13.2: Sistema de muelles-masa vertical

Considere el sistema de muelles-masa vertical ilustrado en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un sistema de muelles-masa vertical.

Cuando no hay masa unida al resorte, el resorte está en reposo (suponemos que el resorte no tiene masa). Elegimos el origen de un sistema de coordenadas verticales unidimensionales (\(y\)eje) que se ubicará en el resto de la longitud del muelle (panel izquierdo de la Figura\(\PageIndex{1}\)). Cuando\(m\) se une una masa al resorte, el resorte se extenderá y el extremo del resorte se moverá a una nueva posición de equilibrio\(y_0\), dada por la condición de que la fuerza neta sobre la masa\(m\) sea cero. Las únicas fuerzas que se ejercen sobre la masa son la fuerza del resorte y su peso. La condición para el equilibrio es así:\[\begin{aligned} \sum F_y = F_g - F(y_0) &=0\\ mg - ky_0 &= 0 \\ \therefore mg &= ky_0\end{aligned}\] Ahora, considere las fuerzas sobre la masa en alguna posición\(y\) cuando el resorte se extiende hacia abajo con relación a la posición de equilibrio (panel derecho de la Figura\(\PageIndex{1}\)). La Segunda Ley de Newton en esa posición se puede escribir como:\[\begin{aligned} \sum F_y = mg - ky &= ma\\ \therefore m \frac{d^2y}{dt^2}& = mg - ky \end{aligned}\] Tenga en cuenta que la fuerza neta sobre la masa siempre estará en la dirección para “restaurar” la posición de la masa de nuevo a la posición de equilibrio,\(y_0\). Si la masa se hubiera movido hacia arriba con relación a\(y_0\), la fuerza neta sería hacia abajo.

Podemos sustituir la condición de equilibrio,\(mg = ky_0\), en la ecuación que obtuvimos de la Segunda Ley de Newton:\[\begin{aligned} m \frac{d^2y}{dt^2}& = mg - ky \\ m \frac{d^2y}{dt^2}&= ky_0 - ky\\ m \frac{d^2y}{dt^2}&=-k(y-y_0) \\ \therefore \frac{d^2y}{dt^2} &= -\frac{k}{m}(y-y_0)\end{aligned}\] Consideremos una nueva variable,\(y'=y-y_0\). Esto es lo mismo que definir un nuevo\(y'\) eje que se desplaza hacia abajo por\(y_0\); en otras palabras, esto lo mismo que definir un nuevo\(y'\) eje cuyo origen está en\(y_0\) (la posición de equilibrio) más que en la posición donde el resorte está en reposo. Señalando que la segunda derivada de tiempo\(y'(t)\) es la misma que la de\(y(t)\):\[\begin{aligned} \frac{d^2y}{dt^2} &= \frac{d^2}{dt^2} (y' + y_0) = \frac{d^2y'}{dt^2}\\\end{aligned}\] podemos escribir la ecuación de movimiento para la masa, pero usando\(y'(t)\) para describir su posición:\[\begin{aligned} \frac{d^2y'}{dt^2} &= \frac{k}{m}y'\end{aligned}\] Esta es la misma ecuación que la del armónico simple movimiento de un sistema de masa de resorte horizontal (Ecuación 13.1.2), pero con el origen ubicado en la posición de equilibrio en lugar de en la longitud de reposo del resorte. En otras palabras, un sistema de masa de resorte vertical sufrirá un simple movimiento armónico en la dirección vertical alrededor de la posición de equilibrio. En general, un sistema de masa-resorte sufrirá un simple movimiento armónico si se ejerce sobre la masa una fuerza constante que es colineal con la fuerza del resorte (en este caso, la gravedad). Ese movimiento se centrará alrededor de un punto de equilibrio donde la fuerza neta sobre la masa es cero en lugar de donde el resorte está en su posición de reposo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cómo se compara el período de movimiento de un sistema de masa elástica vertical con el período de un sistema horizontal (asumiendo que la masa y la constante elástica son las mismas)?

1. El periodo del sistema vertical será mayor.
2. El periodo del sistema vertical será menor.
3. El periodo será el mismo.

Responder

Sistema de masa de dos muelles

Consideremos un sistema de masa elástica horizontal compuesto por una sola masa,\(m\), unido a dos resortes diferentes con constantes de resorte\(k_1\) y\(k_2\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Una masa unida a dos muelles diferentes.

