14.7: Ondas estacionarias
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Tres ondas estacionarias de diferentes frecuencias (longitudes de onda) se ilustran en la Figura\(\PageIndex{1}\).
La línea continua en cada uno de los tres paneles corresponde a una instantánea particular de la onda estacionaria en un instante particular en el tiempo. Las líneas discontinuas corresponden a instantáneas en diferentes momentos. En particular, hay un tiempo en el que el desplazamiento de todos los puntos de la cadena es cero. Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud diferente, que corresponde a la línea continua (y la línea discontinua opuesta). Ciertos puntos no oscilan en absoluto; estos se llaman “nodos”. Los puntos al final de la cadena son siempre nodos. Ciertos puntos vibran con una amplitud máxima; estos se denominan “antinodos”.
En general, si arrancas una cuerda enseñada (como una cuerda de guitarra), crearás una onda complicada, equivalente a muchas ondas sinusoidales con diferentes frecuencias, que se propagan hacia afuera desde el punto donde se arrancó la cuerda. Esas ondas sinusoidales serán reflejadas por los extremos de la cuerda e interferirán entre sí. La mayoría de las olas interferirán de manera complicada y se desintegrarán. Aquellas ondas que tengan la frecuencia correcta para crear ondas estacionarias persistirán en la cuerda por un periodo de tiempo más largo. La cuerda eventualmente vibrará como superposición de la frecuencia fundamental (la onda estacionaria con un antinodo, también llamado el primer armónico), y los “armónicos” superiores (aquellas ondas estacionarias con más antinudos).
La longitud de onda de la onda estacionaria fundamental para una cadena de longitud,\(L\), viene dada por la condición:\[\begin{aligned} \lambda = 2L\end{aligned}\] En general, el armónico\(n\) th tendrá una longitud de onda de:
\[\lambda_{n}=\frac{2L}{n}\quad n=1,2,3,...,\]
La frecuencia correspondiente es dada por:
\[f_{n}=\frac{nv}{2L}\]
donde\(v=f\lambda\) esta la velocidad de las olas en la cuerda.
Una onda estacionaria es el resultado de dos ondas de la misma frecuencia y amplitud que viajan en direcciones opuestas. Así, no hay energía que sea transmitida por una onda estacionaria (por ejemplo, a través de los nodos al final de la cadena). Aunque describimos ondas estacionarias para una cuerda, estas no están restringidas a ondas unidimensionales. Por ejemplo, la membrana de un tambor también puede soportar ondas estacionarias.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Una onda estacionaria (compuesta por dos ondas viajeras) tiene una amplitud máxima\(A\). What must the amplitude \(A_0\) of each travelling wave be?
- \(A_0=1/4 A\)
- \(A_0=1/2 A\)
- \(A_0=A\)
- \(A_0=2A\)
- Responder
En general, la mayoría de los objetos pueden caracterizarse por una frecuencia armónica (o “resonante”) que corresponde a las ondas estacionarias que pueden existir en el objeto. Si ese objeto es, digamos, sacudido, muchas ondas se propagarán a través del objeto y se cancelarán, excepto aquellas que tengan la frecuencia resonante. Las vibraciones relativamente pequeñas, si tienen la frecuencia correcta, pueden provocar grandes ondas estacionarias que pueden provocar daños en el objeto.
