Saltar al contenido principal

# 3.3.2: Promedios para llegar a las ecMm

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

Esperamos que el problema de las ecMm sobre un continuo sea más sencillo que el problema de las ecM sobre cargas discretas.

Como las derivadas $$\frac{\partial}{\partial x}$$ de las ecuaciones de MAXWELL son respecto a r y la integral es respecto a $$\mathbf{r}^{\prime}$$ se puede escribir

\begin{aligned} \left\langle\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial x}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial x} \\ \left\langle\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial t}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} \end{aligned}

Tomamos promedios a ambos lados de las ecM:

\begin{aligned} \left\langle\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\langle\rho\rangle \\ \left\langle\nabla \cdot \mathbf{B}_{\text {mic }}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\ \left\langle\nabla \wedge \mathbf{E}_{m i c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\ \left\langle\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m i c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle\mathbf{j}\rangle \end{aligned}

Se convierten en

\begin{aligned} \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\langle\rho\rangle \\ \nabla \cdot \mathbf{B}_{m a c} &=0 \\ \nabla \wedge \mathbf{E}_{m a c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m a c}}{\partial t} &=0 \\ \frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\langle\mathbf{j}\rangle \end{aligned}

la segunda y tercera ecuaciones están ya en el formato que buscamos, mientras que las otras necesitan de algunos arreglos, para los que nos valdremos de los siguientes resultados del electromagnetismo

1.$$\langle\rho\rangle=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle+\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle$$, donde $$\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle=-\nabla \cdot \mathbf{P} .$$ El vector

$\mathbf{P}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} q_{j} \mathbf{r}_{j}$

recibe el nombre de vector polarización (nada que ver con la polarización de una onda) y corresponde al momento dipolar por unidad de volumen.

2. $$\langle\mathbf{j}\rangle=\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle+\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle$$, donde \$\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} .\) El vector

$\mathbf{M}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} \frac{1}{2} q_{j} \dot{\mathbf{r}}_{j} \wedge \mathbf{r}_{j} \notag$

se llama vector magnetización, y corresponde a la magnetización por unidad de volumen.

Así las cosas las dos ecuaciones de MAXWELL que dependen de la materia quedan

\begin{aligned} \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle-\nabla \cdot \mathbf{P} \\ \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} \end{aligned}

Por concisión prescindiremos en lo que sigue de los subíndices mac; usaremos $$\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{\text {mac }}$$ y $$\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_{\text {mac }}$$. Definiendo unos nuevos vectores (llamados, respectivamente, vector desplazamiento eléctrico y vector campo magnético)

\begin{aligned} &\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} \\ &\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M} \end{aligned}

se reescriben las dos ecuaciones en cuestión

\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\ \nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle \end{aligned}

Las ecMm son ecuaciones en las que aparecen cuatro campos. Y eso es porque dos de ellos tienen en cuenta la materia, las $$\sim 10^{28}$$ partículas por metro cúbico: $$\mathbf{P}$$ y M. Estas son las ecuaciones de MAXWELL macroscópicas:

\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &=0 \\ \nabla \wedge \mathbf{E}-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &=0 \\ \nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle \end{align}

Las ecMm son las ecM de partida, pero con las densidades de carga y de corriente ligadas incluídas en los campos del lado izquierdo. Los resultados de la propagación en el vacío se pueden trasponer con ciertas precauciones, y resulta para la energía transportada por la onda

$\mathbf{S}=\mathbf{E} \wedge \mathbf{H} \notag$

y el promedio temporal para ondas armónicas

$\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2} \Re\left\{\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right\}\notag$

$\frac{\partial\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle}{\partial t}+\nabla \cdot\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle=0 \notag$