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8.8: Problemas y soluciones de la muestra

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Una bola de masa\(m\) is dropped onto a vertical spring with spring constant \(k\). The spring will compress until the ball comes to rest. How much will it compress if the ball is dropped from a height \(h\) above the spring?

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Una bola se deja caer del reposo sobre un muelle vertical.
    Contestar

    Las dos fuerzas que actúan sobre la bola son la gravedad y la fuerza del resorte. Ambos son conservadores, por lo que podemos utilizar la conservación de la energía mecánica. Encontraremos la energía de la bola cuando esté a una altura\(h\) por encima del resorte, y la energía de la bola cuando el resorte esté completamente comprimido. Luego, utilizaremos la conservación de la energía mecánica para determinar la compresión del resorte.

    Recuerde que la energía mecánica total es la suma de la energía potencial total y la energía cinética,\(E=U+K\). Llamemos a la posición inicial del balón\(A\) y a la posición final del balón\(B\). Notarás que configuramos nuestro sistema de coordenadas para que\(y\) sea positivo hacia arriba, con\(y=0\) en el punto donde la pelota entra en contacto con el resorte. Elegimos definir tanto la energía potencial gravitacional como la energía potencial de resorte para que sean cero en\(y=0\).

    Dado que la pelota parte del reposo, su energía cinética es cero en la posición\(A\). En este punto, la pelota no está tocando el resorte, por lo que la energía potencial de la fuerza del resorte es cero. La energía mecánica de la bola en posición\(A\) es simplemente igual a su energía potencial gravitacional:\[\begin{aligned} E_A&=U_A+K_A\\ E_A&=mgh\end{aligned}\] En la posición\(B\), la bola vuelve a estar en reposo, por lo que la energía cinética de la bola es cero. Ahora que la bola está en contacto con el resorte, experimentará una fuerza del resorte que se puede modelar con una energía potencial\(U(y)=\frac{1}{2}ky_1^2\), donde\(y_1\) está la distancia entre la posición de reposo del resorte y su longitud comprimida. En el punto\(B\) (\(y=-y_1\)), la bola tendrá energía potencial tanto elástica como gravitacional, por lo que su energía mecánica en posición\(B\) viene dada por:\[\begin{aligned} E_B&=U_B+K_B=U_B\\ U_B&=mg(-y_1)+\frac{1}{2}ky_1^2\\ E_B&=-mgy_1+\frac{1}{2}ky_1^2\end{aligned}\] Dado que la energía mecánica se conserva en este sistema (no hay fuerzas no conservadoras que estén trabajando ), ahora podemos establecer\(E_A=E_B\) y resolver para\(y_1\):\[\begin{aligned} E_A&=E_B\\ mgh&=-mgy_1+\frac{1}{2}ky_1^2\\ 0&=\frac{1}{2}ky_1^2-mgy_1-mgh\\\end{aligned}\] donde en la última línea reescribimos la expresión como una ecuación cuadrática. Podemos resolver\(y_1\) con la fórmula cuadrática: Ahora\[\begin{aligned} y_1=\frac{mg\pm\sqrt{(mg)^2-4(1/2k)(-mgh)}}{k}\\ y_1=\frac{mg\pm\sqrt{mg(mg+2kh)}}{k}\end{aligned}\] tenemos una expresión para la cantidad que se comprime el resorte,\(y_1\), en términos de nuestros valores conocidos.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Un péndulo simple consiste en una masa\(m\) connected to a string of length \(L\). The pendulum is released from an angle \(\theta_0\) from the vertical. Use conservation of energy to find an expression for the velocity of the mass as a function of the angle.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Un péndulo se libera del reposo un ángulo\(\theta_{0}\) desde la vertical.
    Contestar

    Vamos a encontrar una expresión general para la energía del sistema, y luego usar esta expresión para encontrar la velocidad en cualquier punto. Hay dos fuerzas que actúan sobre la masa:

    La fuerza de tensión (de la cuerda). Esta fuerza es perpendicular a la dirección del movimiento en cualquier punto, por lo que no trabaja sobre la masa.

    La fuerza de gravedad, que tiene una función energética potencial dada por\(U(y)=mgy\). Elegimos que la energía potencial gravitacional sea cero cuando el péndulo cuelga verticalmente (cuando\(\theta=0\) y\(y=0\)).

