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5.3.1: Deducción de las fórmulas de FRESNEL

  • Page ID
    51138
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Si queremos obtener más información, deberemos explotar a fondo las cuatro ecuaciones de frontera que hemos escrito. Los vectores \(\mathbf{A}, \mathbf{R}, \mathbf{T}\) son perpendiculares a los correspondientes vectores de ondas. Nos interesa descomponer estos vectores en una base en la que tengan sólo dos componentes (ortogonales al vector de ondas), y luego relacionarlas con las componentes \(x\) e \(y\). A esa base, representada en la figura \(5.5\) se la llama (paralela, perpendicular). La componente paralela \(A_{\|}\)está en el plano del papel y la perpendicular \(A_{\perp}\) es ortogonal al plano del papel; ambas son ortogonales al vector de ondas. Para relacionar las \(A_{\perp}, A_{\|}\)con las componentes \(x, y, z\) podemos valernos de relaciones trigonométricas sobre el diagrama. En \(z=0\) las exponenciales son todas iguales, ya que por aplicación de las condiciones de frontera en la interfase, como hemos visto,

    \[
    e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y-\omega t\right)}=e^{i\left(k_{x}^{\prime} x+k_{y}^{\prime} y-\omega t\right)}=e^{i\left(k_{x}^{\prime \prime} x+k_{y}^{\prime \prime} y-\omega t\right)} \notag
    \]

    de modo que escribiremos simplemente \(e^{i()}\) :

    \[
    \begin{aligned}
    &\mathbf{E}_{i}=\left(A_{\|} \cos \theta, A_{\perp},-A_{\|} \sin \theta\right) e^{i()} \\
    &\mathbf{E}_{r}=\left(-R_{\|} \cos \theta, R_{\perp},-R_{\|} \sin \theta\right) e^{i()} \\
    &\mathbf{E}_{t}=\left(T_{\|} \cos \theta^{\prime}, T_{\perp},-T_{\|} \sin \theta^{\prime}\right) e^{i()}
    \end{aligned}
    \]

    para escribir \(\mathbf{H}\) se necesitan los vectores \(\mathbf{k}\) involucrados

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{k} &=n \frac{\omega}{c}(\sin \theta, 0, \cos \theta) \\
    \mathbf{k}^{\prime} &=n^{\prime} \frac{\omega}{c}\left(\sin \theta^{\prime}, 0, \cos \theta\right) \\
    \mathbf{k}^{\prime \prime} &=n \frac{\omega}{c}(\sin \theta, 0,-\cos \theta)
    \end{aligned}
    \]

    haciendo los correspondientes productos vectoriales se encuentra

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{H}_{i} &=n \frac{1}{\mu c}\left(-\cos \theta A_{\perp}, A_{\|}, \sin \theta A_{\perp}\right) e^{i()} \\
    \mathbf{H}_{r} &=n \frac{1}{\mu c}\left(\cos \theta R_{\perp}, R_{\|}, \sin \theta R_{\perp}\right) e^{i()} \\
    \mathbf{H}_{t} &=n^{\prime} \frac{1}{\mu c}\left(-\cos \theta^{\prime} T_{\perp}, T_{\|}, \sin \theta^{\prime} T_{\perp}\right) e^{i()}
    \end{aligned}
    \]

    Advertencia: por ser los vectores de onda reales las relaciones trigonométricas \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{k}=\) \(\mathbf{R} \cdot \mathbf{k}^{\prime \prime}=\mathbf{T} \cdot \mathbf{k}^{\prime}=0\) implican que tanto la parte real como la imaginaria de \(\mathbf{A}, \mathbf{R}, \mathbf{T}\) son perpendiculares a \(\mathbf{k}\). Ya no hay más que llevar todo esto a las condiciones de frontera 5.1.Obtenemos un sistema de ecuaciones en las componentes \(\perp\) y \(\|\) de las amplitudes \(\mathbf{A}, \mathbf{R}, \mathbf{T}\) :

    \[
    \begin{aligned}
    \left(A_{\|}-R_{\|}\right) \cos \theta &=T_{\|} \cos \theta^{\prime} \\
    A_{\perp}+R_{\perp} &=T_{\perp} \\
    n\left(A_{\perp}+R_{\perp}\right) \cos \theta &=n^{\prime} T_{\perp} \cos \theta^{\prime} \\
    n\left(A_{\|}+R_{\|}\right) &=n^{\prime} T_{\|}
    \end{aligned}
    \]

    Son cuatro ecuaciones, dos para las componentes paralelas (la primera y la cuarta) y dos en las que sólo aparece la componente perpendicular (segunda y tercera). La evolución de ambas componentes es independiente.


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