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# 7.5.2: Ondas o y $$e$$ - fase y polarización

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## Ondra ordinaria

Si el vector de ondas está sobre la esfera (sobre el círculo) y no coincide con el eje $$z$$ $$\left(k_{y} \neq 0\right)$$ entonces cumple $$k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=\left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}$$

$\left(\begin{array}{ccc} \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ 0 & k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{0 x} \\ E_{0 y} \\ E_{0 z} \end{array}\right)=0 \notag$

por la condición de onda ordinaria $$0 \times E_{0 x}=0$$, con lo que nos queda como subsistema

$\left(\begin{array}{cc} \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} E_{0 y} \\ E_{0 z} \end{array}\right)=0 \notag$

la condición necesaria para que tenga solución es que esta submatriz tenga determinante nulo, pero eso es contradictorio, porque equivale a decir que el vector de ondas está sobre el elipsoide (y por hipótesis está sobre la esfera). Por lo tanto se tiene que verificar

$\begin{array}{r} E_{0 y}=E_{0 z}=0 \\ E_{0 x} \neq 0 \end{array} \notag$

En otras palabras:

• la onda ordinaria está linealmente polarizada, vibrando perpendicularmente al plano que contiene al vector de ondas y al eje óptico.
• Para la onda ordinaria, $$\mathbf{E}_{0}$$ sí es perpendicular a $$\mathbf{k}$$ : energía y fase se propagan en la misma dirección. $$\langle\mathbf{S}\rangle \propto \mathbf{k}$$.

Esta onda sólo se distingue de la que atraviesa un medio isótropo en que está obligatoriamente linealmente polarizada del modo descrito.

## Onda extraordinaria

$\frac{k_{y}^{2}}{\left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}}+\frac{k_{z}^{2}}{\left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}}=1 \notag$

es la ecuación que la define. Vamos a apartar para más tarde el estudio de la propagación según el eje óptico, por lo que $$k_{y} \neq 0$$. Si llevamos la condición para $$\mathbf{k}_{e}$$ a la ecuación de autovalores y aprovechando la simetría de revolución, tenemos dos subsistemas (primera fila y últimas dos, respectivamente, de la matriz)

$\left(\begin{array}{ccc} \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ 0 & k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{0 x} \\ E_{0 y} \\ E_{0 z} \end{array}\right)=0 \notag$

se deduce que

$E_{0 x}=0 \notag$

el subsistema

$\left(\begin{array}{cc} \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} E_{0 y} \\ E_{0 z} \end{array}\right)=0 \notag$

tiene solución distinta de la trivial, porque su determinante vale, por hipótesis, 1. Resolviendo:

$\mathbf{E}_{0} \propto\left(\begin{array}{c} 0 \\ n_{e}^{2} k_{z} \\ -n_{o}^{2} k_{y} \end{array}\right) \notag$

### Conclusiones:

• La luz es linealmente polarizada (campo proporcional a un vector real), y está en el plano determinado por $$\mathbf{k} y$$ el eje óptico.
• En general $$\mathbf{E}_{0} \not \mathbf{k}$$ ya que

$\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0} \propto\left(n_{o r}^{2}-n_{e}^{2}\right) k_{y} k_{z} \notag$

salvo en el caso $$k_{z}=k_{x}=0$$ ( $$k_{y}$$ lo estamos excluyendo de momento). Dicho de otro modo, siempre que $$\mathbf{k}$$ sea perpendicular al eje óptico, $$\mathbf{k} \perp \mathbf{E}_{0}$$, pero sólo en ese caso. La energía y la fase se propagan cada una por su cuenta.

## Eje óptico

Cuando el vector de ondas está en la dirección del eje óptico, sólo hay una onda (la ordinaria y la extraordinaria coinciden). Se cumple $$k_{y}=k_{x}=0 \mathrm{y} \mathbf{k}=n_{o} \frac{\omega}{c} \mathbf{u}_{z}$$. Esto en nuestra ecuación de autovalores significa más ceros en la matriz:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{0 x} \\ E_{0 y} \\ E_{0 z} \end{array}\right)=0 \notag$

de donde $$E_{0 z}=0$$ y $$E_{0 x}, E_{0 y}$$ son libres.

### Conclusiones:

• Cualquier estado de polarización es posible.
• $$\mathbf{E} \cdot \mathbf{k}=0$$ por lo que fase y energía van en la misma dirección.

En este caso particular la onda ve un medio isótropo: si nos movemos por el eje $$z$$ el índice en todas las direcciones laterales es el mismo. Es natural que el resultado sea el mismo que para una oap en un medio isótropo.

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