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14.10: Problemas y soluciones de la muestra

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Un clarinete se puede modelar como una columna de aire que está abierta por un extremo y cerrada en el otro extremo, como en la Figura\(\PageIndex{1}\).

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Un clarinete (de longitud\(L\)) modelado como una columna de aire que se cierra en un extremo.
    1. Dibuja los tres primeros armónicos para un clarinete (dibujar el desplazamiento máximo de las moléculas de aire en función de la distancia en el clarinete).
    2. Encuentra una expresión para la longitud de onda del\(n^{th}\) armónico para un clarinete de longitud\(L\).
    3. Si un clarinete es\(60\text{cm}\) long, ¿cuál es la nota de frecuencia más baja que puede producir?
    Contestar

    a. Los tres primeros armónicos se muestran en la Figura\(\PageIndex{2}\).

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Los tres primeros armónicos para un clarinete. Hay un nodo en el extremo fijo y un antinodo en el extremo libre.

    b. La ecuación para una onda estacionaria es:\[\begin{aligned} D(x,t)=2A\sin(kx)cos(\omega t)\end{aligned}\] Dejamos que el extremo fijo esté en\(x=0\). En el extremo fijo, el desplazamiento es igual a cero. En el extremo libre (\(x=L\)) se maximiza el desplazamiento. La primera condición siempre es cierta. La segunda condición se cumplirá cuando:\[\begin{aligned} \sin(kL)&=1\\ \therefore kL&=\pi/2,3\pi/2,...\\\end{aligned}\] Esta condición se puede expresar como:\[\begin{aligned} kL&=\frac{(2n-1)\pi}{2}\\ \frac{2\pi L}{\lambda}&=\frac{(2n-1)\pi}{2}\\ \therefore \lambda&=\frac{4L}{2n-1}\end{aligned}\] donde, en la segunda línea, usamos\(k=2\pi /\lambda\). Podemos comprobar que esta fórmula funciona para los tres primeros armónicos:\[\begin{aligned} n=1: \quad \lambda&=\frac{4L}{2(1)-1} \\ L&=\frac{1}{4}\lambda \\ n=2: \quad \lambda&=\frac{4L}{2(2)-1} \\ L&= \frac{3}{4}\lambda \\ n=3: \quad \lambda&=\frac{4L}{2(3)-1} \\ L&= \frac{5}{4}\lambda \end{aligned}\] Refiriéndose de nuevo a nuestro diagrama (Figura\(\PageIndex{2}\)), podemos ver que nuestra fórmula es cierta para los tres primeros armónicos (es decir, para el primer armónico, la longitud del clarinete es igual a\(1/4\) de una longitud de onda, etc.)

    c. Encontramos que la longitud de onda para la\(n^{th}\) longitud de onda viene dada por:\[\begin{aligned} \lambda=\frac{4L}{2n-1}\end{aligned}\] Escribir\(\lambda\) en términos de la velocidad\(v\),, y frecuencia\(f\),, da:\[\begin{aligned} \frac{v}{f}&=\frac{4L}{2n-1}\\ \therefore f&=\frac{v(2n-1)}{4L}\end{aligned}\] A partir de esta fórmula, podemos ver que, si queremos encontrar la más baja frecuencia, queremos\(n=1\). La longitud del clarinete es\(0.6\text{m}\), y\(v\) es la velocidad del sonido en el aire que está\(343\text{m/s}\) a temperatura ambiente. Usando estos valores, la frecuencia más baja es:\[\begin{aligned} f&=\frac{(343\text{m/s})(2(1)-1)}{4(0.6\text{m})}\\ f&=143\text{Hz}\end{aligned}\] Discusión: Esta frecuencia es cercana a la\(D_3\) nota, que tiene una frecuencia de\(144\text{Hz}\), por lo que esta respuesta tiene sentido. Sin embargo, el valor que encontramos difiere del valor verdadero. ¿Por qué podría ser esto?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Un pulso se propaga por una cuerda de masa por unidad de longitud\(\mu_1\) que se ata a una segunda cuerda con una masa por unidad de longitud\(\mu_2\) (Figura\(\PageIndex{3}\)). Las tensiones en las cuerdas son iguales en magnitud.

