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10.3: El centro de masa

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En esta sección, mostramos cómo generalizar la Segunda Ley de Newton para que pueda describir el movimiento de un objeto que no sea una partícula puntual. Cualquier objeto puede describirse como compuesto de partículas puntuales; por ejemplo, esas partículas podrían ser los átomos que componen la materia regular. Por lo tanto, podemos usar la misma terminología que en las secciones anteriores para describir un objeto complicado como un “sistema” compuesto por muchas partículas puntuales, ellas mismas descritas por la Segunda Ley de Newton. Un sistema podría ser un objeto rígido donde las partículas puntuales no pueden moverse unas con respecto a otras, como los átomos en un sólido 1. O bien, el sistema podría ser un gas, hecho de muchos átomos que se mueven alrededor, o podría ser una combinación de muchos objetos sólidos que se mueven alrededor.

    En la sección anterior, vimos cómo el impulso total y la energía mecánica total del sistema podrían ser utilizados para describir el sistema como un todo. En esta sección, definiremos el centro de masa que nos permitirá describir la posición del sistema en su conjunto.

    Considera un sistema compuesto por partículas\(N\) puntuales. Cada partícula puntual\(i\), de masa\(m_i\), puede ser descrita por un vector de posición\(\vec r_i\), un vector de velocidad y un vector de aceleración\(\vec a_i\), en relación con algún sistema de coordenadas en un marco inercial de referencia.\(\vec v_i\) La Segunda Ley de Newton se puede aplicar a cualquiera de las partículas del sistema:

    \[\begin{aligned} \sum_k \vec F_{ik} = m_i \vec a_i\end{aligned}\]

    donde\(\vec F_{ik}\) es la k-ésima fuerza ejercida sobre la partícula\(i\). Podemos escribir la Segunda Ley de Newton una vez para cada una de las\(N\) partículas, y podemos sumar esas\(N\) ecuaciones juntas:

    \[\begin{aligned} \sum_k \vec F_{1k} + \sum_k \vec F_{2k} + \sum_k \vec F_{3k} +\dots &= m_1\vec a_1 + m_2 \vec a_2 + m_3 \vec a_3 + \dots\\ \sum \vec F = \sum_i m_i \vec a_i \end{aligned}\]

    donde la suma de la izquierda es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre todas las partículas en el sistema 2 y la suma\(i\) sobre la derecha está sobre todas las\(N\) partículas del sistema. Como ya hemos visto, la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre el sistema puede dividirse en sumas separadas sobre fuerzas externas e internas:

    \[\begin{aligned} \sum \vec F = \sum \vec F^{ext} + \sum \vec F^{int} \end{aligned}\]

    y la suma sobre las fuerzas internas es cero 3. Podemos escribir así que la suma de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema viene dada por:

    \[\sum \vec F^{ext}=\sum_{i} m_{i}\vec a_{i}\]

    Nos gustaría que esta ecuación se asemejara a la Segunda Ley de Newton, pero para el sistema en su conjunto. Supongamos que el sistema tiene una masa total,\(M\):\[\begin{aligned} M = m_1 + m_2 + m_3 +\dots = \sum_i m_i\end{aligned}\] nos gustaría tener una ecuación de la forma:

    \[\sum \vec F^{ext}=M\vec a_{CM}\]

    para describir el sistema como un todo. Sin embargo, no está (todavía) claro qué se está acelerando con la aceleración,\(\vec a_{CM}\), ya que todas las partículas en el sistema podrían estar moviéndose en diferentes direcciones. Supongamos que hay un punto en el sistema, cuya posición viene dada por el vector,\(\vec r_{CM}\), de tal manera que la aceleración anterior sea la segunda derivada en el tiempo de ese vector de posición:\[\begin{aligned} \vec a_{CM} = \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_{CM}\end{aligned}\]

    Podemos comparar las Ecuaciones 10.3.1 y 10.3.2 para determinar a qué\(\vec r_{CM}\) corresponde el vector de posición:\[\begin{aligned} \sum \vec F^{ext}&= \sum_i m_i \vec a_i = \sum_i m_i \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_i \\ \sum \vec F^{ext}&=M\vec a_{CM} = M \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_{CM}\\ \therefore M \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_{CM}&= \sum_i m_i \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_i\end{aligned}\]

