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17.1: Flujo del Campo Eléctrico

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    La Ley de Gauss hace uso del concepto de “flujo”. El flujo siempre se define en base a:

    • Una superficie.
    • Un campo vectorial (por ejemplo, el campo eléctrico).

    y se puede considerar como una medida del número de líneas de campo del campo vectorial que cruzan la superficie dada. Por esa razón, uno suele referirse al “flujo del campo eléctrico a través de una superficie”. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\) para un campo eléctrico horizontal uniforme, y se muestra una superficie plana, cuyo vector normal,\(\vec A\), se muestra. Si la superficie es perpendicular al campo (panel izquierdo), y el vector de campo es así paralelo al vector\(\vec A\), entonces el flujo a través de esa superficie es máximo. Si la superficie es paralela al campo (panel derecho), entonces ninguna línea de campo cruza esa superficie y el flujo a través de esa superficie es cero. Si la superficie se gira con respecto al campo eléctrico, como en el panel central, entonces el flujo a través de la superficie está entre cero y el valor máximo.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Flujo de un campo eléctrico a través de una superficie que hace diferentes ángulos con respecto al campo eléctrico. En el panel más a la izquierda, la superficie está orientada de tal manera que el flujo a través de ella es máximo. En el panel más a la derecha, no hay líneas de campo que crucen la superficie, por lo que el flujo a través de la superficie es cero.

    Definimos un vector,\(\vec A\), asociado a la superficie tal que la magnitud de\(\vec A\) es igual al área de la superficie, y la dirección de\(\vec A\) es tal que es perpendicular a la superficie, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Definimos el flujo,\(\Phi_E\), del campo eléctrico,\(\vec E\), a través de la superficie representada por el vector\(\vec A\),, como:\[\begin{aligned} \Phi_E=\vec E\cdot \vec A=EA\cos\theta\end{aligned}\] ya que éste tendrá las mismas propiedades que describimos anteriormente (ej. no flujo cuando\(\vec E\) y \(\vec A\)son perpendiculares, flujo proporcional al número de líneas de campo que cruzan la superficie). Tenga en cuenta que el flujo solo se define hasta un signo general, ya que hay dos opciones posibles para la dirección del vector\(\vec A\), ya que solo se requiere que sea perpendicular a la superficie. Por convención, solemos elegir\(\vec A\) para que el flujo sea positivo.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuáles son las unidades S.I. de flujo eléctrico?

    1. \(\text{N}\cdot\text{m/C}\)
    2. \(\text{V}\cdot\text{m}\)
    3. \(\text{V/m}\)
    4. Las unidades de flujo dependen de las dimensiones del objeto cargado.
    Contestar

    Las unidades de flujo dependen de las dimensiones del objeto cargado.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un campo eléctrico uniforme viene dado por:\(\vec E=E\cos\theta\hat x+E\sin\theta\hat y\) throughout space. A rectangular surface is defined by the four points \((0,0,0)\), \((0,0,H)\), \((L,0,0)\), \((L,0,H)\). What is the flux of the electric field through the surface?

    Solución:

    La superficie que se define corresponde a un rectángulo en el\(xz\) plano con área\(A=LH\). Dado que el rectángulo se encuentra en el\(xz\) plano, un vector perpendicular a la superficie estará a lo largo de la\(y\) dirección. Elegimos la\(y\) dirección positiva, ya que esto dará un número positivo para el flujo (ya que el campo eléctrico tiene un componente positivo en la\(y\) dirección). El vector\(\vec A\) viene dado por:\[\begin{aligned} \vec A =A\hat y=LH\hat y\end{aligned}\] El flujo a través de la superficie viene así dado por:\[\begin{aligned} \Phi_E&=\vec E\cdot \vec A=(E\cos\theta\hat x+E\sin\theta\hat y)\cdot(LH\hat y)\\ &=ELH\sin\theta\end{aligned}\] donde se debe notar que el ángulo\(\theta\), en este caso, no es el ángulo entre\(\vec E\) y\(\vec A\), sino el complemento de ese ángulo.

    Discusión:

    En este ejemplo, calculamos el flujo de un campo eléctrico uniforme a través de un rectángulo de área,\(A=LH\). Como conocíamos los componentes tanto del vector de campo eléctrico como del vector de superficie\(\vec A\), utilizamos su producto escalar para determinar el flujo a través de la superficie.\(\vec E\) En algunos casos, es más fácil trabajar con la magnitud de los vectores y el ángulo entre ellos para determinar el producto escalar (aunque tenga en cuenta que en este ejemplo, el ángulo entre\(\vec E\) y\(\vec A\) es\(90^{\circ}-\theta\)).

