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# 3.3.2: Promedios para llegar a las ecMm

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Esperamos que el problema de las ecMm sobre un continuo sea más sencillo que el problema de las ecM sobre cargas discretas.

Como las derivadas $$\frac{\partial}{\partial x}$$ de las ecuaciones de MAXWELL son respecto a r y la integral es respecto a $$\mathbf{r}^{\prime}$$ se puede escribir

\begin{aligned} \left\langle\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial x}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial x} \\ \left\langle\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial t}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} \end{aligned}

Tomamos promedios a ambos lados de las ecM:

\begin{aligned} \left\langle\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\langle\rho\rangle \\ \left\langle\nabla \cdot \mathbf{B}_{\text {mic }}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\ \left\langle\nabla \wedge \mathbf{E}_{m i c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\ \left\langle\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m i c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle\mathbf{j}\rangle \end{aligned}

Se convierten en

\begin{aligned} \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\langle\rho\rangle \\ \nabla \cdot \mathbf{B}_{m a c} &=0 \\ \nabla \wedge \mathbf{E}_{m a c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m a c}}{\partial t} &=0 \\ \frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\langle\mathbf{j}\rangle \end{aligned}

la segunda y tercera ecuaciones están ya en el formato que buscamos, mientras que las otras necesitan de algunos arreglos, para los que nos valdremos de los siguientes resultados del electromagnetismo

1.$$\langle\rho\rangle=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle+\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle$$, donde $$\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle=-\nabla \cdot \mathbf{P} .$$ El vector

$\mathbf{P}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} q_{j} \mathbf{r}_{j}$

recibe el nombre de vector polarización (nada que ver con la polarización de una onda) y corresponde al momento dipolar por unidad de volumen.

2. $$\langle\mathbf{j}\rangle=\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle+\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle$$, donde \$\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} .\) El vector

$\mathbf{M}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} \frac{1}{2} q_{j} \dot{\mathbf{r}}_{j} \wedge \mathbf{r}_{j} \notag$

se llama vector magnetización, y corresponde a la magnetización por unidad de volumen.

Así las cosas las dos ecuaciones de MAXWELL que dependen de la materia quedan

\begin{aligned} \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle-\nabla \cdot \mathbf{P} \\ \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} \end{aligned}

Por concisión prescindiremos en lo que sigue de los subíndices mac; usaremos $$\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{\text {mac }}$$ y $$\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_{\text {mac }}$$. Definiendo unos nuevos vectores (llamados, respectivamente, vector desplazamiento eléctrico y vector campo magnético)

\begin{aligned} &\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} \\ &\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M} \end{aligned}

se reescriben las dos ecuaciones en cuestión

\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\ \nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle \end{aligned}

Las ecMm son ecuaciones en las que aparecen cuatro campos. Y eso es porque dos de ellos tienen en cuenta la materia, las $$\sim 10^{28}$$ partículas por metro cúbico: $$\mathbf{P}$$ y M. Estas son las ecuaciones de MAXWELL macroscópicas:

\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &=0 \\ \nabla \wedge \mathbf{E}-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &=0 \\ \nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle \end{align}

Las ecMm son las ecM de partida, pero con las densidades de carga y de corriente ligadas incluídas en los campos del lado izquierdo. Los resultados de la propagación en el vacío se pueden trasponer con ciertas precauciones, y resulta para la energía transportada por la onda

$\mathbf{S}=\mathbf{E} \wedge \mathbf{H} \notag$

y el promedio temporal para ondas armónicas

$\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2} \Re\left\{\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right\}\notag$

$\frac{\partial\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle}{\partial t}+\nabla \cdot\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle=0 \notag$