10.4: Resumen

Principales conclusiones

El vector de impulso\(\vec p\),, de una partícula puntual de masa\(m\),, con velocidad\(\vec v\), se define como:\[\begin{aligned} \vec p = m\vec v\end{aligned}\]

Podemos escribir la Segunda Ley de Newton para una partícula puntual en términos de su impulso:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec p = \sum \vec F = \vec F^{net}\end{aligned}\]

donde la fuerza neta sobre la partícula determina la tasa de cambio de su momento. En particular, si no hay fuerza neta sobre una partícula, su impulso no cambiará.

El vector de impulso neto\(\vec J^{net}\),, se define como la fuerza neta ejercida sobre una partícula integrada de un tiempo\(t_A\) a otro\(t_B\):\[\begin{aligned} \vec J^{net} = \int_{t_A}^{tB} \vec F^{net} dt\end{aligned}\] El vector de impulso neto también es igual al cambio de impulso de la partícula en ese mismo período de tiempo:\[\begin{aligned} \vec J^{net} = \Delta \vec p = \vec p_B - \vec p_A\end{aligned}\]

Cuando definimos un sistema de partículas, podemos distinguir entre fuerzas internas y externas. Las fuerzas internas son aquellas fuerzas ejercidas por las partículas en el sistema unas sobre otras. Las fuerzas externas son aquellas fuerzas sobre las partículas en el sistema que no son ejercidas por las partículas entre sí. La suma sobre todas las fuerzas sobre todas las partículas del sistema será igual a la suma sobre las fuerzas externas, porque la suma sobre todas las fuerzas internas en un sistema es siempre cero (Tercera Ley de Newton).

El impulso total de un sistema\(\vec P\),, es la suma de los momentos,\(\vec p_i\), de todas las partículas en el sistema:\[\begin{aligned} \vec P = \sum \vec p_i\end{aligned}\]

El ritmo de cambio del impulso de un sistema es igual a la suma de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema:\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec P = \sum \vec F^{ext}\end{aligned}\] lo que puede pensarse como una descripción equivalente a la Segunda Ley de Newton, pero para el sistema en su conjunto. Si la fuerza neta (externa) sobre un sistema es cero, entonces se conserva el impulso total del sistema.

Las colisiones son aquellos eventos cuando las partículas en un sistema interactúan (por ejemplo, colisionando) y cambian su momento. Al modelar colisiones, suele ser beneficioso definir primero un sistema para el cual se conserva el impulso total antes y después de la colisión.

Las colisiones pueden ser elásticas o inelásticas. Las colisiones elásticas son aquellas en las que, además del impulso total, se conserva la energía mecánica total del sistema. La energía mecánica total generalmente se puede tomar como la suma de las energías cinéticas de las partículas en el sistema.

Las colisiones inelásticas son aquellas en las que no se conserva la energía mecánica total del sistema. Por lo general, se puede identificar si se introdujo o eliminó energía mecánica del sistema y determinar si la colisión es elástica. Es importante identificar cuándo se conservan el impulso y la energía mecánica. El momento se conserva si no se ejerce ninguna fuerza neta sobre el sistema, mientras que la energía mecánica se conserva si no se realizó trabajo neto en el sistema por fuerzas no conservadoras (internas o externas) o por fuerzas conservadoras externas.

Siempre podemos elegir en qué marco de referencia modelar una colisión. En algunos casos, es conveniente utilizar el marco de referencia del centro de masa del sistema, ya que en ese marco de referencia, el impulso total del sistema es cero.

Si un sistema tiene una masa total\(M\), entonces uno puede usar la Segunda Ley de Newton para describir su movimiento:\[\begin{aligned} \sum \vec F^{ext} &= M \vec a_{CM}\\ \sum \vec F^{ext} &=\frac{d}{dt} \vec P\end{aligned}\] donde la suma de las fuerzas está sobre todas las fuerzas externas en el sistema. El vector de aceleración\(\vec a_{CM}\),, describe el movimiento del “centro de masa” del sistema. \(\vec P=M\vec v_{CM}\)es el impulso total del sistema.

El centro de masa de un sistema es un promedio ponderado en masa de las posiciones de todas las partículas de masa\(m_i\) y posición\(\vec r_i\) que componen el sistema:\[\begin{aligned} \vec r_{CM} &=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i\end{aligned}\] La ecuación vectorial se puede romper en componentes para encontrar el\(x\), \(y\), y\(z\) componente de la posición del centro de masa. De igual manera, también se puede definir la velocidad del centro de masa del sistema, en términos de las velocidades individuales,\(\vec v_i\), de las partículas en el sistema:\[\begin{aligned} \vec v_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i\vec v_i\end{aligned}\] Finalmente, se puede definir la aceleración del centro de masa del sistema, en términos de las aceleraciones individuales, \(\vec a_i\), de las partículas en el sistema:\[\begin{aligned} \vec a_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i\vec a_i\end{aligned}\]

Si el sistema es un objeto continuo, podemos encontrar su centro de masa utilizando una suma (integral) de elementos de masa infinitesimalmente pequeños\(dm\),, ponderados por su posición:\[\begin{aligned} \vec r_{CM} &=\frac{1}{M}\int \vec r dm\\ \therefore x_{CM} &= \frac{1}{M}\int x dm\\ \therefore y_{CM} &= \frac{1}{M}\int y dm\\ \therefore z_{CM} &= \frac{1}{M}\int z dm\end{aligned}\] La estrategia para configurar las integrales anteriores suele ser expresar el elemento de masa,\(dm\), en términos de la posición y densidad del material del que está hecho el objeto. Luego se puede integrar sobre la posición en el rango definido por las dimensiones del objeto.

Ecuaciones Importantes

Momentum de una partícula puntual:

\[\begin{aligned} \vec p = m\vec v \\ \frac{d}{dt}\vec p = \sum \vec F = \vec F^{net}\end{aligned}\]

Impulso:

\[\begin{aligned} \vec J^{net} = \int_{t_A}^{tB} \vec F^{net} dt \\ \vec J^{net} = \Delta \vec p = \vec p_B - \vec p_A\end{aligned}\]

Momentum de un sistema:

\[\begin{aligned} \vec P = \sum \vec p_i \\ \frac{d}{dt}\vec P = \sum \vec F^{ext}\end{aligned}\]

La segunda ley de Newton para un sistema:

\[\begin{aligned} \sum \vec F^{ext} &= M \vec a_{CM}\\ \sum \vec F^{ext} &=\frac{d}{dt} \vec P\end{aligned}\]

Posición del Centro de Masa de un sistema:

\[\begin{aligned} \vec r_{CM} &=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i \end{aligned}\]

Velocidad del Centro de Masa de un sistema:

\[\begin{aligned} \vec v_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i\vec v_i \\\end{aligned}\]

Aceleración del Centro de Masa de un sistema:

\[\begin{aligned} \vec a_{CM} &= \frac{1}{M}\sum_i m_i\vec a_i \\\end{aligned}\]

Posición del Centro de Masa para un objeto continuo:

\[\begin{aligned} \vec r_{CM} &=\frac{1}{M}\int \vec r dm\\ \therefore x_{CM} &= \frac{1}{M}\int x dm\\ \therefore y_{CM} &= \frac{1}{M}\int y dm\\ \therefore z_{CM} &= \frac{1}{M}\int z dm\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Momentum: El producto de la velocidad y la masa. Unidades SI:\([\text{kgms}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\vec p\).

Definición

Impulso: Propiedad de la materia que describe la resistencia de un objeto al movimiento rotacional. Unidades SI:\([\text{Ns}]\). Variable (s) común (es):\(\vec J\).