2] [0 1] 400 200 (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
G = (t/2).*(u>t) + u.^2.*(u<=t);
VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2
VZ =   0.0425
CV = total(t.*G.*P) - EZ*dot(X,PX)
CV = -9.2940e-04

Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)$$para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}$$ (ver Ejercicio 28 y Ejercicio 39 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

$$Z = I_M (X, Y) (X+Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y$$,$$M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}$$

$$E[X] = \dfrac{53}{46}$$,$$E[Z] = \dfrac{175}{92}$$,$$E[Z^2] = \dfrac{2063}{460}$$

Determinar$$\text{Var} [Z]$$ y$$\text{Cov} [Z]$$. Consultar con aproximación discreta.

Contestar

$$E[ZX] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t (t + u) (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 2tu(t + 2u) \ dudt +$$

$$\dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 2tu(t + 2u)\ dudt = \dfrac{1009}{460}$$

$$\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{36671}{42320}$$$$\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = \dfrac{39}{21160}$$

tuappr:  [0 2] [0 2] 400 400 (3/23)*(t+2*u).*(u<=max(2-t,t))
M = max(t,u)<=1;
G = (t+u).*M + 2*u.*(1-M);
EZ = total(G.*P);
EX = dot(X,PX);
CV = total(t.*G.*P) - EX*EZ
CV =  0.0017

Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{2, 3 - t\}$$ (ver Ejercicio 29 y Ejercicio 40 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

$$Z = I_M (X, Y) (X+Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y^2$$,$$M = \{(t, u): t \le 1, u \ge 1\}$$

$$E[X] = \dfrac{2313}{1790}$$,$$E[Z] = \dfrac{1422}{895}$$,$$E[Z^2] = \dfrac{28296}{6265}$$

Determinar$$\text{Var} [Z]$$ y$$\text{Cov} [X, Z]$$. Consultar con aproximación discreta.

Contestar

$$E[ZX] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} t (t + u) (3t^2 + u) \ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2tu^2 (3t^2 + u) \ dudt +$$

$$\dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 2tu^2(3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{24029}{12530}$$

$$\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{11170332}{5607175}$$$$\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = -\dfrac{1517647}{11214350}$$

tuappr:  [0 2] [0 2] 400 400 (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u <= min(2,3-t))
M = (t<=1)&(u>=1);
G = (t + u).*M + 2*u.^2.*(1 - M);
EZ = total(G.*P);
EX = dot(X,PX);
CV = total(t.*G.*P) - EZ*EX
CV = -0.1347

Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (3t + 2tu)$$, para$$0 \le t \le 2$$,$$0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}$$ (ver Ejercicio 30 y Ejercicio 41 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

$$Z = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) XY$$,$$M = \{(t, u): u \le \text{min } (1, 2 - t)\}$$

$$E[X] = \dfrac{1567}{1135}$$,$$E[Z] = \dfrac{5774}{3405}$$,$$E[Z^2] = \dfrac{56673}{15890}$$

Determinar$$\text{Var} [Z]$$ y$$\text{Cov} [X, Z]$$. Consultar con aproximación discreta.

Contestar

$$E[ZX] = \dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t^2 (3t + 2tu) \ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-t} t^2(3t + 2tu) \ dudt +$$

$$\dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{1}^{1 + t} t^2 u(3t + 2tu)\ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{2 - t}^{2} t^2 u(3t + 2tu)\ dudt = \dfrac{20338}{7945}$$

$$\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{112167631}{162316350}$$$$\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = \dfrac{5915884}{27052725}$$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u <= min(1+t,2))
EX = dot(X,PX);
M = u <= min(1,2-t);
G = t.*M + t.*u.*(1 - M);
EZ = total(G.*P);
EZX = total(t.*G.*P)
EZX =  2.5597
CV = EZX - EX*EZ
CV =   0.2188
VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2
VZ =   0.6907

Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

(Ver Ejercicio 12.4.20, y Ejercicios 9 y 10 de "Problemas sobre Funciones de Variables Aleatorias “). Para el par$$\{X, Y\}$$ en el Ejercicio 12.4.20, vamos

$$Z = g(X, Y) = 3X^2 + 2XY - Y^2$$

$$W = h(X, Y) = \begin{cases} X & \text{for } X + Y \le 4 \\ 2Y & \text{for } X + Y > 4 \end{cases} = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) 2Y$$

Determinar la distribución conjunta para el par$$\{Z, W\}$$ y determinar la línea de regresión de$$W$$ on$$Z$$.

Contestar
npr08_07
Data are in X, Y, P
jointzw
Enter joint prob for (X,Y) P
Enter values for X X
Enter values for Y Y
Enter expression for g(t,u) 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2
Enter expression for h(t,u) t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4)
Use array operations on Z, W, PZ, PW, v, w, PZW
EZ = dot(Z,PZ)
EZ =    5.2975
EW = dot(W,PW)
EW =    4.7379
VZ = dot(Z.^2,PZ) - EZ^2
VZ =    1.0588e+03
CZW = total(v.*w.*PZW) - EZ*EW
CZW = -12.1697
a = CZW/VZ
a =   -0.0115
b = EW - a*EZ
b =    4.7988                 % Regression line: w = av + b


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