    Reordenando, y señalando que las masas son constantes en el tiempo, y así pueden ser factorizadas en las derivadas:

    \[\begin{aligned} \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_i\\ \frac{d^2 }{dt^2}\vec r_{CM} &= \frac{d^2 }{dt^2}\left(\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i \right)\\ \therefore \vec r_{CM} &=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i\end{aligned}\]

    donde en la última línea establecemos las cantidades que tienen la misma derivada de tiempo iguales entre sí 4. \(\vec r_{CM}\)es el vector que describe la posición del “centro de masa” (CM). La posición del centro de masa es descrita por la Segunda Ley de Newton aplicada al sistema en su conjunto:

    \[\sum \vec F^{ext}=M\vec a_{CM}\]

    donde\(M\) es la masa total del sistema, y la suma de las fuerzas es la suma sobre solamente las fuerzas externas en el sistema.

    Si bien hemos derivado formalmente la Segunda Ley de Newton para un sistema de partículas, realmente hemos estado usando este resultado a lo largo del texto. Por ejemplo, cuando modelamos un bloque deslizándose por una pendiente, nunca nos preocupó que el bloque estuviera hecho de muchos átomos, todos interactuando entre sí y con los alrededores. En cambio, solo consideramos las fuerzas externas sobre el bloque, es decir, la fuerza normal de la inclinación, cualquier fuerza de fricción, y el peso total del objeto (la fuerza ejercida por la gravedad). Técnicamente, la fuerza de la gravedad no se ejerce sobre el bloque como un todo, sino sobre cada uno de los átomos. Sin embargo, cuando sumamos la fuerza de gravedad ejercida sobre cada átomo:\[\begin{aligned} m_1\vec g+ m_2 \vec g + m_3\vec g + \dots = (m_1+m_2+m_3+\dots)\vec g = M\vec g\end{aligned}\] encontramos que se puede modelar considerando el bloque como una sola partícula de masa\(M\) sobre la que se ejerce la gravedad. El centro de masa a veces se describe como el “centro de gravedad”, porque corresponde a la ubicación donde podemos modelar la fuerza total de gravedad,\(M\vec g\), como ejercida. Cuando aplicamos la Segunda Ley de Newton al bloque, describimos entonces el movimiento del bloque como un todo (y no el movimiento de los átomos individuales). Específicamente, modelamos el movimiento del centro de masa del bloque.

    La posición del centro de masa es una ecuación vectorial que es verdadera para cada coordenada:\[\begin{aligned} \vec r_{CM} &=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i\nonumber\\ \therefore x_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i x_i\nonumber\\ \therefore y_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i y_i\nonumber\\ \therefore z_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i z_i\end{aligned}\] El centro de masa es esa posición en un sistema que es descrito por la Segunda Ley de Newton cuando se aplica al sistema como un todo. El centro de masa se puede considerar como una posición promedio para el sistema (es el promedio de las posiciones de las partículas en el sistema, ponderadas por su masa). Al describir la posición del centro de masa, no nos preocupan las posiciones detalladas de todas las partículas en el sistema, sino más bien la posición promedio del sistema en su conjunto. En otras palabras, esto equivale a ver todo el sistema como una sola partícula de masa\(M\) ubicada en la posición del centro de masa.

    Consideremos, por ejemplo, a una persona que lanza una mancuerna que está hecha de dos masas esféricas conectadas por una varilla, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). La mancuerna girará de manera compleja a medida que se mueve por el aire. Sin embargo, el centro de masa de la mancuerna viajará a lo largo de una trayectoria parabólica (movimiento del proyectil), debido a que la única fuerza externa ejercida sobre la mancuerna durante su trayectoria es la gravedad.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): El movimiento del centro de masa de una mancuerna es descrito por la Segunda Ley de Newton, aunque el movimiento de la mancuerna giratoria sea más complejo.

    Si tomamos la derivada con respecto al tiempo de la posición del centro de masa, obtenemos la velocidad del centro de masa, y sus componentes, lo que nos permite describir cómo se mueve el sistema como un todo:

    \[\begin{aligned} \vec v_{CM} = \frac{d}{dt}\vec r_{CM}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_{i}\frac{d}{dt}\vec r_{i}=\frac{1}{m}\sum_{i} m_{i}\vec v_{i}\end{aligned}\]

    \[\therefore v_{CM_{x}}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}v_{i_{x}}\]

    \[\therefore v_{CM_{y}}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}v_{i_{y}}\]

    \[\therefore v_{CM_{z}}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}v_{i_{z}}\]

    Tenga en cuenta que esta es la misma velocidad que encontramos anteriormente para la velocidad del marco de referencia del centro de masa. En el marco de referencia del centro de masa, el impulso total del sistema es cero. Esto tiene sentido, porque el centro de masa representa la posición promedio del sistema; si nos movemos “con el sistema”, entonces el sistema parece tener impulso cero.

