2.2: Unidades y dimensiones

En 1999, el Mars Climate Orbiter de la NASA se desintegró en la atmósfera marciana debido a una mezcla en las unidades utilizadas para calcular el empuje necesario para ralentizar la sonda y colocarla en órbita alrededor de Marte. Un programa informático proporcionado por un fabricante privado utilizó unidades de libras segundos para calcular el cambio en el impulso de la sonda en lugar de los Newton segundos esperados por la NASA. Como resultado, la sonda se ralentizó demasiado y se desintegró en la atmósfera marciana. Este ejemplo ilustra la necesidad de usar y especificar unidades cuando describimos las propiedades de una cantidad física, y también demuestra la diferencia entre una dimensión y una unidad.

Las “dimensiones” se pueden considerar como tipos de mediciones. Por ejemplo, la longitud y el tiempo son ambas dimensiones. Una unidad es el estándar que elegimos para cuantificar una dimensión. Por ejemplo, los metros y los pies son unidades para la dimensión de longitud, mientras que los segundos y los jiffys ¹ son unidades para la dimensión del tiempo.

Cuando comparamos dos números, por ejemplo una predicción a partir de un modelo y una medida, es importante que ambas cantidades tengan la misma dimensión y se expresen en las mismas unidades.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El límite de velocidad en una autopista...

1. tiene la dimensión de longitud a lo largo del tiempo y se puede expresar en unidades de kilómetros por hora.
2. tiene la dimensión de longitud puede y ser expresada en unidades de kilómetros por hora.
3. tiene la dimensión de tiempo sobre longitud y se puede expresar en unidades de metros por segundo.
4. tiene la dimensión del tiempo y se puede expresar en unidades de metros.

Contestar

Dimensiones de la base y sus unidades SI

Con el fin de facilitar la comunicación de la información científica, se desarrolló el Sistema Internacional de Unidades (SI para los franceses, Systeme International d'unites). Esto nos permite usar una convención bien definida para qué unidades usar al describir cantidades. Por ejemplo, la unidad SI para la dimensión de longitud es el metro y la unidad SI para la dimensión del tiempo es la segunda.

Para simplificar el sistema de unidades SI, se eligió un conjunto fundamental (base) de dimensiones y se definieron las unidades SI para esas dimensiones. Cualquier otra dimensión siempre puede ser reexpresada en términos de las dimensiones base mostradas en el Cuadro 2.2.1 y sus unidades en términos de la combinación correspondiente de las unidades SI base.

Dimensión	Unidad SI
Largo\([L]\)	medidor\([m]\)
Tiempo\([T]\)	segundo\([s]\)
Masa\([M]\)	kilogramo\([kg]\)
Temperatura\([\theta]\)	kelvin\([K]\)
Corriente Eléctrica\([I]\)	amperio\([A]\)
Cantidad de Sustancia\([N]\)	mole\([mol]\)
Intensidad luminosa\([J]\)	candela\([cd]\)
Adimensional\([l]\)	unitless\([]\)

Cuadro 2.2.1: Dimensiones base y sus unidades SI con abreviaturas.

A partir de las dimensiones base, se pueden obtener dimensiones “derivadas” como la “velocidad”, que es una medida de la rapidez con la que se mueve un objeto. La dimensión de velocidad es\(L/T\) (longitud en el tiempo) y la unidad SI correspondiente es m/s (metros por segundo) ² Muchas de las dimensiones derivadas tienen unidades SI derivadas correspondientes que pueden expresarse en términos de las unidades SI base. En el Cuadro 2.2.2 se muestran algunas dimensiones derivadas y sus correspondientes unidades SI y cómo se obtienen esas unidades SI a partir de las unidades SI base.

