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3.7: Problemas y soluciones de la muestra

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que se pueden usar las ecuaciones 3.2.2 y 3.2.3 para derivar la siguiente ecuación:

    \(v^{2}-v_{0}^{2}=2a(x-x_{0})\)

    que es independiente del tiempo.

    Contestar

    Comenzamos con las ecuaciones para posición y velocidad que derivamos en este capítulo:

    \(\begin{aligned} x&=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} \\ v&=v_{0}+at \end{aligned}\)

    La primera ecuación se puede escribir como:

    \((x-x_{0})=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\)

    Nuestro objetivo es encontrar una ecuación que sea independiente del tiempo\(t\). Comenzamos aislando\(t\) en nuestra ecuación para la velocidad:

    \(\begin{aligned} v&=v_{0}t+at \\ t&=\frac{v-v_{0}}{a} \end{aligned}\)

    Luego sustituimos este valor de\(t\) en nuestra ecuación por\((x − x_{0})\):

    \(\begin{aligned} (x-x_{0})&=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} \\ (x-x_{0})&=v_{0}\left( \frac{v-v_{0}}{a}\right) +\frac{1}{2}a\left( \frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2} \end{aligned}\)

    Queremos que el lado izquierdo sea\(2a(x − x_{0})\), así multiplicamos cada término por\(2a\):

    \(\begin{aligned} 2a(x-x_{0})x&=(2a)v_{0}\left(\frac{v-v_{0}}{a} \right)+(2a)\frac{1}{2}a\left(\frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2} \\ 2a(x-x_{0})&=(2v_{0})a\left(\frac{v-v_{0}}{a} \right)+a^{2}\left( \frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2} \\ 2a(x-x_{0})&=2v_{0}(v-v_{0})+(v-v_{0})^{2} \end{aligned}\)

    \(2v_{0}\)Distribuimos entre corchetes. Luego ampliamos el tercer término y obtenemos:

    \(\begin{aligned}2a(x-x_{0})&=(2v_{0}v-2v_{0}^{2})+(v_{0}-v^{2})(v_{0}-v^{2}) \\ 2a(x-x_{0})&=(2v_{0}v-2v_{0}^{2})+(v_{0}^{2}-2v_{0}v+v^{2}) \end{aligned}\)

    Todo lo que queda por hacer es recopilar términos similares, y obtenemos la fórmula que estamos buscando:

    \(\begin{aligned} 2a(x-x_{0})&=2v_{0}v-2v_{0}^{2}+v_{0}^{2}-2v_{0}v+v^{2} \\ 2a(x-x_{0})&=(v^{2})+(2v_{0}v-2v_{0}v)+(v_{0}^{2}-2v_{0}^{2}) \\ 2a(x-x_{0})&=v^{2}-v_{0}^{2} \\ \therefore v^{2}-v_{0}^{2}&=2a(x-x_{0}) \end{aligned}\)

    Si eliges un sistema de coordenadas tal que\(x_{0}\), esta ecuación se convierte en\(v^{2}−v_{0}^{2}=2ax\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Rob está montando su bicicleta a una velocidad de\(8\) m/s, pasa junto a un velociraptor, como suele hacer uno, que está comiendo a un lado de la carretera. El velociraptor comienza a perseguirlo. El velociraptor acelera desde el reposo a una velocidad de\(4\) m/s\(^{2}\).

    1. Asumiendo que el velociraptor tarda\(3\) segundos en reaccionar, ¿cuánto tiempo tarda desde el momento en que pasa Rob para que el velicoraptor lo alcance?
    2. Si hay un lugar seguro\(70\) a metros de donde Rob pasa el velociraptor, ¿Rob llegará ahí a tiempo para escapar de ser comido?
    Contestar

    Comenzamos por elegir nuestro sistema de coordenadas. La solución es más sencilla si el\(x\) eje es positivo en la dirección del movimiento y tiene un origen en el punto donde Rob pasa el velociraptor. También elegimos\(t = 0\) ser el momento en que el velociraptor comienza a funcionar.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Rob está siendo perseguido por un velociraptor. A\(t=0\), Rob está a una\(x_{0R}\) distancia del velociraptor. La seguridad está\(70\text{m}\) lejos del origen.

    a. ¿Qué entendemos por “ponerse al día”? Significa que Rob y el velociraptor tendrán la misma posición al mismo tiempo. Entonces, nos interesa el valor de\(t\) cuándo\(x_{R} = x_{V}\), dónde\(x_{R}\) está la posición de Rob, y\(x_{V}\) es la posición del velociraptor. Necesitamos dos ecuaciones, una que describa la posición de Rob y otra que describa la posición del velociraptor. Rob se mueve a una velocidad constante, por lo que su posición es descrita por:

    \(x_{R}=x_{0R}+v_{R}t\)

    El velociraptor tiene una aceleración constante, por lo que su posición es descrita por:

    \(x_{V}=x_{0V}+v_{0v}t+\frac{1}{2}a_{V}t^{2}\)

    Podemos usar una tabla para enumerar los valores numéricos que conocemos:

    Rob Velociraptor
    \(x_{0R}=?\) \(x_{0V}=0\text{m}\)
    \(v_{R}=8\text{m/s}\) \(v_{0V}=0\text{m/s}\)
    \(a_{V}=4\text{m/s}^{2}\)

    Cuadro 3.7.1

    \(x_{0R}\)es la posición de Rob en el instante en que el velociraptor comienza a funcionar. El valor de\(x_{0R}\) es desconocido pero se puede resolver fácilmente para. Tarda\(3\) segundos para que el velociraptor reaccione, así que en\(t = 0\), Rob se ha movido\((8\text{m/s}) × (3\text{s}) = 24\text{m} = x_{0R}\) (donde usamos la fórmula\(x = vt\)).