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Un pulso incidente se propaga a través de una cuerda conectada a otra cuerda con una densidad de masa lineal diferente. Cuando llegue al límite, parte del pulso se reflejará y parte se transmitirá.
    1. Escriba los desplazamientos del pulso incidente, el pulso reflejado y el pulso transmitido en la forma\(D(x,t)=D(a(t\pm x/v))\), donde\(a\) hay alguna constante que necesita determinar, y la elección de\(+\) o\(-\) depende de la dirección que el pulso está viajando en.
    2. El coeficiente de reflexión\(R\),, es la relación entre la amplitud del pulso reflejado y la amplitud del pulso incidente. Usando las condiciones de contorno, mostrar que el coeficiente de reflexión viene dado por:\[\begin{aligned} R=\frac{\sqrt{\mu_1}-\sqrt{\mu_2}}{\sqrt{\mu_1}+\sqrt{\mu_2}}\end{aligned}\]

    Nota: El límite es la interfaz entre las dos cuerdas. Al “usar las condiciones de límite”, queremos decir que se debe pensar en lo que debe ser cierto en el límite para que este problema tenga sentido. ¡Las condiciones de contorno suelen ser más obvias de lo que piensas!

    Contestar

    a. dejamos que el pulso incidente se mueva en la\(x\) dirección positiva (Figura\(\PageIndex{4}\)), y configuramos\(x=0\) para ser donde se conectan las cuerdas.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Un pulso incidente se propaga a través de una cuerda conectada a otra cuerda con una densidad de masa lineal diferente. Cuando llega al límite, parte del pulso se refleja y parte se transmite. El hecho de que el pulso reflejado esté invertido o vertical dependerá del coeficiente de reflexión.

    El pulso incidente (denotado por\(i\)) es una onda viajera, que se mueve en una dimensión en la\(x\) dirección positiva. El pulso incidente puede así ser descrito por la función:\[\begin{aligned} D_I(x,t)=A_I\cos(k_1x-\omega t)\\\end{aligned}\] Usaremos las fórmulas\(k=2\pi/\lambda\) y\(\omega=2\pi f\) para reescribir esta ecuación en la forma\(D=(a(t\pm x/v))\). La frecuencia,\(f\), de la ola será la misma en ambas cuerdas. La velocidad de la onda, y por lo tanto su longitud de onda, depende de la densidad de masa de la cuerda. Dado que la onda incidente viaja a través de la primera cuerda (\(\mu_1\)), su velocidad será\(v_1\) y su longitud de onda será\(\lambda_1\). La onda incidente puede ser descrita así por:\[\begin{aligned} D_I&=A_I\cos\left( \frac{2\pi}{\lambda_1}x-2\pi ft\right)\\ &=A_I\cos \left( 2\pi\left(\frac{1}{\lambda_1}x- ft\right)\right)\\ &=A_I\cos \left( 2\pi f\left(\frac{x}{v_1}- t\right)\right)\\ &=A_I\cos \left( -2\pi f\left(t-\frac{x}{v_1}\right)\right)\\ D_I&=A_I\cos \left(2\pi f\left(t-\frac{x}{v_1}\right)\right)\end{aligned}\] donde usamos\(v=f\lambda\), y señaló que\(\cos(-x)=\cos(x)\).
    La onda transmitida (denotada por el subíndice\(T\)) también viajará en la\(x\) dirección positiva, pero su velocidad será\(v_2\), ya que viaja a través de la segunda cuerda:\[\begin{aligned} D_T&=A_T\cos \left( 2\pi f\left(t-\frac{x}{v_2}\right)\right)\end{aligned}\] La onda reflejada (denotada por \(R\)) viajará en la\(-x\) dirección y a la misma velocidad que el pulso incidente. \[\begin{aligned} D_R&=A_R\cos \left( 2\pi f\left(t+\frac{x}{v_1}\right)\right)\end{aligned}\]