    También podemos definir el momento total del sistema\(\vec P\), en términos de la masa total,\(M\), del sistema y la velocidad del centro de masa:

    \[\begin{aligned} \vec P &= \sum m_i \vec v_i = \frac{M}{M}\sum m_i \vec v_i\\ &=M\vec v_{CM}\end{aligned}\]

    que también podemos usar en la Segunda Ley de Newton:

    \[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec P = \sum \vec F^{ext}\end{aligned}\]

    y nuevamente, vemos que el impulso total del sistema se conserva si la fuerza externa neta sobre el sistema es cero. En otras palabras, el centro de masa del sistema se moverá con velocidad constante cuando se conserve el impulso.

    Finalmente, también podemos definir la aceleración del centro de masa tomando el tiempo derivado de la velocidad:

    \[\begin{aligned} \vec a_{CM}=\frac{d}{dt}\vec v_{CM}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}\frac{d}{dt}\vec v_{i} = \frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}\vec a_{i}\end{aligned}\]

    \[\therefore a_{CM_{x}}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}a_{i_{x}}\]

    \[\therefore a_{CM_{y}}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}a_{i_{y}}\]

    \[\therefore a_{CM_{z}}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}a_{i_{z}}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Una syzygia entre el Sol, la Tierra y Marte.

    En astronomía, una sizigia se define como el evento en el que tres cuerpos están alineados a lo largo de una línea recta. Por ejemplo, una syzygy ocurre cuando el Sol (masa\(M_S=2.00\times 10^{30}\text{kg}\)), Earth (mass \(M_E=5.97\times 10^{24}\text{kg}\)), and Mars (mass \(M_M=6.39\times 10^{23}\text{kg}\)) are all lined up, as in Figure \(\PageIndex{2}\). How far from the center of the Sun is the center of mass of the Sun, Earth, Mars system during a syzygy?

    Solución:

    Dado que se trata de un problema unidimensional, podemos definir un\(x\) eje que es colineal con los tres cuerpos, y encontrar únicamente la\(x\) coordenada de la posición del centro de masa. Somos libres de elegir el origen del sistema de coordenadas, por lo que elegimos el origen para que se ubique en el centro del Sol. De esta manera, la posición del centro de masa a lo largo del\(x\) eje corresponderá directamente a su distancia del centro del Sol.

    El Sol, la Tierra y Marte no son partículas puntuales. Sin embargo, debido a que son esféricamente simétricos, sus centros de masa corresponden a sus centros geométricos. Así podemos modelarlos como partículas puntuales con la masa del cuerpo ubicada en el centro geométrico correspondiente. Si\(r_E=1.50\times 10^{11}\text{m}\) (\(r_M=2.28\times 10^{11}\text{m}\)) es la distancia desde el centro de la Tierra (Marte) hasta el centro del Sol, entonces la posición del centro de masa viene dada por:\[\begin{aligned} x_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i x_i\\ &=\frac{M_S(0)+M_Er_E+M_Mr_M}{M_S+M_E+M_M}\\ &=\frac{(2.00\times 10^{30}\text{kg})(0)+(5.97\times 10^{24}\text{kg})(1.50\times 10^{11}\text{m})+(6.39\times 10^{23}\text{kg})(2.28\times 10^{11}\text{m})}{(2.00\times 10^{30}\text{kg})+(5.97\times 10^{24}\text{kg})+(6.39\times 10^{23}\text{kg})}\\ &=5.21\times 10^{5}\text{m}\end{aligned}\] El centro de masa del sistema Sol-Tierra-Marte durante una sizigia se localiza aproximadamente\(500\text{km}\) desde el centro del Sol.

    Discusión:

    El radio del Sol es aproximadamente\(700000\text{km}\), por lo que el centro de masa del sistema está bien dentro del Sol. El Sol es tanto más masivo que cualquiera de la Tierra o Marte, que los dos planetas apenas contribuyen a desplazar el centro de masa lejos del centro del Sol. Generalmente consideraríamos que las masas de los dos planetas son insignificantes si se quisiera modelar cómo se mueve el propio sistema solar alrededor de la galaxia de la Vía Láctea.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Tres personas en balsas en un lago.