    Campos no uniformes

    Hasta el momento, hemos considerado el flujo de un campo eléctrico uniforme,\(\vec E\), a través de una superficie,\(S\), descrito por un vector,\(\vec A\). En este caso, el flujo,\(\Phi_E\), viene dado por:\[\begin{aligned} \Phi_E=\vec E\cdot \vec A\end{aligned}\] Sin embargo, si el campo eléctrico no es constante en magnitud y/o en dirección sobre toda la superficie, entonces dividimos la superficie,\(S\), en muchas superficies infinitesimales,\(dS\), y sumamos juntas ( integrar) los flujos de esas superficies infinitesimales:

    \[\Phi_{E}=\int\vec E\cdot d\vec A\]

    donde,\(d\vec A\), es el vector normal para la superficie infinitesimal,\(dS\). Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\), que muestra, en el panel izquierdo, una superficie para la cual el campo eléctrico cambia de magnitud a lo largo de la superficie (ya que las líneas de campo están más cercanas en la parte inferior izquierda de la superficie), y, en el panel derecho, un escenario en el que la dirección y magnitud de la eléctrica campo varían a lo largo de la superficie.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Ejemplos de superficies que necesitan ser subdivididas para determinar el flujo neto a través de ellas. La superficie de la izquierda debe subdividirse porque el campo eléctrico cambia de magnitud sobre la superficie, mientras que la de la derecha necesita ser subdividida porque el ángulo entre\(\vec E\) y no\(d\vec A\) es constante (y la magnitud de\(\vec E\) también cambia a lo largo de la superficie).

    Para calcular el flujo a través de la superficie total, primero calculamos el flujo a través de una superficie infinitesimal\(dS\), sobre la cual asumimos que\(\vec E\) es constante en magnitud y dirección, y luego, sumamos (integramos) los flujos de todas las superficies infinitesimales juntos. Recuerde, el flujo a través de una superficie está relacionado con el número de líneas de campo que cruzan esa superficie; así tiene sentido contar las líneas que cruzan una superficie infinitesimal\(dS\), y luego sumarlas juntas sobre todas las superficies infinitesimales para determinar el flujo a través del total superficie,\(S\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Un campo eléctrico apunta en el\(z\) direction everywhere in space. The magnitude of the electric field depends linearly on the \(x\) position in space, so that the electric field vector is given by: \(\vec E=(a-bx)\hat z\), where, \(a\), and, \(b\), are constants. What is the flux of the electric field through a square of side, \(L\), that is located in the positive \(xy\) plane with one of its corners at the origin? Necesitamos calcular el flujo del campo eléctrico a través de un cuadrado de lado\(L\) en el\(xy\) plano. El campo eléctrico siempre está en la\(z\) dirección, por lo que el ángulo entre\(\vec E\) y\(d\vec A\) (el vector normal para cualquier elemento de área infinitesimal) permanecerá constante.

    Solución:

    Podemos calcular el flujo a través del cuadrado dividiendo el cuadrado en tiras delgadas de longitud\(L\) en la\(y\) dirección y ancho infinitesimal\(dx\) en la\(x\) dirección, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\). En este caso, debido a que el campo eléctrico no cambia con\(y\), la dimensión del elemento área infinitesimal en la\(y\) dirección es finita (\(L\)). Si el campo eléctrico variara tanto en función de\(x\) como\(y\), comenzaríamos con elementos de área que tienen dimensiones infinitesimales tanto en la\(x\) dirección como en la\(y\) dirección.

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Dividiendo un cuadrado en el\(xy\) plano en tiras delgadas de largo\(L\) y ancho\(dx\).

    Como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\), primero calculamos el flujo a través de una delgada franja de área,\(dA=Ldx\), ubicada en posición a\(x\) lo largo del\(x\) eje. Elegir,\(d\vec A\), en la dirección para dar un flujo positivo, el flujo a través de la tira que se ilustra viene dado por:\[\begin{aligned} d\Phi_E=\vec E\cdot d\vec A=EdA=(ax-b)Ldx\end{aligned}\] donde\(\vec E\cdot d\vec A=EdA\), ya que el ángulo entre\(\vec E\) y\(\vec A\) es cero. Sumando los flujos de las tiras, de\(x=0\) a\(x=L\), el flujo total viene dado por:\[\begin{aligned} \Phi_E=\int d\Phi_E=\int_0^L(ax-b)Ldx=\frac{1}{2}aL^3-bL^2\end{aligned}\]

    Discusión:

    En este ejemplo, mostramos cómo calcular el flujo a partir de un campo eléctrico que cambia de magnitud con la posición. Modelamos un cuadrado de lado,\(L\), como estar hecho de muchas tiras delgadas de largo,\(L\), y ancho,\(dx\). Luego calculamos el flujo a través de cada tira y los agregamos juntos para obtener el flujo total a través del cuadrado.

    Superficies cerradas

    Se puede distinguir entre una superficie “cerrada” y una superficie “abierta”. Una superficie se cierra si define completamente un volumen que podría, por ejemplo, llenarse con un líquido. Una superficie cerrada tiene un “interior” transparente y un “exterior”. Por ejemplo, la superficie de una esfera, de un cubo o de un cilindro son todos ejemplos de superficies cerradas. Un plano, un triángulo y un disco son, por otro lado, ejemplos de “superficies abiertas”.