    b. Consideraremos las condiciones de contorno en la interfaz entre las dos cuerdas. Una condición límite es que la cuerda debe ser continua. Como resultado, el desplazamiento vertical en el\(-x\) lado del límite debe ser el mismo que el desplazamiento vertical en el\(+x\) lado del límite en cada instante:\[\begin{aligned} D_{-x}&=D_{+x}\quad\text{at $x=0$}\end{aligned}\] La amplitud en el\(+x\) lado es igual a la amplitud del transmitido pulso. Para el\(-x\) lado del límite, hay que tomar en cuenta que los pulsos incidentes y reflejados se superpondrán (cuando el frente del pulso incidente llegue al límite, se reflejará e interferirá con el final del pulso incidente). Esta condición de límite se puede expresar así como:\[\begin{aligned} A_I+A_R&=A_T\end{aligned}\] La pendiente de la cuerda también debe ser continua en el límite. Dado que los pulsos incidentes y reflejados se superponen, y el principio de superposición establece que el desplazamiento neto es la suma del desplazamiento de estas dos ondas, podemos escribir:

    \[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}(D_I+D_R)\Bigr|_{x=0}&=\frac{\partial}{\partial x}D_T\Bigr|_{x=0}\\ \frac{\partial}{\partial x}D_I\Bigr|_{x=0}+\frac{\partial}{\partial x}D_R\Bigr|_{x=0}&=\frac{\partial}{\partial x}D_T\Bigr|_{x=0}\end{aligned}\]

    Usando nuestras ecuaciones para los pulsos incidentes, transmitidos y reflejados encontrados en la parte a), y tomando las derivadas parciales apropiadas, esta ecuación se convierte en:

    \[\begin{aligned} (A_I/v_1) \sin \left(2\pi f\left( t-\frac{x}{v_1}\right)\right)\Bigr|_{x=0}+(-A_R/v_1) \sin \left( 2\pi f\left( t+\frac{x}{v_1}\right)\right)\Bigr|_{x=0}&=\\(A_T/v_2) \sin \left( 2\pi f\left( t-\frac{x}{v_2}\right)\right)\Bigr|_{x=0}\end{aligned}\]

    Evaluando en\(x=0\) da:\[\begin{aligned} (A_I/v_1) \sin (2\pi ft) +(-A_R/v_1) \sin (2\pi ft)&=(A_T/v_2) \sin (2\pi ft)\\ \frac{A_I}{v_1} -\frac{A_R}{v_1}&=\frac{A_T}{v_2} \end{aligned}\] Usando nuestra primera condición\(A_I+A_R=A_T\),, obtenemos:\[\begin{aligned} \frac{A_I}{v_1} -\frac{A_R}{v_1}&=\frac{A_I}{v_2}+\frac{A_R}{v_2}\\\end{aligned}\] Ahora, podemos reorganizar para encontrar el coeficiente de reflexión,\(R=A_R/A_I\):\[\begin{aligned} A_I\left( \frac{v_2-v_1}{v_1v_2}\right)&=A_R\left( \frac{v_2+v_1}{v_1v_2}\right)\\ R&=\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}\end{aligned}\] Dado que las velocidades en la primera y segunda cuerda son\(v_1=\sqrt{F_T/\mu_1}\) y \(v_2=\sqrt{F_T/\mu_2}\), respectivamente, el coeficiente de reflexión puede escribirse\[\begin{aligned} R&=\frac{\sqrt{\frac{F_T}{\mu_2}}-\sqrt{\frac{F_T}{\mu_1}}}{\sqrt{\frac{F_T}{\mu_2}}+\sqrt{\frac{F_T}{\mu_1}}}\\ &=\frac{\sqrt{F_T}}{\sqrt{F_T}}\cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{\mu_2}}-\frac{1}{\sqrt{\mu_1}}}{\frac{1}{\sqrt{\mu_2}}+\frac{1}{\sqrt{\mu_1}}}\\ \therefore R&=\frac{\sqrt{\mu_1}-\sqrt{\mu_2}}{\sqrt{\mu_1}+\sqrt{\mu_2}}\end{aligned}\] como: según se desee.


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