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7.3: Poder

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Terminamos el capítulo introduciendo el concepto de “poder”, que es la velocidad a la que se realiza el trabajo sobre un objeto, o más generalmente, la velocidad a la que la energía se está convirtiendo de una forma a otra. Si una cantidad de trabajo,\(\Delta W\), se realizó en un periodo de tiempo\(\Delta t\), entonces el trabajo se realizó a un ritmo de:

    \[P=\frac{\Delta W}{\Delta t}\]

    donde\(P\) se llama el poder. La unidad SI para potencia es el “Watt”, abreviado\(\text{W}\), que corresponde\(\text{J/s}=\text{kg m}^{2}/\text{s}^{3}\) en unidades SI base. Si la velocidad a la que se realiza el trabajo cambia con el tiempo, entonces la potencia instantánea se define como:

    \[P=\frac{dW}{dt}\]

    Probablemente ya te hayas encontrado con el poder en tu vida cotidiana. Por ejemplo, tu secador de\(1000\text{W}\) pelo consume “energía eléctrica” a una velocidad de\(1000\text{J}\) por segundo y la convierte en la energía cinética del ventilador así como la energía térmica para calentar el aire. Caballos de fuerza (\(\text{hp}\)) es una unidad imperial de potencia que a menudo se usa para vehículos, siendo la conversión\(1\text{hp} = 746\text{W}\). Un\(100\text{hp}\) automóvil tiene así un motor que consume la energía química liberada al quemar gasolina a una velocidad de\(7.46\times 10^{4}\text{J}\) por segundo y la convierte en trabajos realizados en el automóvil así como en calor.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Dos grúas levantan dos cajas idénticas del suelo. Una grúa es dos veces más poderosa que la otra. Ambas grúas hacen la misma cantidad de trabajo en las cajas y operan a plena potencia. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta de las cajas, una vez que las grúas han trabajado en ellas?

    1. Una caja ha sido levantada dos veces más alta que la otra.
    2. Las cajas se levantan a la misma altura en la misma cantidad de tiempo.
    3. Las cajas se levantan a la misma altura, pero lleva una de las cajas el doble de tiempo para llegar allí.
    4. Una caja se levanta dos veces más alta que la otra, pero lleva la misma cantidad de tiempo llegar allí.
    Contestar

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si un motor de automóvil puede hacer trabajo en el automóvil con una potencia de\(P\), ¿cuál será la velocidad del automóvil en algún momento\(t\) si el automóvil estaba en reposo a la hora\(t=0\)?

    Solución:

    Primero, necesitamos calcular cuánto trabajo total se realizó en el automóvil:

    \ comenzar {alinear*} W = P t\ final {alinear*}

    Luego, usando el Teorema de Trabajo-Energía, podemos encontrar la velocidad del automóvil en algún momento\(t\):

    \ begin {align*} W &=\ frac {1} {2} mv_f^2 -\ frac {1} {2} mv_i^2\\ Pt &=\ frac {1} {2} mv_f^2\\ por lo tanto v_f &=\ sqrt {\ frac {2Pt} {m}\ end {align*}

    Discusión:

    El modelo para la velocidad final del auto tiene sentido porque:

    • La dimensión de la expresión para\(v_f\) es la velocidad (¡deberías comprobarlo!).
    • La velocidad es mayor si ya sea el tiempo o la potencia son mayores (por lo que la velocidad es mayor si se hace más trabajo en el automóvil).
    • La velocidad es menor si la masa del automóvil es mayor (la aceleración del automóvil será menor si la masa del automóvil es mayor).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Estás empujando una caja a lo largo de una superficie horizontal a velocidad constante,\(v\). Encuentras que necesitas ejercer una fuerza de\(\vec F\) sobre la caja para superar la fricción entre la caja y el suelo. ¿Cuánta energía estás gastando empujando la caja?

    Solución:

    Tenemos que calcular la velocidad a la que funciona la fuerza\(\vec F\),, que ejerces sobre la caja. Si la caja se mueve a velocidad constante,\(v\), entonces en un tiempo\(\Delta t\), cubrirá una distancia,\(d=v\Delta t\). Dado que ejerces una fuerza en la misma dirección que el movimiento de la caja, el trabajo realizado a lo largo de esa distancia\(d\) es:

    \ comenzar {alinear*}\ Delta W =\ vec F\ cdot\ vec d = Fd\ cos (0) = Fv\ Delta t\ final {alinear*}

    El poder correspondiente al trabajo realizado en ese periodo de tiempo es así:

    \ begin {alinear*} P =\ frac {\ Delta W} {\ Delta t} = Fv\ final {alinear*}

    Este es un resultado bastante general para la velocidad a la que una fuerza sí funciona cuando se ejerce sobre un objeto que se mueve a velocidad constante.

    Pensamientos de Olivia

    Ejemplo 7.3.2 se relaciona con lo que mencioné antes. Si piensas para ti mismo: “La velocidad es constante, entonces el trabajo debe ser cero”, la fórmula,

    \ begin {alinear*} P =\ frac {\ Delta W} {\ Delta t} = Fv\ final {alinear*}

    no tendría ningún sentido. Dado que\(v\) es una velocidad constante, la potencia siempre sería igual a cero, lo que por supuesto no es correcto. Nuevamente, recuerda que cuando la velocidad es constante, es solo el trabajo neto lo que es igual a cero. En el Ejemplo 7.3.2, es pedir el poder que estás gastando empujando la caja (que es lo mismo que pedir la tasa del trabajo realizado por ti en la caja). Entonces, la fórmula sí tiene sentido.


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