8.5: La formulación lagrangiana de la física clásica

Hasta el momento, hemos visto que, a partir de las Leyes de Newton, se puede formular una descripción del movimiento que se basa únicamente en el concepto de energía. En el siglo XVIII se hicieron muchas investigaciones para reformular una teoría de la mecánica que sería equivalente a la Teoría de Newton pero cuyo punto de partida es el concepto de energía en lugar del concepto de fuerza. Este enfoque “moderno” de la mecánica clásica se basa principalmente en la investigación de Lagrange y Hamilton.

Si bien está más allá del alcance de este texto entrar en los detalles de esta formulación, vale la pena echar un vistazo rápido para tener una mejor idea de cómo los físicos buscan generalizar las teorías. También vale la pena señalar que la formulación lagrangiana es el método mediante el cual se desarrollan teorías para la mecánica cuántica y la física moderna.

La descripción lagrangiana de un “sistema” se basa en una cantidad,\(L\), llamada “lagrangiana”, que se define como:

\[L=K-U\]

donde\(K\) está la energía cinética del sistema, y\(U\) es su energía potencial. Un “sistema” puede ser una colección bastante compleja de objetos, aunque ilustraremos cómo se implementa la formulación lagrangiana para un solo objeto de masa que se\(m\) mueve en una dimensión bajo la influencia de la gravedad. \(x\)Sea la dirección del movimiento (que es vertical) tal que las energías potenciales y cinéticas del objeto estén dadas por:

\[\begin{aligned} U(x) &= mgx\\ K(v_x) &= \frac{1}{2}mv_x^2\\ \therefore L(x,v_x) &= \frac{1}{2}mv_x^2 - mgx\end{aligned}\]

donde elegimos la energía potencial para ser cero\(x=0\), y\(v_x\) es la velocidad del objeto.

En la formulación moderna de la mecánica clásica, el movimiento del sistema será tal que se minimicen las siguientes integrales:

\[\begin{aligned} S = \int Ldt\end{aligned}\]

donde\(L\) puede depender del tiempo explícita o implícitamente (por el hecho de que la posición y la velocidad, de la que depende el lagrangiano, son en sí mismas dependientes del tiempo). El requisito de que se minimice la integral anterior se denomina el “Principio de Acción Menor” ¹, y se piensa que es el principio fundamental que describe todas las leyes de la física. La condición para minimizar la acción viene dada por la ecuación de Euler-Lagrange:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x}=0\]

Así, en la formulación lagrangiana, primero se anota la lagrangiana para el sistema, y luego se usa la ecuación de Euler-Lagrange para obtener las “ecuaciones de movimiento” para el sistema (es decir, la ecuación que da las cantidades cinemáticas, como la aceleración, para el sistema).

Dado el Lagrangiano que encontramos anteriormente para una partícula que se mueve en una dimensión bajo la influencia de la gravedad, podemos determinar cada término en la ecuación de Euler-Lagrange:

\[\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial v_{x}} &= \frac{\partial}{\partial v_{x}}\left(\frac{1}{2}mv_x^2 - mgx \right)=mv_x\\ \therefore\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right) &= \frac{d}{dt} (mv_x) = ma_x\\ \frac{\partial L}{\partial x}&= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}mv_x^2 - mgx\right) = -mg\\\end{aligned}\]

Poniéndolos en la ecuación de Euler-Lagrange:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} &= 0\\ (ma_x) - (-mg) &=0\\ ma_x&=-mg\\ \therefore a_x &= -g\end{aligned}\]

que es exactamente equivalente a usar la Segunda Ley de Newton (el segundo último paso es equivalente a\(F=ma\)). En la formulación lagrangiana, no necesitamos el concepto de fuerza. En cambio, describimos posibles “interacciones” por una función energética potencial. Es por ello que a veces se oye hablar de físicos hablando de la “interacción débil” en lugar de la “fuerza débil” cuando se habla de una de las cuatro interacciones fundamentales (fuerzas) de la Naturaleza. Esto se debe a que, en la formulación moderna de la física, no se utiliza el concepto de fuerza, sino que piensa en funciones energéticas potenciales para modelar lo que llamaríamos una fuerza en el enfoque newtoniano.

Emmy Noether, matemático a principios del siglo XX, demostró un teorema que hace que la formulación lagrangiana sea particularmente estética. El teorema de Noether afirma que para cualquier simetría en el lagrangiano, existe una cantidad que se conserva. Por ejemplo, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, entonces se conserva una cantidad, a la que llamamos energía ².

El lagrangiano que teníamos arriba para una partícula que se mueve bajo la influencia de la gravedad no dependía explícitamente del tiempo, y así se conserva la energía (la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética y no hay fuerzas no conservadoras). Si el lagrangiano no dependiera de la posición, entonces se conservaría una cantidad que llamamos “momentum” ³. En este caso, el impulso en la\(x\) dirección no se conservó porque el lagrangiano dependía\(x\) a través de la energía potencial.

Pensamientos de Olivia

Vimos en este capítulo que describir los sistemas en términos de energía suele ser más fácil que describirlos en términos de fuerzas. El lagrangiano nos da una manera de obtener la misma información que obtendríamos de las leyes de Newton (como la aceleración, etc.), pero usando la energía como punto de partida. El método lagrangiano es realmente útil cuando estamos viendo el movimiento en múltiples dimensiones, o cuando estamos describiendo sistemas complicados. Usar el lagrangiano es realmente muy simple, y al igual que con las fuerzas, prácticamente puedes abordar cada problema de la misma manera. Estos son los pasos básicos a seguir:

1. Encuentra dos expresiones para tu sistema: una para la energía potencial (\(U\)) y otra para la energía cinética (\(K\)). Esto a menudo termina siendo el paso más difícil.

2. Escribe el lagrangiano,\(L=K-U\), usando las expresiones que acabas de encontrar.

3. Elige una coordenada. (En una dimensión, esto es trivial, pero será importante una vez que empieces a trabajar en múltiples dimensiones). La ecuación de Euler-Lagrange se le dio como:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

porque estamos trabajando en una dimensión. De hecho, puedes elegir la coordenada que te interese. Por ejemplo, si estuvieras interesado en el movimiento de tu objeto en la\(y\) dirección, elegirías\(y\) como tu coordenada y escribirías:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial y} = 0\end{aligned}\]

4. Ahora solo tienes que hacer lo que la ecuación anterior te dice que hagas, que es comenzar con tu lagrangiano (tu\(L=K-U\) ecuación) y tomar un montón de derivadas. Si intentas simplemente conectarte\(L\) a la ecuación de Euler-Lagrange y hacer todas las derivadas a la vez, puede resultar confuso. Recomiendo encontrar los componentes por separado. Me gusta comenzar tomando la derivada parcial con respecto a la velocidad\(\frac{\partial L}{\partial y}\), para luego tomar su derivada con respecto al tiempo. A continuación, encuentro\(\frac{\partial L}{\partial y}\) y luego lo pongo todo junto.

5. ¡Eso es! Cuando hayas tomado las derivadas (y simplificado un poco), tendrás una “ecuación de movimiento” que te da información sobre el movimiento del objeto. ¡Entonces puedes usar esta ecuación como quieras!

Notas al pie

1. El integral,\(S\), se llama la “acción” del sistema.

2. Si el lagrangiano no depende del tiempo, entonces podemos desplazar el sistema en el tiempo y las ecuaciones de movimiento no se verían afectadas. Decimos que el lagrangiano es simétrico, o no afectado, por los cambios en el tiempo.

3. Ver capítulo 10