10.8.1: Análisis del factor de interferencia
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\[
\begin{aligned}
N \frac{\varphi}{2} &=m \pi \\
\varphi &=\frac{2 m}{N} \pi
\end{aligned}
\]
esto es cierto para todos los valores de \(\varphi\) salvo para los valores en que se anule también el denominador, que vamos a numerar con \(M\)
\[
\varphi=2 M \pi \notag
\]
Los ceros comunes corresponden a los valores máximos más grandes, y aparecen en \(\varphi=0, \pm 2 \pi, \pm 4 \pi, \ldots\)
El aspecto de la función es el que se muestra en la figura. Para justificar el que los 10 Difracción
máximos principales realmente lo son valgan los siguientes cálculos
\[
\begin{aligned}
\lim _{\varphi \rightarrow 0} I_{d} &=\lim _{\varphi \rightarrow 0} \text { cte }\left(\frac{\sin \left(N \frac{\varphi}{2}\right)}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right) \\
&=\operatorname{cte}\left(\frac{N \varphi / 2}{\varphi / 2}\right) \\
&=\text { cte } \times N^{2}
\end{aligned}
\]
Tenemos que comparar con los máximos secundarios. Cuando \(N\) es muy grande \((N \gg 1)\), que es el caso interesante
\[
\begin{aligned}
I_{d} &=\operatorname{cte}\left(\frac{\sin \left(N \frac{3 \pi}{2 N}\right)}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2 N}\right)}\right)^{2} \\
& \simeq \text { cte } \times \frac{1}{\left(\frac{3 \pi}{2 N}\right)^{2}} \\
& \simeq \text { cte } \times \frac{N^{2}}{25}
\end{aligned}
\]
de modo que la altura relativa de los máximos, cuando \(N\) es muy grande, difiere por un factor de 25 entre los principales y los adyacentes a éstos.