12.4: Resumen
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Claves para llevar
Si un objeto está rotando con velocidad angular\(\omega\), alrededor de un eje que se fija en un marco inercial de referencia, la energía cinética rotacional de ese objeto viene dada por:\[\begin{aligned} K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2\end{aligned}\] dónde\(I\) está el momento de inercia de ese objeto alrededor del eje de rotación.
El trabajo neto realizado por el par neto ejercido sobre un objeto alrededor de un eje fijo o rotación en un marco inercial de referencia es igual al cambio del objeto en la energía cinética rotacional:\[\begin{aligned} W = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\vec \tau^{net}\cdot d\vec \theta = \frac{1}{2}I\omega_2^2 -\frac{1}{2}I\omega_1^2\end{aligned}\] Si un par\(\vec \tau\),, alrededor de un eje estacionario se ejerce sobre un objeto que está girando con una constante velocidad angular,\(\vec \omega\), alrededor de ese eje, entonces el par funciona a una velocidad:\[\begin{aligned} P = \vec \tau \cdot \vec \omega\end{aligned}\]
Si un objeto de masa,\(M\), gira alrededor de un eje a través de su centro de masa, y el centro de masa de se mueve con velocidad,\(v_{CM}\), en relación con un marco inercial de referencia, entonces la energía cinética total del objeto viene dada por:\[\begin{aligned} K_{tot} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2+ \frac{1}{2}Mv_{CM}^2\end{aligned}\] donde, \(\omega\), es la velocidad angular del objeto alrededor del centro de masa, y,\(I_{CM}\), es el momento de inercia del objeto alrededor del centro de masa. Los dos términos en la energía cinética provienen de la rotación alrededor del centro de masa (\(K_{rot}\)), y el movimiento de traslación del centro de masa (\(K_{trans}\)).
Se dice que un objeto está rodando sin deslizarse sobre una superficie si el punto en el objeto que está en contacto con la superficie está instantáneamente en reposo con relación a la superficie. Podemos modelar un objeto que está rodando sin deslizarse superponiendo el movimiento rotacional alrededor del centro de masa con el movimiento de traslación del centro de masa. La velocidad angular,\(\omega\), y la aceleración angular,\(\alpha\), del objeto alrededor de un eje a través de su centro de masa están relacionadas con la velocidad\(v_{CM}\),, y la aceleración lineal\(a_{CM}\),, del centro de masa, respectivamente:\[\begin{aligned} v_{CM} &= \omega R\\ a_{CM} &= \alpha R\end{aligned}\] Estas las condiciones son equivalentes a afirmar que el objeto está rodando sin deslizarse.
Cuando un objeto está rodando sin deslizarse, también podemos modelar su movimiento como si estuviera girando instantáneamente alrededor de un eje que atraviesa el punto de contacto entre el objeto y el suelo (el eje instantáneo de rotación). La velocidad angular (y la aceleración) alrededor del eje de rotación instantáneo son las mismas que cuando el objeto se modela como girando alrededor de su centro de masa (móvil).
Un objeto solo puede estar rodando sin resbalar si existe una fuerza de fricción estática ejercida por la superficie sobre el objeto. Sin esta fuerza, el objeto se deslizaría a lo largo de la superficie.
Podemos definir el momento angular de una partícula,\(\vec L\), alrededor de un punto en un marco inercial de referencia como:\[\begin{aligned} \vec L = \vec r \times \vec p\end{aligned}\] donde\(\vec r\),, es el vector del punto a la partícula, y\(\vec p\), es el momento lineal de la partícula. Si la partícula tiene una velocidad angular,\(\vec\omega\), con relación a un eje de rotación su momento angular alrededor de ese eje puede escribirse como:\[\begin{aligned} \vec L = mr^2\vec\omega = I\vec\omega\end{aligned}\] donde\(r\), es la distancia entre la partícula y el eje de rotación, y\(I=mr^2\), se puede pensar en como el momento de inercia de la partícula alrededor de ese eje.
Podemos escribir el equivalente de la Segunda Ley de Newton para la dinámica rotacional de una partícula usando el momento angular:\[\begin{aligned} \frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau^{net}\end{aligned}\] donde,\(\vec \tau^{net}\), es el par neto sobre la partícula alrededor del mismo punto utilizado para definir el momento angular. Ese punto debe estar en un marco de referencia inercial.
