5.2.3: Escritura de las ondas incidente, transmitida y reflejada

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Vamos a utilizar el hecho de que la onda incidente es una oap, aplicando sobre ella las condiciones de frontera. Denotaremos la onda incidente por

\[
\mathbf{E}_{i}=\mathbf{A} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \notag
\]

donde \(\mathbf{A}\) es un vector complejo constante. Para las ondas transmitida y reflejada lo más general que sabemos escribir es una superposición de oap. En concreto, la onda reflejada es

\[
\mathbf{E}_{r}=\mathbf{R} e^{i\left(\mathbf{k}^{\prime \prime} \cdot \mathbf{r}-\omega^{\prime \prime} t\right)}+\ldots \notag
\]

No sabemos nada de esta onda: ni los \(\mathbf{k}\) ni los \(\omega\) ni los \(\mathbf{R}\), ni cuántos términos habrá. Afortunadamente las condiciones de frontera seleccionarán solamente una onda y precisarán los otros datos. Para la transmitida ocurrirá análogamente

\[
\mathbf{E}_{t}=\mathbf{T} e^{i\left(\mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{r}-\omega^{\prime} t\right)}+\ldots \notag
\]

Además hay que escribir los campos H. La expresión general para calcular \(\mathbf{H}\) en cada uno de los tres casos es

\[
\mathbf{H}=\frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k} \wedge \mathbf{E} \notag
\]

Las ecMm imponen algunas condiciones sobre los parámetros de las ondas. Aparte de las relaciones de ortogonalidad \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}=\mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{T}=\mathbf{k}^{\prime \prime} \cdot \mathbf{R}=0\) tenemos

\[
\begin{aligned}
|\mathbf{k}| &=n \frac{\omega}{c} \\
\left|\mathbf{k}^{\prime}\right| &=n^{\prime} \frac{\omega^{\prime}}{c} \\
\left|\mathbf{k}^{\prime \prime}\right| &=n \frac{\omega^{\prime \prime}}{c}
\end{aligned}
\]