13.5: Resumen

Claves para llevar

La ecuación de movimiento para la posición,\(x(t)\), de la masa en un sistema unidimensional de masa-resorte sin fricción se puede escribir:\[\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x = -\omega^2 x\end{aligned}\] y tiene una solución:\[\begin{aligned} x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] donde\(A\) está la amplitud del movimiento,\(\phi\) es la fase, que depende de nuestra elección de las condiciones iniciales (cuando elegimos el tiempo\(t=0\)), y\(\omega\):\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}\] es la frecuencia angular del movimiento. La masa oscilará alrededor de una posición de equilibrio con un período\(T\),, y frecuencia\(f\),, dado por:\[\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\ f&=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}\] La velocidad y aceleración de la masa se encuentran tomando las derivadas de tiempo de la posición\(x(t)\):\[\begin{aligned} x(t)&= A \cos(\omega t + \phi)\\ v(t)&=\frac{d}{dt}x(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ a(t)&= \frac{d^2}{dt^2}x(t) =\frac{d}{dt}\left( -A\omega\sin(\omega t + \phi)\right)= -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] El total la energía mecánica de la masa, en alguna posición\(x\), viene dada por:\[\begin{aligned} E =U+K=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2= \frac{1}{2}kA^2\end{aligned}\] y es conservada.

Cualquier sistema que pueda ser descrito por la ecuación de movimiento:\[\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2}= -\omega^2 x\end{aligned}\] se dice que es un simple oscilador armónico, y su posición será descrita por:\[\begin{aligned} x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] Un simple oscilador armónico siempre oscilará alrededor de una posición de equilibrio, donde la fuerza neta sobre el oscilador es cero. La fuerza neta sobre un oscilador armónico simple siempre se dirige hacia la posición de equilibrio, y tiene una magnitud proporcional a la distancia del oscilador desde su posición de equilibrio. A la fuerza se le llama fuerza restauradora. Un sistema de masa de resorte vertical y una masa unida a dos resortes sufrirán un simple movimiento armónico alrededor de su respectiva posición de equilibrio.

Un péndulo simple sufrirá simples oscilaciones armónicas, si la amplitud de las oscilaciones es pequeña. La frecuencia angular para las oscilaciones de un péndulo simple solo depende de la longitud del péndulo:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\end{aligned}\] Esto es válido en la aproximación de ángulo pequeño, donde:\[\begin{aligned} \sin\theta \approx \theta\end{aligned}\] Un péndulo físico de masa\(m\) que oscila alrededor de un eje a través del objeto también sufrirá simples oscilación armónica en la aproximación de ángulo pequeño. La frecuencia angular de las oscilaciones para un péndulo físico viene dada por:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}\end{aligned}\] donde\(h\) está la distancia entre el centro de masa y el eje de rotación, y\(I\) es el momento de inercia del objeto alrededor del eje de rotación.

Ecuaciones Importantes

Posición, velocidad y aceleración para SHM:

\[\begin{aligned} x(t)&= A \cos(\omega t + \phi)\\ v(t)&=\frac{d}{dt}x(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ a(t)&= \frac{d^2}{dt^2}x(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\]

Periodo y frecuencia:

\[\begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}}\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\ f&=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}\]

Energía mecánica:

\[\begin{aligned} E =U+K=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2= \frac{1}{2}kA^2\end{aligned}\]

Péndulo simple (ángulos pequeños):

\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\end{aligned}\]

Péndulo físico (ángulos pequeños):

\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Frecuencia angular: se relaciona con una frecuencia habitual por un factor de\(2\pi\). Para un objeto que gira alrededor de un círculo a velocidad constante, la frecuencia angular de la rotación es la misma que la velocidad angular (la velocidad de cambio de un ángulo de posición). Unidades SI:\([\text{rad/s}]\). Variable (s) común (es):\(\omega\).