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LibreTexts Español

4.2: Solución

  • Page ID
    51123
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Vamos a aplicar las ecMm en secuencia.

    1. \(\epsilon_{g e n} \nabla \cdot \mathbf{E}=0\), pero si \(\epsilon_{g e n} \neq 0\) (que es el caso que vamos a considerar en todo lo sucesivo) entonces se tiene \(\nabla \cdot \mathbf{E}=0\). Lo aplicamos al campo de onda plana de la sección anterior y obtenemos

    \[
    \mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}=0 \notag
    \]

    2. La siguiente ecuación es lo mismo que decir \(\nabla \cdot \mathbf{H}=0\), y por lo tanto,

    \[
    \mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{H}_{0}=0 \notag
    \]

    3. Un rotacional da

    \[
    \mathbf{H}_{0}=\frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \notag
    \]

    4. \(\mathrm{Y}\) el otro:

    \[
    \mathbf{E}_{0}=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{H}_{0} \notag
    \]

    Ahora sólo tenemos que leer las ecuaciones. Esta va a ser la estrategia para afrontar todos los problemas de propagación del curso. Combinando las (3) y (4):

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{E}_{0} &=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \\
    &=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left(\mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \\
    &=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left[\mathbf{k}_{c}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{k}_{c}\right)\right] \\
    &=\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}} \mathbf{E}_{0} \mathbf{k}_{c}^{2}
    \end{aligned}
    \]

    de donde

    \[
    \mathbf{k}_{c}^{2}=\omega^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag
    \]

    esto se utiliza más habitualmente en la forma

    \[
    n_{c}^{2}=c^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\mu \epsilon_{g e n}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \notag
    \]

    este parámetro es el indice de refracción complejo. Cuando la constante dieléctrica sea compleja (medios absorbentes) el índice de refracción será complejo. Lo mismo ocurrirá al vector de onda, y ésta es la razón por la que hemos venido usando el subíndice \(c\).

    Descomponemos el vector de onda y el índice de refracción en

    \[
    \begin{aligned}
    &\mathbf{k}_{c}=\mathbf{k}+i \mathbf{a} \\
    &n_{c}=n+i \kappa
    \end{aligned}
    \]

    con \(\mathbf{k}, \mathbf{a}, n, \kappa\) cantidades reales, que reciben los nombres respectivos de vector de ondas, vector de atenuación, indice de refracción e indice de absorción. Entonces la expresión de la oap es

    \[
    \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \notag
    \]

    La constante \(\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}}\) disminuye con la propagación, y tanto más cuanto mayor es el vector de atenuación a. Las partes imaginarias del vector de onda y del índice de refracción vienen de las pérdidas por fricción en el proceso de absorción-reemisión.

    De la relación

    \[
    \mathbf{k}_{c}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag
    \]

    se pasa fácilmente (raíz cuadrada compleja) a

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{k}^{2}-\mathbf{a}^{2} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(n^{2}-\kappa^{2}\right) \\
    \mathbf{k} \cdot \mathbf{a} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n \kappa
    \end{aligned}
    \]

    que forman las condiciones que buscábamos.

    Dos comentarios importantes (mucho cuidado)

    • No deberíamos llamar ondas planas a

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{E}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)} \\
    \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{H}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)}
    \end{aligned}
    \]

    porque no lo son (en general \(\mathbf{k}\) y a no son paralelos y por lo tanto, \(\mathbf{E} \neq \mathbf{E}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}, t))\). Deberíamos llamarlas ondas planas inhomogéneas: los planos de amplitud constante no coinciden con los planos de fase constante. Por lo tanto, cuando las llamemos oap, estamos abusando del lenguaje (y lo haremos).

    • A partir de las estructura de la onda que hemos encontrado al principio del capítulo, es tentador pensar que \(\left(\mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{k}_{c}\right)\) forman un triedro ortogonal. No es así, ya que intervienen vectores complejos (v. ejercicio 18).

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