Dimensión	Unidad SI	Unidades base SI
Velocidad\([L/T]\)	metro por segundo\([m/s]\)	\([m/s]\)
Frecuencia\([1/T]\)	hertz\([Hz]\)	\([1/s]\)
Fuerza\([M\cdot L\cdot T^{-2}]\)	newton\([N]\)	\([kg\cdot m\cdot s^{-2}]\)
Energía\([M\cdot L^{2}\cdot T^{-2}]\)	joule\([J]\)	\([N\cdot m=kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}]\)
Poder\([M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}]\)	vatio\([W]\)	\([J/s=kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}]\)
Carga eléctrica\([I\cdot T]\)	culombo\([C]\)	\([A\cdot s]\)
Voltaje\([M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}\cdot I^{-1}]\)	voltio\([V]\)	\([J/C=kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}\cdot A^{-1}]\)

Cuadro 2.2.2: Ejemplo de dimensiones derivadas y sus unidades SI con abreviaturas.

Por convención, podemos indicar la dimensión de una cantidad,\(X\), escribiéndola entre corchetes,\([X]\). Por ejemplo,\([X] = I\), significaría que la cantidad\(X\) tiene la dimensión\(I\), por lo que tiene la dimensión de la corriente eléctrica. De igual manera, podemos indicar las unidades SI de\(X\) con\(SI[X]\). Refiriéndose al Cuadro 2.2.1, ya que\(X\) tiene la dimensión de corriente,\(SI[X] = A\).

Análisis dimensional

Llamamos “análisis dimensional” al proceso de elaborar las dimensiones de una cantidad en términos de las dimensiones base y una predicción de modelo para esa cantidad. Algunas reglas simples nos permiten calcular fácilmente las dimensiones de una cantidad derivada. Supongamos que tenemos dos cantidades,\(X\) y\(Y\), ambas con dimensiones. Luego tenemos las siguientes reglas para encontrar la dimensión de una cantidad que depende de\(X\) y\(Y\):

1. Suma/resta: Solo se pueden sumar o restar dos cantidades si tienen la misma dimensión:\([X + Y] = [X] = [Y]\)
2. Multiplicación: La dimensión del producto,\([XY]\), es el producto de las dimensiones:\([XY] = [X] · [Y]\)
3. División: La dimensión de la relación,\([X/Y]\), es la relación de las dimensiones:\([X/Y] = [X]/[Y]\)

Los siguientes dos ejemplos muestran cómo aplicar el análisis dimensional para obtener la unidad o dimensión de una cantidad derivada.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

La aceleración tiene unidades SI de ms ⁻² y la fuerza tiene la dimensión de masa multiplicada por la aceleración. ¿Cuáles son las dimensiones y las unidades de fuerza SI, expresadas en términos de las dimensiones y unidades de base?

Solución:

Podemos comenzar expresando la dimensión de aceleración, ya que sabemos por sus unidades SI que debe tener la dimensión de longitud a lo largo del tiempo al cuadrado.

\([acceleration]=\frac{L}{T^{2}}\)

Dado que la fuerza tiene la dimensión de la aceleración de los tiempos de masa, tenemos:

\([force]=[mass]\cdot [acceleration]=M\frac{L}{T^{2}}\)

y las unidades de fuerza del SI son así:

\(SI[force]=kg\cdot m/s^{2}\)

La fuerza es una dimensión tan común que, como muchas otras dimensiones derivadas, tiene su propia unidad SI derivada, la Newton\([N]\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Utilice la Tabla 2.2.2 para mostrar que el voltaje tiene la misma dimensión que la fuerza multiplicada por la velocidad y dividida por la corriente eléctrica.

Solución:

De acuerdo con la Tabla 2.2.2, el voltaje tiene la dimensión:

\([voltage]=M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}\cdot I^{-1}\)

mientras que la fuerza, la velocidad y la corriente tienen dimensiones:

\(\begin{aligned} [force]&=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ [speed]&=L\cdot T^{-1} \\ [current]&=I \end{aligned}\)

La dimensión de la fuerza multiplicada por la velocidad dividida por la carga eléctrica

\(\begin{aligned} \left[\frac{force\cdot speed}{current}\right] &=\frac{[force]\cdot [speed]}{[current]}=\frac{M]c\cdot L\cdot T^{-2}\cdot L\cdot T^{-1}}{I} \\ &=M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned}\)

donde, en la última línea, combinamos los poderes de las mismas dimensiones. Por inspección, esta es la misma dimensión que el voltaje.