    Alice (misa\(m_A\)), Brice (mass \(m_B\)), and (mass \(m_C\)) are stranded on individual rafts of negligible mass on a lake, off of the coast of Nyon. The rafts are located at the corners of a right-angle triangle, as illustrated in Figure \(\PageIndex{3}\), and are connected by ropes. The distance between Alice and Brice is \(r_{AB}\) and the distance between Alice and is \(r_{AC}\), as illustrated. Alice decides to pull on the rope that connects her to , while Brice decide to pull on the rope that connects him to Alice. Where will the three rafts meet?

    Solución:

    Consideramos el sistema compuesto por las tres personas y sus balsas y modelaremos a cada persona y su balsa como una partícula puntual con la masa concentrada en el centro de la balsa. Las fuerzas ejercidas al tirar de las cuerdas son fuerzas internas (una partícula sobre la otra), y por lo tanto no tendrán impacto en el movimiento del centro de masa del sistema. No hay fuerzas externas netas ejercidas sobre el sistema (las fuerzas de gravedad se equilibran con las fuerzas de flotabilidad de las balsas). El centro de masa del sistema no se mueve cuando la gente está tirando de las cuerdas, por lo que en última instancia deben reunirse en el centro de masa.

    Podemos definir un sistema de coordenadas tal que el origen se ubica donde inicialmente se ubica Alice, el\(x\) eje está en la dirección de Alice a Brice, y el\(y\) eje está en la dirección de Alice a Chloë. Las posiciones iniciales de Alice, Brice, y son así:\[\begin{aligned} \vec r_A &= 0\hat x + 0\hat y\\ \vec r_B &= r_{AB}\hat x + 0\hat y\\ \vec r_C &= 0\hat x + r_{AC}\hat y\end{aligned}\] respectivamente. Las\(y\) coordenadas\(x\) y del centro de masa son así:\[\begin{aligned} x_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i x_i = \frac{m_A(0) + m_Br_{AB} + m_C(0)}{m_A + m_B + m_C}=\left(\frac{m_B}{m_A + m_B + m_C}\right)r_{AB}\\ y_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i y_i = \frac{m_A(0) + m_B(0) + m_Cr_{AC}}{m_A + m_B + m_C}=\left(\frac{m_C}{m_A + m_B + m_C}\right)r_{AC}\\\end{aligned}\] que corresponde a la posición donde se reunirán las tres balsas, con relación a la posición inicial de Alice.

    Discusión:

    Al usar el centro de masa, encontramos fácilmente dónde se encontrarían las tres balsas. Si hubiéramos utilizado la Segunda Ley de Newton en las tres balsas individualmente, el modelo se habría complicado por el hecho de que las fuerzas ejercidas por Alice y Brice sobre las cuerdas cambian de dirección a medida que las balsas comienzan a moverse, lo que habría requerido el uso de integrales para determinar el movimiento de cada persona.

    El centro de masa de un objeto continuo

    Hasta el momento, hemos considerado el centro de masa para un sistema hecho de partículas puntuales. En esta sección, mostramos cómo se puede determinar el centro de masa para un “objeto continuo” 5. Anteriormente argumentamos que si un objeto es uniforme y simétrico, su centro de masa se ubicará en el centro del objeto. Demostremos esto explícitamente para una varilla uniforme de masa\(M\) y longitud totales\(L\), como se representa en la Figura\(\PageIndex{4}\).

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Varilla de longitud\(L\) y masa\(M\).

    Para determinar el centro de masa de la varilla, primero modelamos la varilla como hecha de\(N\) pequeños “elementos de masa” cada uno de igual masa,\(\Delta m\), y de longitud\(\Delta x\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). Si elegimos esos elementos de masa para que sean lo suficientemente pequeños, podemos modelarlos como partículas puntuales, y usar las mismas fórmulas anteriores para determinar el centro de masa de la varilla.