    Para una superficie cerrada, se puede definir inequívocamente la dirección del vector\(\vec A\) (o\(d\vec A\)) como la dirección en la que es perpendicular a la superficie y apunta hacia el exterior. Así, el signo del flujo que sale de una superficie cerrada es significativo. El flujo será positivo si hay un número neto de líneas de campo saliendo del volumen definido por la superficie (ya que\(\vec E\) y\(\vec A\) será paralelo en promedio) y el flujo será negativo si hay un número neto de líneas de campo entrando en el volumen (como \(\vec E\)y\(\vec A\) será antiparalelo en promedio). El flujo a través de una superficie cerrada es así cero si el número de líneas de campo que entran en la superficie es el mismo que el número de líneas de campo que salen de la superficie.

    Al calcular el flujo sobre una superficie cerrada, utilizamos un símbolo de integración diferente para mostrar que la superficie está cerrada:\[\begin{aligned} \Phi_E=\oint \vec E\cdot d\vec A\end{aligned}\] que es el mismo símbolo de integración que usamos para indicar una integral de ruta cuando los puntos inicial y final son los mismos (ver por ejemplo la Sección 8.1).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Un campo eléctrico no uniforme que fluye a través de una superficie cerrada de forma irregular.

    Un campo eléctrico no uniforme\(\vec E\) fluye a través de una superficie cerrada de forma irregular, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). El flujo a través de la superficie es

    1. positivo.
    2. cero.
    3. negativo.
    Contestar

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Una carga eléctrica negativa,\(-Q\), is located at the origin of a coordinate system. Calculate the flux of the electric field through a spherical surface of radius, \(R\), that is centerd at the origin.

    Solución:

    La figura\(\PageIndex{5}\) muestra la superficie esférica de radio\(R\),, centrada en el origen donde\(-Q\) se ubica la carga.

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    Figura\(\PageIndex{5}\): Cálculo del flujo a través de una superficie esférica.

    En todos los puntos a lo largo de la superficie, el campo eléctrico tiene la misma magnitud:\[\begin{aligned} E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R^2}\end{aligned}\] como lo da la ley de Coulomb para una carga puntual. Aunque el vector,\(\vec E\), cambia de dirección en todas partes a lo largo de la superficie, siempre hace el mismo ángulo (-180) con el vector correspondiente\(d\vec A\),, en cualquier ubicación particular. En efecto, para una carga puntual, el campo eléctrico apunta en la dirección radial (hacia adentro para una carga negativa) y es así perpendicular a la superficie esférica en todos los puntos. Dado que la superficie está cerrada, el vector,\(d\vec A\), apunta hacia afuera en cualquier parte de la superficie. Así, en cualquier punto de la superficie, podemos evaluar el flujo a través de un elemento de área infinitesimal,\(d\vec A\):\[\begin{aligned} d\Phi_E=\vec E\cdot d\vec A=EdA\cos(-180^{\circ})=-EdA\end{aligned}\] donde el signo menos general proviene del hecho de que,\(\vec E\), y,\(d\vec A\), son antiparalelos. El flujo total a través de la superficie esférica se obtiene sumando los flujos a través de cada elemento de área:\[\begin{aligned} \Phi_E=\oint d\Phi_E=\oint -EdA=-E\oint dA=-E(4\pi R^2)\end{aligned}\] donde factorizamos,\(E\), fuera de la integral, ya que la magnitud del campo eléctrico es constante sobre toda la superficie (una distancia constante \(R\)de la carga). En la última igualdad, reconocimos que,\(\oint dA\), simplemente significa “sumar todas las áreas,\(dA\), de los elementos superficiales”, lo que da la superficie total de la esfera,\(4\pi R^2\). El flujo a través de la superficie esférica es negativo, porque la carga es negativa, y las líneas de campo apuntan hacia\(-Q\).

    Utilizando el valor que obtuvimos para la magnitud del campo eléctrico de la Ley de Coulomb, el flujo total viene dado por: el\[\begin{aligned} \Phi_E=-E(4\pi R^2)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R^2}(4\pi R^2)=-\frac{Q}{\epsilon_0}\end{aligned}\] cual, sorprendentemente, es independiente del radio de la superficie esférica. Tenga en cuenta que usamos\(\epsilon_0\) en lugar de la constante de Coulomb\(k\),, ya que el resultado es más limpio sin el factor extra de\(4\pi\).

    Discusión:

    En este ejemplo, calculamos el flujo del campo eléctrico a partir de una carga de punto negativo a través de una superficie esférica concéntrica con la carga. Encontramos que el flujo es negativo, lo cual tiene sentido, ya que las líneas de campo van hacia una carga negativa, y por lo tanto hay un número neto de líneas de campo que ingresan a la superficie esférica. Quizás sorprendentemente, encontramos que el flujo total a través de la superficie no depende del radio de la superficie! De hecho, esa afirmación es precisamente la Ley de Gauss: el flujo neto que sale de una superficie cerrada depende únicamente de la cantidad de carga encerrada por esa superficie (y la constante,\(\epsilon_0\)). La Ley de Gauss es, por supuesto, más general, y se aplica a superficies de cualquier forma, así como a cargos de cualquier forma (mientras que la Ley de Coulomb solo se mantiene para cargos puntuales).


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