5.9: Problemas y soluciones de la muestra

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Katie haciendo snowboard por una pendiente.

Katie, una snowboarder amateur, descansa en la cima de la colina inclinada por un ángulo de\(\theta=50^{\circ}\) respecto a la horizontal, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Ella se desliza con gracia por la colina hasta que se enfrenta a las plantas en una gran pila de nieve en el fondo,\(40\text{m}\) desde donde empezó. Si el coeficiente de fricción cinética entre el snowboard de Katie y la colina es\(\mu_k=0.45\), ¿cuánto tiempo transcurre entre cuándo comienza a deslizarse y cuando se enfrenta a las plantas?

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Antes de intentar resolver el problema, debemos pensar en la estrategia que nos permita modelar el tiempo que lleva llegar al fondo. Sabemos que la Segunda Ley de Newton relaciona las fuerzas sobre Katie con su aceleración. Si construimos un modelo de las fuerzas sobre Katie, entonces podemos determinar su aceleración. Una vez que conocemos su aceleración, podemos usar la cinemática para determinar cuánto tiempo le toma cubrir la distancia de\(40\text{m}\).

Las fuerzas ejercidas sobre Katie son:

1. \(\vec F_g\), su peso.
2. \(\vec N\), una fuerza normal ejercida por la pendiente.
3. \(\vec f_k\), una fuerza de fricción cinética ejercida por la pendiente, con magnitud\(f_k=\mu_kN\)

Esto nos permite construir un diagrama de cuerpo libre para las fuerzas sobre Katie, como se muestra en la Figura 5.9.2. Ya que Katie se deslizará por la pendiente, su aceleración será paralela a la pendiente y hacia abajo, lo que mostramos con una flecha más gruesa en el diagrama de cuerpo libre. Nuestro diagrama de cuerpo libre también muestra el sistema de coordenadas que elegimos, con el\(x\) eje apuntando paralelo a la aceleración.

Figura\(\PageIndex{2}\): Fuerzas que actúan sobre Katie mientras practica snowboard.

Con un diagrama de cuerpo libre, podemos escribir los\(y\) componentes\(x\) y de la Segunda Ley de Newton. En la\(x\) dirección, tanto la fuerza de fricción como el peso tienen componentes. La fuerza de fricción está en la\(x\) dirección negativa, mientras que la componente de la gravedad en la\(x\) dirección es\(F_g\sin\theta\). El vector de aceleración también está en la\(x\) dirección. Poniendo esto por completo en la Segunda Ley de Newton:\[\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\end{aligned}\] donde utilizamos el hecho de que el peso viene dado por\(mg\) (\(m\)es la masa de Katie) y la magnitud de la fuerza de fricción viene dada por\(f_k=\mu_kN\).

A continuación, escribimos el\(y\) componente de la Segunda Ley de Newton. La fuerza normal está en la\(y\) dirección positiva, mientras que la componente de la gravedad en la\(y\) dirección lo es\(-F_g\cos\theta\). La aceleración no tiene componente en la\(y\) dirección. Poniendo esto en la Segunda Ley de Newton:\[\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0\end{aligned}\]

Ahora tenemos dos ecuaciones que describen el movimiento de Katie:\[\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0\end{aligned}\] Tenemos tres incógnitas,,\(m\)\(N\), y\(a\), ¡pero solo dos ecuaciones! ¡Ojalá que uno de estos se cancele! En este punto, ¡toda la física para el problema está hecha! Ahora podemos proceder a resolver estas ecuaciones para encontrar la aceleración. La segunda ecuación nos permite resolver para la fuerza normal,\(N=mg\cos\theta\), que sustituimos en la primera ecuación:\[\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\\end{aligned}\] Como puede ver, la masa se\(m\) puede cancelar fuera de esta ecuación, y podemos encontrar la aceleración:

\(\begin{aligned} a&=g\sin\theta-\mu_{k}g\cos\theta \\ &=g(\sin\theta -\mu_{k}\cos\theta ) \\ &=(9.8\text{N/kg})(\sin (50^{\circ})-(0.45)\cos (50^{\circ})) \\ &=4.67\text{N/kg} \end{aligned}\)

En este punto, deberíamos preguntarnos si nuestro resultado tiene sentido. En particular, hemos encontrado que la aceleración tiene unidad de\(\text{N/kg}\) en lugar de\(\text{m/s}^{2}\). Un rápido examen de la Segunda Ley de Newton nos muestra que estas dos unidades son equivalentes:\[\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{\text{N}}{\text{kg}}\end{aligned}\] A menudo, se escribe la magnitud del campo de gravitación de la Tierra como\(g=9.8\text{m/s}^{2}\), ya que tiene la misma dimensión que la aceleración, y de hecho corresponde a la aceleración que se siente al caer objetos cercanos a la superficie de la Tierra. De hecho,\(g\), suele definirse como la aceleración del objeto cerca de la Tierra, aunque esto es engañoso, ya que requiere que la masa inercial y gravitacional sean las mismas.

