15.2: Flotabilidad

En esta sección, examinamos cómo el gradiente de presión en un fluido conduce a una fuerza de flotabilidad sobre un objeto que se encuentra inmerso en el fluido.

Figura\(\PageIndex{1}\): (Izquierda:) El peso de un elemento fluido,\(\vec F_{g}\), es soportado por la fuerza neta hacia arriba de la presión,\(\vec F_{B}\), del fluido por debajo de él. (Derecha:) Si el elemento fluido es removido y reemplazado por un objeto, seguirá existiendo la misma fuerza neta hacia arriba,\(\vec F_{B}\), a partir de la presión del fluido, que ahora se ejerce sobre el objeto.

En el panel izquierdo de la Figura\(\PageIndex{1}\), se muestra un elemento hemi-esférico de fluido con un volumen\(V\). El peso del elemento de fluido,\(\vec F_{g}\), es soportado por la fuerza neta hacia arriba,\(\vec F_{B}\), ejercida por la presión del fluido que rodea al elemento fluido. La masa,\(M\), del elemento de fluido viene dada por:

\[\begin{aligned} M=\rho V \end{aligned}\]

donde\(ρ\) está la densidad del fluido. La fuerza neta de la presión,\(F_{B}\), debe tener así la misma magnitud que el peso:

\[\begin{aligned} F_{B}+Mg=\rho Vg \end{aligned}\]

Ahora, supongamos que el elemento fluido se “desplaza” y se sustituye por el casco de una embarcación, como se muestra en el panel derecho de la Figura\(\PageIndex{1}\). La fuerza neta hacia arriba de la presión del fluido debe permanecer igual\(F_{B}\), pero esa fuerza ahora se ejerce sobre el casco de la embarcación. Llamamos a esa fuerza la fuerza de la “flotabilidad”, que es la razón por la que un barco puede flotar y la razón por la que te sientes más ligero al caminar en una piscina que en tierra.

Así, si un objeto desplaza un volumen,\(V\), de un fluido con densidad\(ρ\), cuando se sumerge en el fluido, ese objeto experimentará una fuerza ascendente de flotabilidad,\(\vec F_{B}\), con magnitud:

\[F_{B} = \rho Vg\]

Este “principio” fue descubierto originalmente por Arquímedes, quien afirmó que la fuerza de flotabilidad es igual al peso del fluido desplazado. Tenga en cuenta que dibujamos el elemento fluido en la superficie del fluido, pero esto no se requiere, y una fuerza de flotabilidad estará presente si el objeto está completamente sumergido en el líquido. Si vuelve a referirse a la Figura\(\PageIndex{1}\), recordará que la fuerza neta hacia arriba sobre un elemento de fluido debe ser igual a su peso, incluso si el elemento fluido está completamente sumergido.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿La fuerza de flotabilidad sobre un objeto completamente sumergido aumenta con la profundidad a la que se sumerge el objeto (ignorando cualquier cambio del valor variable de\(\vec g\))?

1. Sí, porque la fuerza de flotabilidad viene de la presión en el fluido, que aumenta con la profundidad.
2. No, porque la fuerza de flotabilidad proviene de la diferencia de presión por encima y por debajo del objeto, que no aumenta con la profundidad.

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Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Observa que si viertes aceite de oliva lentamente en tu vaso de agua, el aceite flota sobre el agua. ¿Qué puedes concluir?

1. La masa de un volumen dado de aceite es menor que la masa del mismo volumen de agua.
2. La masa de un volumen dado de aceite es mayor que la masa del mismo volumen de agua.

Contestar

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Se mide el peso de un objeto suspendiéndolo con una báscula de resorte. Cuando se mide el peso del objeto en el aire, se encuentra que tiene un peso\(W_{a}\). Cuando se mide el peso del objeto cuando está completamente sumergido en agua, se encuentra que tiene un peso\(W_{w}\). ¿Cuál es la densidad del objeto?

