3.3.2: Promedios para llegar a las ecMm
Esperamos que el problema de las ecMm sobre un continuo sea más sencillo que el problema de las ecM sobre cargas discretas.
Como las derivadas \(\frac{\partial}{\partial x}\) de las ecuaciones de MAXWELL son respecto a r y la integral es respecto a \( \mathbf{r}^{\prime}\) se puede escribir
\[
\begin{aligned}
\left\langle\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial x}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial x} \\
\left\langle\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial t}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t}
\end{aligned}
\]
Tomamos promedios a ambos lados de las ecM:
\[
\begin{aligned}
\left\langle\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\langle\rho\rangle \\
\left\langle\nabla \cdot \mathbf{B}_{\text {mic }}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\
\left\langle\nabla \wedge \mathbf{E}_{m i c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\
\left\langle\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m i c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle\mathbf{j}\rangle
\end{aligned}
\]
Se convierten en
\[
\begin{aligned}
\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\langle\rho\rangle \\
\nabla \cdot \mathbf{B}_{m a c} &=0 \\
\nabla \wedge \mathbf{E}_{m a c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m a c}}{\partial t} &=0 \\
\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\langle\mathbf{j}\rangle
\end{aligned}
\]
la segunda y tercera ecuaciones están ya en el formato que buscamos, mientras que las otras necesitan de algunos arreglos, para los que nos valdremos de los siguientes resultados del electromagnetismo
1.\(\langle\rho\rangle=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle+\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle\), donde \(\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle=-\nabla \cdot \mathbf{P} .\) El vector
\[
\mathbf{P}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} q_{j} \mathbf{r}_{j}
\]
recibe el nombre de vector polarización (nada que ver con la polarización de una onda) y corresponde al momento dipolar por unidad de volumen.
2. \(\langle\mathbf{j}\rangle=\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle+\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle\), donde $\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} .\) El vector
\[
\mathbf{M}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} \frac{1}{2} q_{j} \dot{\mathbf{r}}_{j} \wedge \mathbf{r}_{j} \notag
\]
se llama vector magnetización, y corresponde a la magnetización por unidad de volumen.
Así las cosas las dos ecuaciones de MAXWELL que dependen de la materia quedan
\[
\begin{aligned}
\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle-\nabla \cdot \mathbf{P} \\
\nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M}
\end{aligned}
\]
Por concisión prescindiremos en lo que sigue de los subíndices mac; usaremos \(\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{\text {mac }}\) y \(\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_{\text {mac }}\). Definiendo unos nuevos vectores (llamados, respectivamente, vector desplazamiento eléctrico y vector campo magnético)
\[
\begin{aligned}
&\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} \\
&\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M}
\end{aligned}
\]
se reescriben las dos ecuaciones en cuestión
\[
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\
\nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle
\end{aligned}
\]
Las ecMm son ecuaciones en las que aparecen cuatro campos. Y eso es porque dos de ellos tienen en cuenta la materia, las \(\sim 10^{28}\) partículas por metro cúbico: \(\mathbf{P}\) y M. Estas son las ecuaciones de MAXWELL macroscópicas:
\[ \begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &=0 \\
\nabla \wedge \mathbf{E}-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &=0 \\
\nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle
\end{align} \]
Las ecMm son las ecM de partida, pero con las densidades de carga y de corriente ligadas incluídas en los campos del lado izquierdo. Los resultados de la propagación en el vacío se pueden trasponer con ciertas precauciones, y resulta para la energía transportada por la onda
\[
\mathbf{S}=\mathbf{E} \wedge \mathbf{H} \notag
\]
y el promedio temporal para ondas armónicas
\[
\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2} \Re\left\{\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right\}\notag
\]
La ecuación de continuidad es
\[
\frac{\partial\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle}{\partial t}+\nabla \cdot\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle=0 \notag
\]