Cuando construyes un modelo para predecir el valor de una cantidad física, siempre debes usar el análisis dimensional para asegurarte de que la dimensión de la cantidad que predice tu modelo sea correcta.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Su modelo predice que la velocidad,\(v\), de un objeto de masa\(m\), después de haber caído una distancia\(h\) sobre la superficie de un planeta con masa\(M\) y radio\(R\) viene dada por:

\(v=\frac{mMh}{R}\)

¿Es esta una predicción razonable?

Solución:

Primero, podemos ver que la velocidad será mayor si\(h\) es mayor, lo cual tiene sentido, ya que esperamos que la velocidad sea mayor si el objeto cayó una distancia mayor. De igual manera, esperamos que la velocidad sea mayor si la masa del planeta,\(M\), es mayor, ya que ejercería una mayor fuerza gravitacional, como lo da este modelo. También esperamos que el objeto tenga una mayor velocidad si tiene una masa mayor,\(m\), si el arrastre de la atmósfera en el planeta es significativo. Por último, si el radio del planeta\(R\) es mayor, esperaríamos que la velocidad fuera menor, ya que el planeta sería menos denso y ejercería menos fuerza gravitacional en su superficie. Sin embargo, si verificamos las dimensiones para la predicción de\(v\), encontramos que el modelo no predice dimensiones de velocidad:

\(\begin{aligned} [v]&=\frac{[m][M][h]}{[R]} \\ &=\frac{MML}{L}=M^{2} \end{aligned}\)

y nuestro modelo predice una velocidad con dimensiones de masa al cuadrado. Al realizar análisis dimensionales simples, podemos confirmar fácilmente que nuestro modelo es definitivamente incorrecto. Siempre debes verificar las dimensiones de cualquier predicción de modelo, para asegurarte de que sea correcta.

Pensamientos de Olivia

En esta sección, se nos dieron tres reglas para combinar dimensiones. Notarás que estas reglas son las mismas que las reglas para álgebra, excepto que estás usando dimensiones en lugar de\(x\)'s y\(y\)'s Entonces, realmente puedes abordar problemas de análisis dimensional como lo harías con problemas de álgebra.

Hay algunos pasos básicos que puedes seguir cuando intentas encontrar las unidades SI para un valor/variable en tu ecuación. Voy a pasar por el Ejemplo 2.2.1 de una manera un poco diferente. Digamos que tienes la ecuación\(F = ma\) y esta vez, conoces las dimensiones de\(F\) y\(m\), y quieres encontrar las dimensiones de\(a\):

1. Reescribe los valores/variables en tu ecuación en términos de sus dimensiones, dejando todas las demás operaciones (multiplicación, exponentes, etc.) como está:\(F = m · a → [F] = [m] · [a]\)
2. Reorganice para su dimensión desconocida:\([a] = \frac{[F]}{[m]}\)
3. Sustituya en sus dimensiones conocidas:\([a] = \frac{[F]}{[m]} → [a] = \frac{MLT^{−2}}{M} = \frac{ML}{MT^{2}}\)
4. Resolver usando las reglas del álgebra:\([a] = \frac{L}{T^{2}}\) (donde acabamos de cancelar los\(M\)'s)
5. Reemplace las dimensiones por sus unidades SI correspondientes:\([a] = \frac{L}{T^{2}} → SI[a] = \frac{m}{s^{2}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

En la teoría de Chloe sobre la caída de objetos del Capítulo 1, el tiempo\(t\),, para que un objeto caiga una distancia\(x\),, fue dado por\(t = k\sqrt{x}\). ¿Cuáles deben ser las unidades SI de la constante de Chloe\(k\),,?

