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9.1: Leyes de Kepler

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    Si bien los humanos llevan mucho tiempo fascinados por el movimiento de los objetos en el cielo, fue Johannes Kepler, a principios del siglo XVII, quien fue el primero en anotar reglas cuantitativas que describían el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Su teoría se basó en las extensas y detalladas observaciones registradas por Tycho Brahe a finales del siglo XVI.

    Kepler propuso tres leyes que describen todos los datos que Tycho Brahe había recopilado sobre el movimiento planetario:

    1. El camino de un planeta alrededor del Sol es descrito por una elipse con el Sol a la vez de sus focos.
    2. Todos los planetas se mueven de tal manera que el área barrida por una línea que conecta el planeta y el Sol en un periodo de tiempo dado es constante.
    3. La relación entre los períodos orbitales,\(T\), de dos planetas al cuadrado es igual a la relación de los ejes semi-mayores,\(s\), de sus órbitas cubicadas:\[\begin{aligned} \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{s_1}{s_2}\right)^3\end{aligned}\]

    Examinamos estas tres leyes con más detalle en las secciones que siguen. También hay que señalar que, aunque las Leyes de Kepler se derivaron para planetas que orbitan el Sol, se aplican a cualquier cuerpo que esté orbitando cualquier otro cuerpo bajo la influencia de la gravedad 1.

    Primera Ley de Kepler

    Kepler notó que el movimiento de todos los planetas seguía el camino de una elipse con el Sol localizado en uno de sus focos. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra un diagrama de una elipse, junto con sus dos focos, su semieje mayor\(s\), su semieje menor\(b\), y su excentricidad,\(e\). La excentricidad es una medida de lo lejos que está un foco del centro de la elipse. Una excentricidad mayor corresponde así a una elipse “más plana”. Tenga en cuenta que un círculo es solo un caso especial de una elipse, con ambos focos ubicados en el centro del círculo.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Una elipse, mostrando sus dos focos, su semieje mayor\(s\), su semieje menor,\(b\), y su excentricidad,\(e\).

    El sol se encuentra en uno de los focos. El punto de acercamiento más cercano al Sol se llama el “perihelio” de la órbita (o “perigeo” si la órbita no está alrededor del Sol), y el punto más alejado del Sol se llama el “afelio” de la órbita (o “apogeo” si la órbita no está alrededor del Sol), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

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    Figura\(\PageIndex{2}\): La órbita de la Tierra alrededor del Sol, mostrando el perihelio y el afelio, y la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, mostrando el perigeo y el apogeo. (No a escala.)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Ordene las elipses desde la excentricidad más pequeña hasta la excentricidad más grande.

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Tres elipses, cada una con una excentricidad diferente.
    Contestar

    \(A<C<B\)

    Segunda Ley de Kepler

    La Segunda Ley de Kepler es realmente una declaración sobre la velocidad de un planeta en una órbita elíptica. Afirma que el área barrida por una línea que conecta el planeta y el Sol en un periodo de tiempo determinado es fija. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{4}\), que muestra la órbita elíptica de un planeta alrededor del Sol ubicado en uno de los focos, y el área barrida cuando el planeta va desde\(B\) y\(A\)\(C\) hacia\(D\).

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Ilustración de la Segunda Ley de Kepler, mostrando el área que es “barrida” por un planeta en un periodo de tiempo fijo.

    La Segunda Ley de Kepler establece que las dos áreas que se muestran por las secciones atenuadas en la figura son las mismas si el planeta tardó la misma cantidad de tiempo en viajar entre puntos\(A\) y\(B\) como lo hizo viajar entre puntos\(C\) y \(D\). Debido a que los puntos\(C\) y\(D\) están más alejados del Sol que los puntos\(A\) y\(B\), la distancia entre puntos\(C\) y\(D\) debe ser menor que la distancia entre puntos \(A\)y\(B\) para que las dos áreas sean iguales. Esto, a su vez, implica que el planeta debe estar moviéndose más lento entre\(C\) y\(D\) que entre puntos\(A\) y\(B\). La velocidad de un planeta es así mayor en el perihelio y más pequeña en el afelio. Como veremos en un capítulo posterior, la Segunda Ley de Kepler es equivalente a la afirmación de que se conserva el momento angular del planeta alrededor del Sol.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Con base en la segunda ley de Kepler, ¿qué se puede decir de la velocidad de un planeta en órbita circular?

    Contestar

    La velocidad del planeta es constante.

    Tercera Ley de Kepler

    La Tercera Ley de Kepler es cuantitativa y relaciona los períodos orbitales (\(T\)) y los ejes semimayores (\(s\)) entre dos planetas cualesquiera en órbita alrededor del Sol:

    \[\begin{aligned} \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{s_1}{s_2}\right)^3\end{aligned}\]

    Podemos reorganizar esta relación para que todas las cantidades relacionadas con un planeta estén del mismo lado del signo igual:

    \[\begin{aligned} \frac{T_1^2}{s_1^3}=\frac{T_2^2}{s_2^3}=\text{constant}\end{aligned}\]

    Es decir, la relación entre el periodo orbital al cuadrado y el semieje mayor al cubo es una constante, independiente del planeta en particular. En el Ejemplo 9.2.2, utilizaremos la Teoría Universal de la Gravedad de Newton para evaluar la constante.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Un objeto está en órbita circular con radio\(r\) and has an orbital speed \(v\). If you double the radius of the circular orbit, what will be the value of the orbital speed?

    1. \(2v\)
    2. \(8v\)
    3. \(\sqrt{8}v\)
    4. \(\frac{1}{\sqrt{2}}v\)
    Contestar

    1. De hecho, se aplican para dos cuerpos cualesquiera que orbiten uno al otro si la fuerza entre ellos es una ley “inversa-cuadrada”, como las fuerzas gravitacionales y eléctricas.


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