La tasa de cambio del momento angular total para un sistema de partículas,\(\vec L=\vec L_1 + \vec L_2 +\dots\), alrededor de un punto dado viene dada por:\[\begin{aligned} \frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau^{ext}\end{aligned}\] donde,\(\vec\tau^{ext}\), es el par externo neto en el sistema alrededor del punto de rotación. Si el par externo neto del sistema es cero, entonces el momento angular total del sistema es constante (conservado). Nuevamente, el punto de rotación debe estar en un marco inercial de referencia 1.
Para un objeto sólido, en el que todas las partículas deben moverse al unísono, podemos definir el momento angular del objeto alrededor de un eje estacionario para que sea:\[\begin{aligned} \vec L = I\vec \omega\end{aligned}\] donde\(\vec\omega\),, es la velocidad angular del objeto alrededor de ese eje, y,\(I\), es la correspondiente al objeto momento de inercia alrededor de ese eje.
Muchas de las relaciones que existen entre cantidades lineales tienen una relación analógica entre las cantidades angulares correspondientes, como se resume en la siguiente tabla:
| Nombre | Lineal | Angular | Correspondencia |
|---|---|---|---|
| Desplazamiento | \(s\) | \(\vec \theta\) | \(d\vec\theta=\frac{1}{r^2} \vec r\times d\vec s\) |
| Velocity | \(\vec v\) | \(\vec \omega\) | \(\vec\omega=\frac{1}{r^2} \vec r\times \vec v\),\(v_s = \vec\omega\times \vec r\)2 |
| Aceleración | \(\vec a\) | \(\vec \alpha\) | \(\vec\alpha=\frac{1}{r^2} \vec r\times \vec a\),\(a_s = \vec\alpha\times \vec r\)3 |
| Inercia | \(m\) | \(I\) | \(I=\sum_i m_ir_i^2\) |
| Momentum | \(\vec p=m\vec v\) | \(\vec L = I\vec \omega\) | \(\vec L = \vec r\times \vec p\) |
| Segunda Ley de Newton | \(\vec F^{ext}=m\vec a_{CM}\) | \(\vec \tau^{ext} = I\vec\alpha\) | \(\vec F \to \vec\tau\),\(m\to I\),\(\vec a \to \vec \alpha\) |
| Segunda Ley de Newton | \(\frac{d\vec p}{dt} =\vec F^{ext}\) | \(\frac{d\vec L}{dt} =\vec \tau^{ext}\) | \(\vec F \to \vec\tau\),\(\vec p \to \vec L\) |
| Energía cinética | \(\frac{1}{2}mv^2\) | \(\frac{1}{2}I\omega^2\) | \(m\to I\),\(v\to \omega\) |
| Poder | \(\vec F \cdot \vec v\) | \(\vec \tau \cdot \vec\omega\) | \(\vec F \to \vec\tau\),\(\vec v\to \vec\omega\) |
Cuadro 12.4.1
Ecuaciones Impor tant
Energía cinética rotacional de un objeto giratorio:
\[\begin{aligned} K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2\end{aligned}\]
Energía cinética total:
\[\begin{aligned} K_{tot} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2+ \frac{1}{2}Mv_{CM}^2\end{aligned}\]
Trabajo:
\[\begin{aligned} W = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\vec \tau^{net}\cdot d\vec \theta = \frac{1}{2}I\omega_2^2 -\frac{1}{2}I\omega_1^2\end{aligned}\]
Potencia:
\[\begin{aligned} P = \vec \tau \cdot \vec \omega\end{aligned}\]
Momento angular:
\[\begin{aligned} \vec L = \vec r \times \vec p\\ \vec L = mr^2\vec\omega = I\vec\omega\\ \frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau^{net}\\ \frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau^{ext}\\ \vec L = I\vec \omega\\\end{aligned}\]
Definiciones importantes
Definición
Momento angular: El equivalente rotacional del momento lineal. El momento angular debe definirse en relación con un eje de rotación. Unidades SI:\([\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\vec L\).
Definición
Energía cinética rotacional: El equivalente rotacional de la energía cinética de traducción. Generalmente, un objeto puede tener energía cinética tanto rotacional como traslacional. Unidades SI:\([J]\). Variables comunes:\(K_{rot}\).