    Ya que\(v_{0V} = 0\) (el velociraptor comienza a correr desde el reposo) y\(x_{0V} = 0\) (el velociraptor comienza en el origen), podemos escribir nuestras ecuaciones para la posición como:

    \(\begin{aligned} x_{R}=x_{0R}+v_{R}t \\ x_{V}=\frac{1}{2}a_{V}t^{2} \end{aligned}\)

    Recuerda que queremos encontrar\(t\) cuándo\(x_{R}=x_{V}\). Establecer las ecuaciones anteriores iguales entre sí da:

    \(\begin{aligned} x_{R}&=x_{V} \\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac{1}{2}a_{V}t^{2} \\ \therefore \frac{1}{2}a_{V}t^{2}-v_{R}t-x_{0R}&=0 \end{aligned}\)

    que es una ecuación cuadrática para\(t\). Sustituyendo en valores numéricos y resolviendo\(t\):

    \(\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\text{m/s}^{2})t^{2}-(8\text{m/s})t-(24\text{m})&=0 \\ 2t^{2}-8t-24&=0 \\ \therefore t&=\frac{8\pm\sqrt{256}}{4}=6.0\text{s} \end{aligned}\)

    Donde elegimos la raíz positiva de la cuadrática, ya que el tiempo debe ser una cantidad positiva. Esto no nos da exactamente la respuesta que queremos, ya que queremos saber cuánto tiempo tarda el velociraptor en ponerse al día desde el momento en que pasa Rob. Así tenemos que sumar el tiempo de reacción\(3\) s, dando un tiempo total de\(9\) s.

    b. Podemos usar esta solución para averiguar si Rob llega a un lugar seguro. El velociraptor se pone al día después de\(9\) segundos. En\(9\) segundos, Rob ha recorrido una distancia de\((8 \text{m/s}) × (9 \text{s}) = 72 \text{m}\). El refugio solo está\(70\text{m}\) lejos, ¡así que Rob llega a un lugar seguro a tiempo!

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    La figura\(\PageIndex{2}\) muestra una gráfica de la aceleración,\(a(t)\), de una partícula que se mueve en una dimensión. Dibuja las gráficas de velocidad y posición correspondientes. Asumir eso\(v(0) = 0\) y\(x(0) = 0\), y ser lo más cuantitativo posible.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de aceleración en función del tiempo.
    Contestar
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    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráficas\(v(t)\) y\(x(t)\) correspondientes a la gráfica de aceleración versus tiempo dada en la pregunta.

    Empezamos dibujando la gráfica de\(v(t)\) a partir de la gráfica de\(a(t)\). Las soluciones pueden variar, pero algunas características clave deben estar presentes:

    • Entre\(t = 0\) s y\(t = 3\) s, la velocidad disminuye linealmente, ya que la aceleración es constante y negativa.
    • Entre\(t = 3\) s y\(t = 6\) s, la velocidad permanece constante, ya que la aceleración es cero.
    • Entre\(t = 6\) s y\(t = 9\) s, la velocidad aumenta linealmente, ya que la aceleración es positiva. Dado que la aceleración es dos veces más grande que en el primer intervalo, la velocidad aumenta al doble de la velocidad que disminuyó en el primer intervalo. El objeto cambia de dirección durante este intervalo, ya que la velocidad cambia de signo.
    • Entre\(t = 9\) s y\(t = 12\) s, la velocidad disminuye linealmente con la misma tasa que en el primer intervalo, y es cero al final de este intervalo.

    Podemos obtener la gráfica de\(x(t)\) a partir de la gráfica de\(v(t)\). La gráfica de\(x(t)\) debe tener estas características:

    • Entre\(t = 0\) s y\(t = 3\) s, la posición disminuye cuadráticamente, ya que la velocidad es negativa y la decreciente.
    • Entre\(t = 3\) s y\(t = 6\) s, la posición disminuye linealmente, ya que la velocidad es negativa y constante.
    • Entre\(t = 6\) s y\(t = 9\) s, la posición sigue disminuyendo, pero a menor velocidad la velocidad se aproxima a cero. Cuando la velocidad es cero, la posición deja de cambiar y comienza a aumentar cuadráticamente a medida que la velocidad se vuelve positiva y aumenta.
    • Entre\(t = 9\) s y\(t = 12\) s, la posición continúa aumentando, pero a menor velocidad a medida que la velocidad vuelve a disminuir a cero.

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