Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.6: Reflexión difusa - la Ley Lommel-Seeliger

  • Page ID
    126749
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La regla de reflectancia de Lommel-Seeliger es una ley consagrada en el tiempo que sigue siendo muy utilizada hoy en día. Se basa en un modelo que es posiblemente el más simple a partir del cual se puede obtener fácilmente una solución para la función fuente y la ecuación de transferencia. Como tal se trata de un solo modelo de dispersión en el que la dispersión es isotrópica, i. e. p =0.

    Considerar una superficie irradiada por densidad de flujo como se muestra en la figura 3, de manera que el resplandor incidente viene dado por la ecuación (7). De esta radiación incidente, solo una fracción penetrará a la profundidad óptica τ sin ser dispersada o absorbida

    \[L(\tau, \mu, \varphi)=\mathbf{F} e^{-\tau / \mu_{0}} \delta\left(\mu-\mu_{0}\right) \delta\left(\varphi-\varphi_{0}\right)\]

    y la función de origen es

    \[\begin{aligned} \mathfrak{J}(\tau, \mu, \varphi) &=\frac{1}{4 \pi} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{2 \pi} \varpi_{0} \mathbf{F} e^{-\tau / \mu_{0}} \delta\left(\mu^{\prime}-\mu_{0}\right) \delta\left(\varphi^{\prime}-\varphi_{0}\right) d \varphi^{\prime} d \mu^{\prime} \\ &=\frac{\varpi_{0}}{4 \pi} \mathbf{F} e^{-\tau / \mu_{0}} \end{aligned}\]

    Así, la contribución al resplandor de la dispersión isotrópica en la dirección (+μ, φ) desde una capa de espesor d τ a una profundidad τ es

    \[d L=\frac{\varpi_{0} \mathbf{F} e^{-\tau / \mu_{0}}}{4 \pi \mu} d \tau\]

    de manera que el resplandor que emerge de la superficie, sin incurrir en ninguna absorción o dispersión adicional, es

    \[d L(0, \mu, \varphi)=\frac{\varpi_{0} \mathbf{F} e^{-\tau / \mu_{0}}}{4 \pi \mu} e^{-\tau / \mu} d \tau\]

    Obsérvese que dL es la contribución al resplandor total de la capa resultante de la dispersión única. El modelo Lommel-Seeliger considera únicamente la dispersión de la luz incidente colimada. No toma en cuenta la dispersión de la luz difusa que se ha abierto paso indirectamente a la misma posición al estar dispersada una o más veces, es decir, no considera dispersión múltiple.

    Para una superficie planetaria, la capa es “semi-infinita” (t = ∞) y la luminosidad total en la dirección μ es

    \[\begin{array}{c}{L_{r}=\frac{\varpi_{0} \mathbf{F}}{4 \pi u} \times} \\ {\int_{0}^{\infty} \exp \left[-\tau\left(\frac{1}{\mu_{0}}+\frac{1}{\mu}\right)\right] d \tau}\end{array}\]

    lo que resulta en

    \[L_{r}=\frac{\varpi_{0} \mathbf{F}}{4 \pi \mu} \frac{\mu_{0} \mu}{\mu+\mu_{0}}\]

    y como la irradiancia es E = F μ 0 y L r = f r E se deduce que la función de distribución de reflectancia bidireccional (BRDF) que define la regla de reflectancia Lommel-Seeliger es

    \[f_{r}=\frac{\varpi_{0}}{4 \pi} \frac{1}{\mu+\mu_{0}}.\]

    Es interesante señalar que Chandrasekhar nunca deriva del todo la ley Lommel-Seeliger formal y explícitamente; de hecho ni siquiera se menciona el nombre. No obstante, sí se acerca mucho en al menos dos ocasiones -ver Chandrasekhar p146 y p217.


    This page titled 1.6: Reflexión difusa - la Ley Lommel-Seeliger is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Jeremy Tatum & Max Fairbairn via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.