Descripción matemática de una onda estacionaria
Una onda estacionaria es el resultado de dos ondas idénticas, viajando en direcciones opuestas, interfiriendo. Considera las ondas descritas por\(D_1(x,t)\) y\(D_2(x,t)\) que se modelan de la siguiente manera:\[\begin{aligned} D_1(x,t) &= A\sin(kx-\omega t)\\ D_2(x,t) &= A\sin(kx+\omega t)\\\end{aligned}\] Estas dos ondas son idénticas, pero viajan en direcciones opuestas (debido al letrero frente a la\(\omega t\)). La superposición de estas ondas viene dada por:\[\begin{aligned} D(x,t) &= D_1(x,t) + D_2(x,t)\\ &=A\Bigr(\sin(kx-\omega t)+\sin(kx+\omega t)\Bigl)\end{aligned}\] Podemos usar la siguiente identidad trigonométrica para combinarlas en un solo término:\[\begin{aligned} \sin\theta_1+\sin\theta_2 = 2\sin\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)\end{aligned}\] La onda resultante viene así dada por:\[\begin{aligned} D(x,t) &= 2A\sin\left(\frac{kx-\omega t + kx+\omega t}{2} \right) \cos\left( \frac{kx-\omega t - kx-\omega t}{2}\right)\\ &=2A\sin(kx)\cos(\omega t)\end{aligned}\] Si esta onda describe la onda en una cadena de longitud\(L\) con ambos extremos fijos, y establecemos el origen de nuestro sistema de coordenadas en un extremo de la cadena, entonces requerimos que el desplazamiento en\(x=0\) y siempre\(x=L\) sea cero. La primera condición siempre es cierta, y la segunda requiere que:\[\begin{aligned} D(x=L,t) &= 0\\ \sin(kL) &= 0\\ \therefore kL &= n\pi \quad\quad n=1,2,3,\dots\end{aligned}\] y\(kL\) debe ser un múltiplo de\(2\pi\). En cuanto a la longitud de onda\(\lambda\),, esto da:\[\begin{aligned} \frac{2\pi}{\lambda}L &= n\pi\\ \therefore \lambda&= \frac{2L}{n}\end{aligned}\] como argumentamos antes, para la longitud de onda del\(n\) -ésimo armónico. La onda estacionaria para el armónico\(n\) -ésimo se describe así por
\[D(x,t)=2A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x \right)\cos (\omega t)\]
Un punto en posición se\(x\) comportará como un simple oscilador armónico y oscilará con una amplitud dada por:\[\begin{aligned} A(x) = 2A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\end{aligned}\] Cada punto de la cuerda vibrará con la misma frecuencia angular\(\omega\), pero con una amplitud diferente, dependiendo de su posición. Para el armónico\(n\) -ésimo, los nodos de la onda estacionaria se ubican en:\[\begin{aligned} \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) &=0\\ \frac{n\pi}{L}x &= m\pi \quad\quad m=0,1,2,\dots\\ \therefore x &= m\frac{L}{n} \end{aligned}\] Así, por ejemplo, el segundo nodo (\(m=2\)) del tercer armónico (\(n=3\)), se encuentra en\(x=2L/3\), como se puede ver en el panel inferior de la Figura \(\PageIndex{1}\). Los antinudos se ubican en:\[\begin{aligned} \frac{n\pi}{L}x &= m\frac{\pi}{2} \quad\quad m=1,3,5,7,\dots\\ \therefore x&=m\frac{L}{2n}\end{aligned}\] donde, por ejemplo, se ubica el primer antinodo del primer armónico\(x=L/2\), como se puede apreciar en el panel superior de la Figura\(\PageIndex{1}\).
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Una onda estacionaria en una cuerda (fija en ambos extremos) tiene una frecuencia fundamental\(f\). If you quadruple the tension in the string, how can you change the length of the string so that the fundamental frequency remains the same?
- la mitad de la longitud.
- el doble de la longitud.
- triplicar la longitud.
- cuadruplicar la longitud.
- Responder
Pensamientos de Olivia
Olivia Echemos otro vistazo a la ecuación para una onda estacionaria. En esta sección, vimos que la ecuación para una onda estacionaria viene dada por:\[\begin{aligned} D(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)\end{aligned}\] Podemos reorganizar esta ecuación para obtener:\[\begin{aligned} D(x,t)=\underbrace{2A\cos(\omega t)}_{\textrm{amplitude}}\sin(kx)\end{aligned}\] Esto parece la ecuación para una onda estacionaria (el desplazamiento es una función de\(x\)) con una amplitud\(2A\cos(\omega t)\). Sabemos que\(\cos(\omega t)\) va a dar un valor que oscila entre -1 y 1, por lo que solo podemos pensar en un término de\(\cos(\omega t)\) escalado que modifica la amplitud de la onda.
Cuando miramos una onda estacionaria, esto es exactamente lo que vemos, una onda cuya amplitud siempre está cambiando pero que no viaja de una manera u otra. La figura\(\PageIndex{2}\) muestra algunas instantáneas de cómo se ve la ola en diferentes momentos.
Podemos ver a partir de la ecuación que será la amplitud máxima\(2A\). Esto tiene sentido cuando recordamos que la onda estacionaria está compuesta por dos ondas viajeras de amplitud\(A\). A medida que estas ondas se mueven, habrá momentos en los que interfieran completamente constructivamente, que es cuando se maximiza la amplitud de la onda estacionaria. Cuando interfieren completamente destructivamente, la amplitud es cero.