2.10: A, p y q para Reglas Generales de Reflectancia
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De nuevo, considere una esfera de radio a centrada en un marco O xyz con coordenadas esféricas direccionales correspondientes (θ, Φ), y dejar que la esfera se irradie con densidad de flujo F desde la dirección z. Para el albedo geométrico el ángulo de fase α es cero y la radiación incidente y reflejada están dadas por μ 0 = μ = cos θ, de manera que
\[p=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi / 2} f_{r}(\cos \theta, \cos \Theta, 0 ; \ldots) \cos ^{2} \Theta \sin \theta d \Theta d \Phi,\]
lo que resulta en
\[p=2 \pi \int_{0}^{1} f_{r}(\mu, \mu, 0 ; \ldots) \mu^{2} d \mu.\]
Usando la misma geometría para el albedo Bond, para cada punto en el hemisferio irradiado tenemos μ 0 = cos θ, de manera que la reflectancia hemisférica direccional es
\[\rho\left(\mu_{0}\right)=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f_{r}\left(\mu_{0}, \mu, \alpha ; \ldots\right) \mu d \mu d \phi_{r},\]
donde el ángulo de fase es el que existe entre la radiación incidente y la reflejada en cada etapa de la integral,
\[\cos \alpha=\mu_{0} \mu+\sqrt{\left(1-\mu_{0}^{2}\right)\left(1-\mu^{2}\right)} \cos \phi_{r},\]
donde φ r es el acimut de la radiación reflejada. El albedo Bond es dado entonces por
\[A=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi / 2} \rho(\cos \Theta) \cos \Theta \sin \Theta d \Theta d \Phi,\]
lo que reduce a
\[A=2 \int_{0}^{t} \rho(\mu) \mu d \mu.\]
La integral de fase, ecuación (20), se puede computar a partir de las ecuaciones (14), (15) y (16), desapareciendo el factor a 2F en el proceso, para que podamos escribir, a efectos de cómputos, la ecuación (16) como
\[I(\alpha)=\int_{\alpha-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi} f_{r}\left(\mu_{0}, \mu, \alpha ; \ldots\right) \mu_{0} \mu \sin \Theta d \Theta d \Phi,\]
donde se puede observar que para Φ el rango de integración es de α - π/2, la extremidad, a π/2, el terminador.
En estas ecuaciones se puede observar que el albedo geométrico es solo una sola integral y así puede integrarse numéricamente de manera rápida y precisa con casi cualquier método. El albedo Bond y la integral de fase son, sin embargo, triples integrales, por lo que se requiere un método que combine las ventajas de velocidad y precisión; por esta razón, la Cuadratura Gaussiana es el método elegido. En la siguiente sección presentamos este método en forma algorítmica y discutimos su aplicación a las integrales en cuestión.
Para la teoría y ejemplos de Cuadratura Gaussiana, su desempeño comparado con otros métodos de integración así como tabulaciones de las raíces y coeficientes necesarios, el lector es referido a astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/ Celestial Mechanics, Cap. 1.