2.11: Algoritmo Integral Triple Gaussiano

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Jeremy Tatum & Max Fairbairn
University of Victoria

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Para aproximar la integral

\[I=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} F(x, y, z) d z d y d x\]

donde se asume que las raíces R y los coeficientes C se almacenan en matrices bidimensionales.

COMENZAR

h1 = (b — a) /2

h2 = (b + a) /2

I = 0

PARA i = 1, 2,..., m DO

Ix = 0

x = H1*r [m] [i] + h2

k1 = (d — c) /2

k2 = (d + c) /2

PARA j = 1, 2,..., n DO

Iy = 0

y = K1*r [n] [i] + k2

l1 = (f — e) /2

l2 = (f + e) /2

PARA k = 1, 2,..., p DO

z = L1*r [p] [k] + l2

Iy = Iy + C [p] [k] *F (x, y, z)

FIN PARA {k-loop}

Ix = Ix + C [n] [j] *L1*iY

FIN PARA {j-loop}

I = I + C [m] [i] *K1*IX

FIN PARA {i-loop}

I = H1*i

IMPRIMIR I

FINAL

Este algoritmo puede generalizarse aún más permitiendo que los límites e y f sean las funciones e (x, y) y f (x, y) y c y d sean funciones c (x) y d (x). Para nuestros fines los límites de integración son valores fijos.

Aplicando este algoritmo a la ecuación (28) para el albedo Bond e identificando μ con x, vemos que

\[\frac{A}{2}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \times f_{r}(x, \mu, \alpha ; \ldots) \mu d \mu d \phi d x\]

e identificando adicionalmente z con μ e y con φ

\[\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=2 \mathrm{x} \mathrm{z} f_{r}(\mathrm{x}, \mathrm{z}, \alpha ; \ldots)\]

donde a es en sí misma una función de x, y y z [cf. ecuación (26)]

\[\alpha=\cos ^{-1}\left[\mathrm{xz}+\sqrt{\left(1-\mathrm{x}^{2}\right)\left(1-\mathrm{z}^{2}\right)} \cos \mathrm{y}\right].\]

Para la integral de fase, no hay necesidad de invocar los gustos de la ecuación (32) ya que la intensidad I (α) se expresa explícitamente en términos de α y una etapa de la integración es con respecto a α. Los parámetros,..., son, por supuesto, no variables ya que conservan sus valores durante la duración de la integración.

Al aplicar estas integrales se sugiere fuertemente que A, p y q se calculen cada uno de manera independiente para verificar que la relación A = p q se mantiene. Tomar atajos puede enterrar insectos insidiosos, algunos posiblemente tan simples como un error tipográfico., dentro de un programa y dar como resultado al menos dos resultados erróneos no detectados.