    Definimos el\(x\) eje para que sea colineal con la varilla, de tal manera que el origen se ubica en un extremo de la varilla. Podemos definir la “densidad de masa lineal” de la varilla\(\lambda\), como la masa por unidad de longitud de la varilla:\[\begin{aligned} \lambda = \frac{M}{L}.\end{aligned}\]

    Un pequeño elemento de masa de longitud\(\Delta x\), tendrá así una masa,\(\Delta m\), dada por:\[\begin{aligned} \Delta m = \lambda \Delta x \end{aligned}\]

    Si hay elementos de\(N\) masa que conforman la varilla, la\(x\) posición del centro de masa de la varilla viene dada por:\[\begin{aligned} x_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i^N m_i x_i = \frac{1}{M}\sum_i^N \Delta m x_i \\ &=\frac{1}{M}\sum_i^N \lambda \Delta x x_i\\\end{aligned}\] donde\(x_i\) esta la\(x\) coordenada del\(i\) -ésimo elemento de masa. Por supuesto, podemos tomar el límite sobre el cual la longitud,\(\Delta x\), de cada elemento de masa va a cero para obtener una integral:\[\begin{aligned} x_{CM} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{M}\sum_i^N \lambda \Delta x x_i = \frac{1}{M} \int_0^L \lambda x dx\end{aligned}\] donde la variable discreta\(x_i\) se convirtió en la variable continua\(x\), y\(\Delta x\) fue reemplazada por \(dx\)(que es lo mismo, pero indica que estamos tomando el límite de\(\Delta x \to 0\)). La integral se encuentra fácilmente:\[\begin{aligned} x_{CM} &= \frac{1}{M} \int_0^L \lambda x dx = \frac{1}{M}\lambda \left[ \frac{1}{2} x^2\right]_0^L\\ &=\frac{1}{M}\lambda \frac{1}{2} L^2 = \frac{1}{M}\left( \frac{M}{L}\right) \frac{1}{2} L^2\\ &=\frac{1}{2}L\end{aligned}\] donde sustituimos la definición de\(\lambda\) back in para encontrar, como era de esperar, que el centro de masa de la varilla está a la mitad de su longitud lejos de uno de los extremos.

    Supongamos que la varilla en cambio no era uniforme y que su densidad lineal dependía de la posición\(x\) a lo largo de la varilla:\[\begin{aligned} \lambda(x) = 2a + 3bx\end{aligned}\]

    Todavía podemos encontrar el centro de masa considerando un elemento de masa infinitesimalmente pequeño de masa\(dm\) y longitud\(dx\). En términos de la densidad de masa lineal y longitud del elemento de masa,\(dx\), la masa\(dm\) viene dada por:\[\begin{aligned} dm = \lambda(x) dx\end{aligned}\] La\(x\) posición del centro de masa se encuentra así de la misma manera que antes, excepto que la densidad de masa lineal es ahora una función de \(x\):\[\begin{aligned} x_{CM} &= \frac{1}{M} \int_0^L \lambda(x) x dx =\frac{1}{M} \int_0^L (2a + 3bx) x dx=\frac{1}{M} \int_0^L (2ax + 3bx^2) dx\\ &=\frac{1}{M} \left[ ax^2 + bx^3 \right]_0^L\\ &=\frac{1}{M} (aL^2 + bL^3 )\end{aligned}\]

    En general, para un objeto continuo, la posición del centro de masa viene dada por:

    \[\begin{aligned} \vec r_{CM}=\frac{1}{M}\int \vec r dm\end{aligned}\]

    \[\therefore x_{CM}=\frac{1}{M}\int xdm\]

    \[\therefore y_{CM}=\frac{1}{M}\int ydm\]

    \[\therefore z_{CM}=\frac{1}{M}\int zdm\]

    donde en general, se necesitará escribir\(dm\) en términos de algo que dependa de la posición (o una constante) para que las integrales puedan ser evaluadas sobre las coordenadas espaciales (\(x\),\(y\),\(z\)) sobre el rango que describen el objeto. En lo anterior, escribimos\(dm = \lambda dx\) para expresar el elemento de masa en términos de coordenadas espaciales.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

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    Figura\(\PageIndex{5}\): Un cuenco simétrico con lados parabólicos está completamente lleno de agua. El cuenco tiene una altura\(h\).

    Un tazón de altura\(h\) has parabolic sides and a circular cross-section, as illustrated in Figure \(\PageIndex{5}\). The bowl is filled with water. The bowl itself has a negligible mass and thickness, so that the mass of the full bowl is dominated by the mass of the water. Where is the center of mass of the full bowl?

    Solución:

    Podemos definir un sistema de coordenadas tal que el origen se ubique en el fondo del cuenco y el\(z\) eje corresponda al eje de simetría del cuenco. Debido a que el cuenco está lleno de agua, y el cuenco en sí tiene una masa insignificante, podemos modelar el tazón lleno como un cuerpo de agua uniforme con la misma forma que el cuenco y densidad de masa (volumen)\(\rho\) igual a la densidad del agua. Además, por simetría, el centro de masa del cuenco estará sobre el\(z\) eje.