1. \(T L^{\frac{1}{2}}\)
2. \(T L^{−\frac{1}{2}}\)
3. \(s m^{\frac{1}{2}}\)
4. \(s m^{−\frac{1}{2}}\)

Contestar

El análisis dimensional también se puede utilizar para determinar fórmulas (generalmente dentro de un orden de magnitud). Un ejemplo famoso de esto es cuando un físico británico llamado G.I. Taylor pudo determinar una fórmula que mostraba cómo el radio de explosión de una bomba atómica escalaba con el tiempo. Utilizando imágenes de la primera explosión de bomba atómica, pudo determinar la cantidad de energía liberada en la explosión, la cual era información clasificada en su momento.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra una fórmula que muestre cómo el radio de explosión,\(r\), escala con el tiempo transcurrido desde la explosión\(t\),, donde el radio también depende de la energía liberada en la explosión\(E\),, y la densidad del medio en el que explota la bomba,\(ρ\).

Solución:

Queremos averiguar cómo se escala el radio de voladura con el tiempo, así que queremos una expresión que se\(r\) relacione con alguna combinación de\(E, ρ\), y\(t\):

\(r\sim E^{x}ρ^{y}t^{z}\)

donde\(x, y\), y\(z\) son nuestros exponentes desconocidos, ya que aún no sabemos cómo vamos a combinar\(E, ρ\), y\(t\). Sin embargo, sí sabemos que cuando combinamos estas cantidades, tenemos que obtener la dimensión correcta (longitud) para el radio:

\([r]=[E]^{x}[ρ]^{y}[t]^{z}\)

Se conocen las dimensiones para radio y tiempo, y la dimensión para E se puede encontrar en la Tabla 2.1.2. La densidad es masa dividida por volumen, por lo que su dimensión es M/L3. Nuestra ecuación entonces se convierte en:

\(\begin{aligned} L&=(ML^{2}T^{-2})^{x}(ML^{-3})^{y}(T)^{z} \\ L&=(M^{x}L^{2x}T^{-2x})(M^{y}L^{-3y})(T^{z}) \end{aligned}\)

Tenemos tres incógnitas, entonces necesitamos tres ecuaciones. Podemos reconocer que el lado izquierdo (con dimensión de longitud,\(L\)) es equivalente a\(L^{1} · M^{0} · T^{0}\). Luego podemos separar la expresión anterior en tres ecuaciones, una para cada una de\(M, L\), y\(T\):

\(\begin{aligned} M^{0}&=M^{x}M^{y}\rightarrow 0=x+y \\ L^{1}&=L^{2x}L^{-3y}\rightarrow 1=2x-3y \\ T^{0}&=T^{-2x}T^{z}\rightarrow 0=z-2x \end{aligned}\)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, nos encontramos con eso\(x = \frac{1}{5}, y = −\frac{1}{5}\), y\(z = \frac{2}{5}\). Entonces, la combinación de\(E, ρ\), y\(t\) que nos da la dimensión de longitud es:

\(\begin{array}{r} {r\sim E^{1/5}ρ^{-1/5}t^{2/5} }\\{\therefore r∝ t^{2/5}} \end{array}\)

También puedes escribir esta ecuación como:

\(r\sim \sqrt[5]{\frac{Et^{2}}{\rho}}\)

Así, midiendo el radio de explosión en algún momento, y conociendo la densidad del aire, se puede estimar la energía que se liberó durante la explosión.

Notas al pie

1. Un jiffy es una unidad utilizada en electrónica y generalmente corresponde a cualquiera\(\frac{1}{50}\) o\(\frac{1}{60}\) segundos.

2. Tenga en cuenta que también podemos escribir metros por segundo como m·s\(^{−1}\), pero a menudo usamos un signo divide por si la potencia de la unidad en el denominador es\(1\).