10.4.2: Aproximación de FRAUNHOFER
Fundamento; Importancia práctica
La idea de FRAUNHOFER es desarrollar el exponente así
\[
\frac{k}{2 z}\left((x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}\right)=\frac{k}{2 z}\left(x^{2}+\xi^{2}-2 \xi x+y^{2}+\eta^{2}-2 \eta y\right) \notag
\]
Es fácil librarse de \(x^{2} y\) de \(y^{2}\), pues no hay que integrar sobre ellos. Más difícil es librarse de \(\xi^{2}\) y \(\eta^{2}\), y la aproximación de FF consiste precisamente en decir que su contribución a la integral es pequeña. Dicho de otro modo
\[
\begin{aligned}
\frac{k}{2 z}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right) & \ll 1 \\
z & \gg \frac{\pi}{\lambda}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)
\end{aligned}
\]
Básicamente esta aproximación consiste en observar desde un poco más lejos. Obtenemos así la fórmula de FRAUNHOFER:
\[
\hat{u}\left(P_{0}\right)=\frac{e^{i k\left(z+\frac{x^{2}+y^{2}}{2 z}\right)}}{i \lambda z} \int t(\xi, \eta) u(\xi, \eta) e^{-i \frac{k}{z}(\xi x+\eta y)} d \xi d \eta \notag
\]
¿Cuán lejos hay que irse si la abertura es de \(1 m m\), con luz visible para que valga la aproximación?
Solution
\(\xi^{2}+\eta^{2} \sim 10^{-6} m^{2}\) y \(\lambda \sim 5 \times 10^{-7} m\) implica que \(z \gg 10 m\). Hay que alejarse bastante; teniendo en cuenta que la energía emitida por un punto se reparte por la superficie de una esfera (que crece con el radio al cuadrado), puede que a esa distancia haya difracción pero no podamos verla.
Hay una forma de satisfacer la condición de FF sin alejarse de la abertura. Consiste en irse al infinito utilizando una lente delgada convergente. Al poner en el camino de la luz una lente de este tipo, la luz que iría a parar a un \(P_{0}\) en el infinito va a concurrir, de hecho, sobre un punto cercano en el plano focal imagen de la lente. Ubicaremos la lente, por sencillez, paralela al plano que contiene la abertura.
Debemos modificar ligeramente la fórmula, pues las coordenadas de \(P_{0}\) cambiarán al moverse de un punto muy lejano al plano focal imagen. Ahora a las coordenadas sobre ese plano las llamaremos \(x^{\prime}, y^{\prime}\). Su relación con las anteriores se calcula con un poco de trigonometría
\[
\begin{aligned}
\tan \theta_{x} &=\frac{x}{z} \\
&=\frac{x^{\prime}}{f^{\prime}}
\end{aligned}
\]
de donde \(x^{\prime}=\frac{x}{z} f^{\prime}\) e \(y^{\prime}=\frac{y}{z} f^{\prime}\).
Omitiendo la constante de proporcionalidad fuera de la integral, la integral que manejaremos será:
\[
\hat{u}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \propto \int t(\xi, \eta) u(\xi, \eta) e^{-i \frac{k}{f^{\prime}}\left(x^{\prime} \xi+y^{\prime} \eta\right)} d \xi d \eta \notag
\]
ya sólo tenemos que aplicar la fórmula (válida en aproximación de FF y usando una lente delgada convergente).
Principio de Babinet en aproximación de FF con iluminación por ondas planas
El principio de BABINET determina cómo se relacionan figuras de difracción producidas por aberturas complementarias.
\[
\begin{aligned}
\hat{u}\left(P_{0}\right)+\hat{u}^{\prime}\left(P_{0}\right) &=u\left(P_{0}\right) \\
\text { o.dif.abert + o.dif.obj } &=\text { o.incidente }
\end{aligned}
\]
Vamos a ver cómo se escribe esta expresión cuando la onda que ilumina la abertura es plana y estamos trabajando en las condiciones de la aproximación de FRAUNHOFER.
Una onda plana al atravesar una lente converge a un punto del plano focal imagen, que en la figura \(10.7\) se ha etiquetado como \(P_{k}\). Por lo tanto, en aproximación de FRAUNHOFER
\[
u\left(P_{0}\right)=0
\]
en cualquier \(P_{0} \neq P_{k}\). El ppo de BABINET se escribe entonces \(\forall P_{0} \neq P_{k}\) como
\[
\hat{u}\left(P_{0}\right)+\hat{u}^{\prime}\left(P_{0}\right)=0 \notag
\]
de donde
\[
\begin{aligned}
\hat{u}\left(P_{0}\right) &=-\hat{u}^{\prime}\left(P_{0}\right) \\
I^{\prime}\left(P_{0}\right) &=I\left(P_{0}\right)
\end{aligned}
\]
Es decir, que para dos aberturas complementarias
- en régimen FRAUNHOFER
- iluminadas por ondas planas
las figuras de difracción son iguales salvo en un punto.