    Debido a que el cuenco tiene una sección transversal circular, podemos dividirlo en elementos de masa en forma de disco\(dm\),, que tienen una altura infinitesimalmente pequeña\(dz\), y un radio\(r(z)\), que depende de su\(z\) coordenada (Figura\(\PageIndex{5}\)).

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    Figura\(\PageIndex{6}\): El cuenco parabólico dividido en elementos de masa en forma de disco,\(dm\), que tienen una altura infinitesimalmente pequeña\(dz\), y un radio\(r(z)\), que depende de su\(z\) coordenada.

    El centro de masa de cada elemento de masa en forma de disco se ubicará donde el disco correspondiente intersecta el\(z\) eje. La masa de un elemento de disco viene dada por:

    \[\begin{aligned} dm = \rho dV = \rho \pi r^2(z) dz\end{aligned}\]

    donde\(dV = \pi r(z)^2 dz\) está el volumen del disco con radio\(r(z)\) y grosor\(dz\). El radio del disco infinitesimal depende de su\(z\) posición, ya que los radios de los diferentes discos deben describir una parábola:\[\begin{aligned} z(r) &= \frac{1}{a^2}r^2\\ r(z) &= a\sqrt z\\ \therefore dm &= \rho \pi r^2(z) dz= \rho \pi a^2 z dz\end{aligned}\] donde introducimos la constante\(a\) para que las dimensiones sean correctas. La constante\(a\) determina cuán “empinados” son los lados parabólicos. La\(z\) coordenada del centro de masa está así dada por:\[\begin{aligned} z_{CM} &= \frac{1}{M}\int z dm =\frac{1}{M}\int_0^h z (\rho \pi a^2 z dz)=\frac{\rho \pi a^2}{M}\int_0^h z^2dz \\ &=\frac{\rho \pi a^2}{M}\left[ \frac{1}{3}z^3 \right]_0^h\\ &=\frac{\rho \pi a^2}{3M}h^3\end{aligned}\] Sin embargo, no estamos del todo hechos, ya que desconocemos la masa total\(M\),, del agua. Para encontrar la masa total de agua,\(M\), procedemos de manera análoga, y determinamos el valor de la suma (integral) de todos los elementos de masa:\[\begin{aligned} M = \int dm = \int_0^h \rho \pi a^2 z dz = \rho \pi a^2 \left[ \frac{1}{2}z^2 \right]_0^h= \frac{1}{2}\rho \pi a^2 h^2\end{aligned}\] Sustituyendo este valor por\(M\), podemos determinar la\(z\) coordenada del centro de masa del tazón lleno:\[\begin{aligned} z_{CM} &=\frac{\rho \pi a^2}{3M}h^3 = \frac{2\rho \pi a^2}{3\rho \pi a^2 h^2}h^3=\frac{2}{3}h\end{aligned}\] Independientemente de la forma real de la parábola (el parámetro\(a\)), el centro de masa siempre será dos tercios del camino hacia arriba desde el fondo del tazón.

    Discusión:

    Al determinar el centro de masa de un objeto tridimensional, se utilizó la simetría para argumentar que las\(y\) coordenadas\(x\) y serían cero. Luego encontramos la\(z\) posición del centro de masa dividiendo el cuenco en elementos de masa infinitesimalmente pequeños (discos) a lo largo de la dirección en la que necesitábamos encontrar la coordenada del centro de masa.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Verdadero o Falso: El centro de masa de un objeto continuo siempre se encuentra dentro del objeto.

    1. Cierto
    2. Falso
    Responder

    Notas al pie

    1. En realidad, incluso los átomos en un sólido pueden moverse uno respecto al otro, pero no se mueven en grandes cantidades en comparación con el objeto.

    2. Nuevamente, estamos sumando fuerzas que están actuando sobre diferentes partículas.

    3. Recordemos, las fuerzas internas son aquellas fuerzas que las partículas en el sistema están ejerciendo unas sobre otras. Debido a la Tercera Ley de Newton, éstas sumarán a cero.

    4. Técnicamente, los términos en las derivadas sólo son iguales a dentro de dos constantes de integración\(\vec r_{CM} =\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i + at + b\), que podemos establecer en cero.

    5. En realidad, por supuesto no hay objetos continuos ya que, a nivel atómico, todo está hecho de partículas.


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