Introducimos un sistema de coordenadas horizontales, de tal manera que el extremo del resorte con constante de resorte\(k_1\) está en posición\(x_1\) cuando está en reposo, y el extremo del\(k_2\) resorte está en\(x_2\) cuando está como reposo, como se muestra en el panel superior. Luego\(m\) se une una masa a los dos resortes, y\(x_0\) corresponde a la posición de equilibrio de la masa cuando la fuerza neta de los dos resortes es cero. Supondremos que la longitud de la masa es insignificante, por lo que los extremos de ambos resortes también están en posición\(x_0\) en equilibrio. Se puede ver en el panel central de la Figura\(\PageIndex{2}\) que ambos resortes están en extensión cuando están en la posición de equilibrio. Es posible tener un equilibrio donde ambos resortes están en compresión, si ambos resortes son lo suficientemente largos como para extenderse más allá\(x_0\) cuando están en reposo.

Si asumimos que ambos resortes están en extensión en equilibrio, como se muestra en la figura, entonces la condición para el equilibrio viene dada al requerir que la suma de las fuerzas sobre la masa sea cero cuando la masa se ubica en\(x_0\). La extensión del resorte a la izquierda es\(x_0 - x_1\), y la extensión del resorte a la derecha es\(x_2-x_0\):\[\begin{aligned} \sum F_x = -k_1(x_0-x_1) + k_2 (x_2 - x_0) &= 0\\ -k_1x_0+k_1x_1+k_2x_2-k_2x_0 &=0\\ -(k_1+k_2)x_0 +k_1x_1+k_2x_2 &=0\\ \therefore k_1x_1+k_2x_2 &=(k_1+k_2)x_0\end{aligned}\] Tenga en cuenta que si la masa se desplaza\(x_0\) en cualquier dirección, la fuerza neta sobre la masa estará en la dirección de la posición de equilibrio, y actuará para “restaurar” la posición de la masa de nuevo a\(x_0\).

Cuando la masa está en alguna posición\(x\), como se muestra en el panel inferior (para el\(k_1\) resorte en compresión y el\(k_2\) resorte en extensión), la Segunda Ley de Newton para la masa es:\[\begin{aligned} -k_1(x-x_1) + k_2 (x_2 - x) &= m a \\ -k_1x +k_1x_1 + k_2 x_2 - k_2 x &= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ -(k_1+k_2)x + k_1x_1 + k_2 x_2&= m \frac{d^2x}{dt^2}\end{aligned}\] Tenga en cuenta que, matemáticamente, esta ecuación es de la forma \(-kx + C =ma\), que es la misma forma de la ecuación que teníamos para el sistema de muelles-masa vertical (con\(C=mg\)), por lo que esperamos que esto conduzca también a un simple movimiento armónico. Podemos usar la condición de equilibrio (\(k_1x_1+k_2x_2 =(k_1+k_2)x_0\)) para reescribir esta ecuación:\[\begin{aligned} -(k_1+k_2)x + k_1x_1 + k_2 x_2&= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ -(k_1+k_2)x + (k_1+k_2)x_0&= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ \therefore -(k_1+k_2) (x-x_0) &= m \frac{d^2x}{dt^2}\end{aligned}\] Definamos\(k=k_1+k_2\) como la constante elástica “efectiva” de los dos resortes combinados. También podemos definir una nueva coordenada\(x' = x-x_0\), que simplemente corresponde a un nuevo\(x\) eje cuyo origen se ubica en la posición de equilibrio (de una manera que es exactamente análoga a lo que hicimos en el sistema de muelles-masa vertical). Podemos escribir así la Segunda Ley de Newton como:\[\begin{aligned} -(k_1+k_2) (x-x_0) &= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ -kx' &= m \frac{d^2x'}{dt^2}\\ \therefore \frac{d^2x'}{dt^2} &= -\frac{k}{m}x'\end{aligned}\] y encontramos que el movimiento de la masa unida a dos resortes se describe por la misma ecuación de movimiento para movimiento armónico simple que el de una masa unida a un solo resorte. En este caso, la masa oscilará alrededor de la posición de equilibrio\(x_0\),, con una constante elástica efectiva\(k=k_1+k_2\). Combinar los dos resortes de esta manera es así equivalente a tener un solo resorte, pero con constante de resorte\(k=k_1+k_2\). La frecuencia angular de las oscilaciones viene dada por:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}\end{aligned}\]