5.3.1: Deducción de las fórmulas de FRESNEL
Si queremos obtener más información, deberemos explotar a fondo las cuatro ecuaciones de frontera que hemos escrito. Los vectores \(\mathbf{A}, \mathbf{R}, \mathbf{T}\) son perpendiculares a los correspondientes vectores de ondas. Nos interesa descomponer estos vectores en una base en la que tengan sólo dos componentes (ortogonales al vector de ondas), y luego relacionarlas con las componentes \(x\) e \(y\). A esa base, representada en la figura \(5.5\) se la llama (paralela, perpendicular). La componente paralela \(A_{\|}\)está en el plano del papel y la perpendicular \(A_{\perp}\) es ortogonal al plano del papel; ambas son ortogonales al vector de ondas. Para relacionar las \(A_{\perp}, A_{\|}\)con las componentes \(x, y, z\) podemos valernos de relaciones trigonométricas sobre el diagrama. En \(z=0\) las exponenciales son todas iguales, ya que por aplicación de las condiciones de frontera en la interfase, como hemos visto,
\[
e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y-\omega t\right)}=e^{i\left(k_{x}^{\prime} x+k_{y}^{\prime} y-\omega t\right)}=e^{i\left(k_{x}^{\prime \prime} x+k_{y}^{\prime \prime} y-\omega t\right)} \notag
\]
de modo que escribiremos simplemente \(e^{i()}\) :
\[
\begin{aligned}
&\mathbf{E}_{i}=\left(A_{\|} \cos \theta, A_{\perp},-A_{\|} \sin \theta\right) e^{i()} \\
&\mathbf{E}_{r}=\left(-R_{\|} \cos \theta, R_{\perp},-R_{\|} \sin \theta\right) e^{i()} \\
&\mathbf{E}_{t}=\left(T_{\|} \cos \theta^{\prime}, T_{\perp},-T_{\|} \sin \theta^{\prime}\right) e^{i()}
\end{aligned}
\]
para escribir \(\mathbf{H}\) se necesitan los vectores \(\mathbf{k}\) involucrados
\[
\begin{aligned}
\mathbf{k} &=n \frac{\omega}{c}(\sin \theta, 0, \cos \theta) \\
\mathbf{k}^{\prime} &=n^{\prime} \frac{\omega}{c}\left(\sin \theta^{\prime}, 0, \cos \theta\right) \\
\mathbf{k}^{\prime \prime} &=n \frac{\omega}{c}(\sin \theta, 0,-\cos \theta)
\end{aligned}
\]
haciendo los correspondientes productos vectoriales se encuentra
\[
\begin{aligned}
\mathbf{H}_{i} &=n \frac{1}{\mu c}\left(-\cos \theta A_{\perp}, A_{\|}, \sin \theta A_{\perp}\right) e^{i()} \\
\mathbf{H}_{r} &=n \frac{1}{\mu c}\left(\cos \theta R_{\perp}, R_{\|}, \sin \theta R_{\perp}\right) e^{i()} \\
\mathbf{H}_{t} &=n^{\prime} \frac{1}{\mu c}\left(-\cos \theta^{\prime} T_{\perp}, T_{\|}, \sin \theta^{\prime} T_{\perp}\right) e^{i()}
\end{aligned}
\]
Advertencia: por ser los vectores de onda reales las relaciones trigonométricas \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{k}=\) \(\mathbf{R} \cdot \mathbf{k}^{\prime \prime}=\mathbf{T} \cdot \mathbf{k}^{\prime}=0\) implican que tanto la parte real como la imaginaria de \(\mathbf{A}, \mathbf{R}, \mathbf{T}\) son perpendiculares a \(\mathbf{k}\). Ya no hay más que llevar todo esto a las condiciones de frontera 5.1.Obtenemos un sistema de ecuaciones en las componentes \(\perp\) y \(\|\) de las amplitudes \(\mathbf{A}, \mathbf{R}, \mathbf{T}\) :
\[
\begin{aligned}
\left(A_{\|}-R_{\|}\right) \cos \theta &=T_{\|} \cos \theta^{\prime} \\
A_{\perp}+R_{\perp} &=T_{\perp} \\
n\left(A_{\perp}+R_{\perp}\right) \cos \theta &=n^{\prime} T_{\perp} \cos \theta^{\prime} \\
n\left(A_{\|}+R_{\|}\right) &=n^{\prime} T_{\|}
\end{aligned}
\]
Son cuatro ecuaciones, dos para las componentes paralelas (la primera y la cuarta) y dos en las que sólo aparece la componente perpendicular (segunda y tercera). La evolución de ambas componentes es independiente.