    La energía mecánica de la masa se conserva, y en cualquier momento viene dada por la suma de su cinética y sus energías potenciales gravitacionales:\[\begin{aligned} E=mgy+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] Queremos encontrar la velocidad en función de\(\theta\), por lo que necesitamos escribir\(y\) en términos de\(\theta\). Como recordarás del Problema 7.6.2, vimos que a partir de la geometría del problema, podemos expresar la altura de la masa como\(y=L-L\cos\theta\)\(L(1-\cos\theta)\), o, dónde\(y\) está la altura medida desde el punto inferior del movimiento. Puede consultar la Figura 7.6.4 para refrescar su memoria. La energía en cualquier punto es entonces: La\[\begin{aligned} E=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] conservación de la energía nos dice que la energía total en cualquier momento debe ser la misma que la energía inicial. Entonces, podemos usar nuestras condiciones iniciales para encontrar la energía total del sistema. La masa parte del reposo (la energía cinética inicial es cero) un ángulo\(\theta_0\) por encima de la vertical:\[\begin{aligned} E&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\\ E_{initial}&=mgL(1-\cos\theta_0)\end{aligned}\] Ahora que hemos encontrado la energía total del sistema, podemos escribir nuestra expresión general para la energía del sistema en cualquier punto:\[\begin{aligned} E&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\\ mgL(1-\cos\theta_0)&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] Todo lo que queda por hacer es simplificar el expresión y reorganizar para\(v\):\[\begin{aligned} mgL(1-\cos\theta_0)&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\\ gL(1-\cos\theta_0)-gL(1-\cos\theta)&=\frac{1}{2}v^2\\ gL-gL\cos\theta_0-gL+gL\cos\theta&=\frac{1}{2}v^2\\ gL(\cos\theta-\cos\theta_0)&=\frac{1}{2}v^2\\ \therefore v&=\sqrt{2gl(\cos\theta-\cos\theta_0)}\end{aligned}\]

    Discusión:

    Podemos ver a partir de esta expresión que la velocidad se maximizará cuando\(\cos\theta\) se maximice, lo que ocurrirá cuando\(\theta=0\) (cuando el péndulo esté vertical). Esto es como esperábamos. También podemos ver que obtendremos un número imaginario si la magnitud de\(\theta\) es mayor que\(\theta_0\), mostrando que el movimiento está restringido entre\(-\theta_0\) y\(\theta_0\). Finalmente, ¡demostramos que la velocidad del péndulo no depende de la masa!

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Un bloque de masa\(m\) sits on a frictionless horizontal surface. It is attached to a wall by a spring with a spring constant \(k\). The mass is pushed so as to compress the spring and then it is released (Figure \(\PageIndex{3}\)). Use the Lagrangian formalism to find an equation of motion for the mass/spring system (i.e. use the Lagrangian to determine the acceleration of the mass).

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Una masa unida a un resorte oscila alrededor de la posición de reposo del resorte.
    Contestar

    Vamos a encontrar una ecuación de movimiento del sistema utilizando el método lagrangiano. Elegimos usar un sistema de coordenadas de una dimensión, con el\(x\) eje definido para ser colineal con el resorte, positivo en la dirección donde se extiende el resorte, y establecer el origen para que se ubique en la posición de reposo del resorte. La energía cinética y la energía potencial de la masa vienen dadas por\[\begin{aligned} K&=\frac{1}{2}mv_x^2\\ U&=\frac{1}{2}kx^2\end{aligned}\] ya que la única fuerza ejercida sobre la masa que puede hacer trabajo es la fuerza del resorte. Hemos elegido la energía potencial para ser cero en\(x=0\). El lagrangiano para este sistema es:\[\begin{aligned} L&=K-U\\ L&=\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}kx^2\end{aligned}\]

    La ecuación de Euler-Lagrange en una dimensión es:

    \[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

    Podemos calcular los términos de la ecuación de Euler-Lagrange:

    \[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial v_{x}}&=\frac{\partial}{\partial v_{x}}\left(\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}kx^2\right)\\ &=mv_x\\ \therefore \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)&=\frac{d}{dt}(mv_x)\\ &=ma_x\\ \textrm{and}\qquad \frac{\partial L}{\partial x}&=\left(\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}kx^2\right)\\ &=-kx\end{aligned}\]

    y luego ponerlos juntos para conseguir:

    \[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} &= 0\\ \therefore ma_x&=-kx\\\end{aligned}\]

    Podemos ver que esta ecuación de movimiento es equivalente a la Segunda Ley de Newton.


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