Sabiendo que la velocidad inicial de Katie es\(v_{0x}=0\text{m/s}\), su aceleración está\(a_x=a=4.67\text{m/s}^{2}\) en la\(x\) dirección (la misma dirección que la pendiente), y la distancia que debe recorrer es\(x=40\text{m}\), podemos encontrar el tiempo que le lleva plantarse de cara a cara. Si establecemos el origen del\(x\) eje donde empieza (para que su posición inicial a lo largo del\(x\) eje,\(x_0=0\)), la distancia que recorrió en el tiempo,\(t\), viene dada por:\[\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\text{m}&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(1.31\text{m/s}^{2})t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\text{m})}{(4.67\text{m/s}^{2})}}=4.14\text{s}\end{aligned}\] Katie tiene\(4.14\text{s}\) de deslizándose dicha antes de plantar cara a la gran pila de nieve.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Figura\(\PageIndex{3}\): Dos cajas apiladas.

Dos cajas con masas,\(m_1\) and \(m_2\), respectively, are placed on top of one another, as shown in Figure \(\PageIndex{3}\). The coefficient of static friction between the two boxes and between the boxes and the ground is \(\mu_s=0.3\). A constant force, \(\vec F\), is exerted on box 2, as shown. Show that it is impossible for box 1 to accelerate.

Contestar

La única forma para que la caja 1 acelere es si la caja 2 “arrastra” la caja 1 junto con ella a través de una fuerza de fricción ejercida en la interfaz entre la caja 1 y la caja 2. Necesitamos demostrar que la fuerza de fricción (estática) ejercida por el suelo sobre la caja 1 siempre será al menos tan grande como la fuerza de fricción ejercida por la caja 2 sobre la caja 1. La mayor fuerza de fricción que la caja 2 puede ejercer sobre la caja 1 es una fuerza de fricción estática, por lo que modelamos todas las fuerzas entre las superficies como fuerzas de fricción estática.

Las fuerzas en el recuadro 2 son:

• \(\vec F_{2g}\), su peso.
• \(\vec N_2\), una normal ejercida por el recuadro 1.
• \(\vec f_{2s}\), una fuerza de fricción estática ejercida por el recuadro 1.
• \(\vec F\), la fuerza aplicada.

Las fuerzas en el recuadro 1 son:

• \(\vec F_{1g}\), su peso.
• \(-\vec N_2\), una fuerza normal ejercida por el recuadro 2 (hacia abajo).
• \(-\vec f_{2s}\), una fuerza de fricción estática ejercida por el recuadro 2.
• \(\vec N_1\), una fuerza normal ejercida por el suelo.
• \(\vec f_{1s}\), una fuerza de fricción estática ejercida por el suelo.

Los se ilustran en el diagrama de cuerpo libre en la Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Fuerzas en las dos cajas.

Considerando el\(y\) componente de la Segunda Ley de Newton para la casilla 2 (la caja superior), podemos encontrar el valor de la fuerza normal ejercida por la casilla 1:\[\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g\end{aligned}\] La magnitud máxima de la fuerza de fricción estática,\(f_{2s}\), entre las dos cajas viene dada por:\[\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g\end{aligned}\] Esta es la magnitud máxima de la fuerza que puede acelerar caja 1. Considerando el\(y\) componente de la Segunda Ley de Newton aplicada al recuadro 1, podemos encontrar\(N_1\), la fuerza normal ejercida por el suelo:\[\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g\end{aligned}\] La fuerza de fricción estática ejercida por el suelo sobre la caja 1 será en la dirección opuesta a la fuerza de fricción estática ejercida por la casilla 2. La magnitud máxima de la fuerza de fricción estática ejercida por el suelo viene dada por:\[\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g\end{aligned}\] Podemos ver que la fuerza máxima de fricción estática ejercida por el suelo siempre superará la magnitud de la fuerza de fricción estática ejercida por el recuadro 2. Por lo tanto, es imposible empujar sobre la caja 2 para hacer que la caja 1 se mueva (siempre y cuando la fuerza de fricción estática entre las dos cajas y la caja y el suelo sea la misma).