Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

3.3.2: Promedios para llegar a las ecMm

  • Page ID
    51118
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Esperamos que el problema de las ecMm sobre un continuo sea más sencillo que el problema de las ecM sobre cargas discretas.

    Como las derivadas \(\frac{\partial}{\partial x}\) de las ecuaciones de MAXWELL son respecto a r y la integral es respecto a \( \mathbf{r}^{\prime}\) se puede escribir

    \[
    \begin{aligned}
    \left\langle\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial x}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial x} \\
    \left\langle\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial t}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t}
    \end{aligned}
    \]

    Tomamos promedios a ambos lados de las ecM:

    \[
    \begin{aligned}
    \left\langle\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\langle\rho\rangle \\
    \left\langle\nabla \cdot \mathbf{B}_{\text {mic }}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\
    \left\langle\nabla \wedge \mathbf{E}_{m i c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\
    \left\langle\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m i c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle\mathbf{j}\rangle
    \end{aligned}
    \]

    Se convierten en

    \[
    \begin{aligned}
    \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\langle\rho\rangle \\
    \nabla \cdot \mathbf{B}_{m a c} &=0 \\
    \nabla \wedge \mathbf{E}_{m a c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m a c}}{\partial t} &=0 \\
    \frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\langle\mathbf{j}\rangle
    \end{aligned}
    \]

    la segunda y tercera ecuaciones están ya en el formato que buscamos, mientras que las otras necesitan de algunos arreglos, para los que nos valdremos de los siguientes resultados del electromagnetismo

    1.\(\langle\rho\rangle=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle+\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle\), donde \(\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle=-\nabla \cdot \mathbf{P} .\) El vector

    \[
    \mathbf{P}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} q_{j} \mathbf{r}_{j}
    \]

    recibe el nombre de vector polarización (nada que ver con la polarización de una onda) y corresponde al momento dipolar por unidad de volumen.

    2. \(\langle\mathbf{j}\rangle=\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle+\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle\), donde $\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} .\) El vector

    \[
    \mathbf{M}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} \frac{1}{2} q_{j} \dot{\mathbf{r}}_{j} \wedge \mathbf{r}_{j} \notag
    \]

    se llama vector magnetización, y corresponde a la magnetización por unidad de volumen.

    Así las cosas las dos ecuaciones de MAXWELL que dependen de la materia quedan

    \[
    \begin{aligned}
    \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle-\nabla \cdot \mathbf{P} \\
    \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M}
    \end{aligned}
    \]

    Por concisión prescindiremos en lo que sigue de los subíndices mac; usaremos \(\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{\text {mac }}\) y \(\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_{\text {mac }}\). Definiendo unos nuevos vectores (llamados, respectivamente, vector desplazamiento eléctrico y vector campo magnético)

    \[
    \begin{aligned}
    &\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} \\
    &\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M}
    \end{aligned}
    \]

    se reescriben las dos ecuaciones en cuestión

    \[
    \begin{aligned}
    \nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\
    \nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle
    \end{aligned}
    \]

    Las ecMm son ecuaciones en las que aparecen cuatro campos. Y eso es porque dos de ellos tienen en cuenta la materia, las \(\sim 10^{28}\) partículas por metro cúbico: \(\mathbf{P}\) y M. Estas son las ecuaciones de MAXWELL macroscópicas:

    \[ \begin{align}
    \nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\
    \nabla \cdot \mathbf{B} &=0 \\
    \nabla \wedge \mathbf{E}-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &=0 \\
    \nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle
    \end{align} \]

    Las ecMm son las ecM de partida, pero con las densidades de carga y de corriente ligadas incluídas en los campos del lado izquierdo. Los resultados de la propagación en el vacío se pueden trasponer con ciertas precauciones, y resulta para la energía transportada por la onda

    \[
    \mathbf{S}=\mathbf{E} \wedge \mathbf{H} \notag
    \]

    y el promedio temporal para ondas armónicas

    \[
    \langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2} \Re\left\{\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right\}\notag
    \]

    La ecuación de continuidad es

    \[
    \frac{\partial\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle}{\partial t}+\nabla \cdot\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle=0 \notag
    \]


    3.3.2: Promedios para llegar a las ecMm is shared under a CC BY-SA 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Alvaro Tejero Cantero.