Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

8.6: Resumen

  • Page ID
    129600
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Claves para llevar

    Una fuerza es conservadora si el trabajo realizado por esa fuerza en una trayectoria cerrada es cero:

    \[\begin{aligned} \oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = 0\end{aligned}\]

    Equivalentemente, la fuerza es conservadora si el trabajo realizado por la fuerza sobre un objeto que se mueve de una posición\(A\) a otra\(B\) no depende de la trayectoria particular entre los dos puntos. Las condiciones para que una fuerza sea conservadora están dadas por:

    \[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= 0 \nonumber\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= 0\nonumber\\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= 0\end{aligned}\]

    En particular, una fuerza que sea constante en magnitud y dirección será conservadora. Una fuerza que depende de cantidades distintas de la posición (por ejemplo, velocidad, tiempo) no será conservadora. La fuerza ejercida por la gravedad y la fuerza ejercida por un resorte son conservadoras.

    Para cualquier fuerza conservadora,\(\vec F(\vec r)\), podemos definir una función de energía potencial,\(U(\vec r)\), que puede ser utilizada para calcular el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de cualquier camino entre posición\(A\) y posición\(B\):\[\begin{aligned} -W = - \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = U(\vec r_B) - U(\vec r_A) = \Delta U\end{aligned}\] donde el cambio de potencial función energética al pasar de\(A\) a\(B\) es igual a lo negativo del trabajo realizado al ir de punto\(A\) a punto\(B\). Podemos determinar la función\(U(\vec r)\) calculando la integral de trabajo sobre un camino “fácil” (por ejemplo, una línea recta que es colineal con la dirección de la fuerza).

    Es importante señalar que se puede agregar una constante arbitraria a la función de energía potencial, porque solo las diferencias en la energía potencial son significativas. En otras palabras, somos libres de elegir la ubicación en el espacio donde la función de energía potencial se define como cero.

    Podemos romper el trabajo neto realizado sobre un objeto como la suma del trabajo realizado por las fuerzas conservadoras (\(W^C\)) y no conservadoras (\(W^{NC}\)):\[\begin{aligned} W^{net}&=W^{NC}+W^{C}=W^{NC}-\Delta U\end{aligned}\] dónde\(\Delta U\) está la diferencia en la energía potencial total del objeto (la suma de las energías potenciales para cada fuerza conservadora que actúa sobre el objeto).

    El Teorema Trabajo-Energía establece que el trabajo neto realizado sobre un objeto al pasar de una posición\(A\) a otra\(B\) es igual al cambio de energía cinética del objeto:\[\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=\Delta K\end{aligned}\] Podemos escribir así que el trabajo total realizado por fuerzas no conservadoras es igual al cambio en energías potenciales y cinéticas:\[\begin{aligned} W^{NC}=\Delta K+\Delta U\end{aligned}\] En particular, si ninguna fuerza no conservadora trabaja sobre un objeto, entonces el cambio en la energía potencial total es igual al negativo del cambio en la energía cinética del objeto:\[\begin{aligned} -\Delta U=\Delta K\end{aligned}\] Podemos introducir la energía mecánica,\(E\), de un objeto as:\[\begin{aligned} E = U+K\end{aligned}\] El trabajo neto realizado por fuerzas no conservadoras es entonces igual al cambio en la energía mecánica del objeto:\[\begin{aligned} W^{NC}=\Delta E\end{aligned}\] En particular, si no se realiza ningún trabajo neto sobre el objeto por fuerzas no conservadoras, entonces la energía mecánica del objeto no cambia (\(\Delta E=0\)). En este caso, decimos que se conserva la energía mecánica del objeto.

    La descripción lagrangiana de la mecánica clásica se basa en la lagrangiana,\(L\)\[\begin{aligned} L = K - U\end{aligned}\] que es la diferencia entre la energía cinética\(K\), y la energía potencial\(U\),, del objeto. Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por el Principio de Acción Mínima, que conduce a la ecuación de Euler-Lagrange (escrita aquí para el caso de una partícula que se mueve en una dimensión):\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

    Ecuaciones Importantes

    Condiciones para que una fuerza sea conservadora:

    \[\begin{aligned} \oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = 0\end{aligned}\]\[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= 0 \nonumber\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= 0\nonumber\\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= 0\end{aligned}\]

    Energía potencial para una fuerza conservadora:

    \[\begin{aligned} \Delta U&=-W\\ U(\vec r_B) - U(\vec r_A)&= - \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\end{aligned}\]

    Teorema de trabajo-energía:

    \[\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=\Delta K\end{aligned}\]

    Trabajo:

    \[\begin{aligned} W^{net}&=W^{NC}+W^{C}=W^{NC}-\Delta U\\ W^{NC}&=\Delta K+\Delta U\end{aligned}\]

    Energía:

    \[\begin{aligned} E&=U+K\\ W^{NC}&=\Delta E\end{aligned}\]

    Lagrange:

    \[\begin{aligned} L = K - U\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

    Definiciones importantes

    Definición

    Fuerza conservadora: Una fuerza que no trabaja en red cuando se ejerce sobre un camino cerrado.

    Definición

    Energía potencial: Una forma de energía que tiene un objeto en virtud de su posición en el espacio. La energía potencial se asocia con una fuerza conservadora, que se ejerce en la dirección que disminuye la energía potencial del objeto. Unidades SI:\([\text{J}]\). Variable (s) común (es):\(U\).


    This page titled 8.6: Resumen is shared under a CC BY-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Howard Martin revised by Alan Ng.