Solución:

Dado el peso del objeto en el aire, podemos determinar fácilmente su masa:

\[\begin{aligned} M=\frac{W_{a}}{g} \end{aligned}\]

No obstante, como desconocemos su volumen,\(V\), no podemos determinar directamente su densidad. Cuando el objeto se sumerge en agua, el peso medido será el peso real del objeto (medido en el aire) menos la magnitud de la fuerza de flotabilidad ejercida por el agua:

\[\begin{aligned}W_{w}&=W_{a}-\rho _{w}gV \\ \therefore V &= \frac{W_{w}-W_{a}}{\rho _{w}g} \end{aligned}\]

donde\(ρ_{w}\) está la densidad del agua. Dado el volumen, ahora podemos determinar la densidad del objeto,\(\rho\):

\[\begin{aligned} \rho = \frac{M}{V}=\frac{W_{a}\rho _{w}g}{g(W_{w}-W_{a})}=\rho _{w}\frac{W_{a}}{W_{w}-W_{a}} \end{aligned}\]

Discusión:

Al usar el Principio de Arquímedes, pudimos determinar el volumen, y así la densidad del objeto, comparando medidas de su peso en el aire y en el agua. Esto es similar al método que Arquímedes ideó para determinar si una corona propiedad de un general estaba hecha de oro real o si parte del oro había sido reemplazada por un peso igual de plata. Arquímedes supuestamente fue a los baños a reflexionar sobre cómo determinar si la corona estaba hecha de oro y tuvo su momento Eureka cuando notamos que el nivel del agua en el baño subía al entrar en el baño. Se dio cuenta de que el oro más denso desplazaría menos agua que la plata por igual peso.

pensamientos de olivia

Que un objeto flote o no depende de su densidad. Consideremos un objeto que se coloca en el agua. Las únicas fuerzas que actúan sobre el objeto son su peso y la fuerza de flotabilidad. Queremos saber cuándo será cero la fuerza neta. Voy a escribir la Segunda Ley de Newton para el objeto, pero escribiendo la masa del objeto en términos de su densidad y volumen.

\[\begin{aligned} F_{g}&=F_{B} \\ m_{O}g &=F_{B} \\ \rho _{O}V_{O}g&=\rho _{W}V_{W}g \end{aligned}\]

donde\(O\) se refiere al objeto y\(W\) se refiere al agua. Cancelando los\(g\)'s, podemos escribir esto como

\[\begin{aligned} \frac{\rho _{O}}{\rho _{W}}=\frac{V_{W}}{V_{0}} \end{aligned}\]

Considera un cubo sólido que tenga la misma densidad que el agua. En este caso,\(ρ_{0}/ρ_{W} = 1\), y así\(V_{W} /V_{0} = 1\). Esto significa que, para que el cubo flote, se debe desplazar un volumen de agua que sea igual al volumen del cubo. Entonces, todo el cubo debe estar sumergido. Si colocas este cubo\(5\text{ m}\) profundamente en el agua, se quedaría a esta profundidad.

Ahora considera un cubo cuya densidad es la mitad de la del agua. Eso lo encontramos\(ρ_{0}/ρ_{W} = 0.5\), así que debemos tener\(V_{W} /V_{0} = 0.5\). Para que el cubo flote, solo la mitad de él necesita estar sumergido. Si colocas el cubo\(5\text{ m}\) profundamente en el agua, se elevaría a la superficie y se detendría cuando la mitad de él estuviera por encima del agua (después de flotar un poco).

Por último, ¿qué pasa con un cubo cuya densidad es\(1.5\) multiplicada por la densidad del agua? En este caso, habría que desplazar un cubo y medio por valor de agua para que el cubo flote. Incluso cuando todo el cubo está sumergido, no se ha desplazado el volumen suficiente para que flote, por lo que el cubo se hundirá.

Objetos como fideos de alberca o chalecos salvavidas nos permiten flotar porque tienen bajas densidades. Tienen muy poca masa (no agregan mucho al peso) en un volumen relativamente grande (pueden desplazar el agua para agregar a la fuerza de flotación). Un objeto con una densidad menor que el agua flotará con alguna fracción del objeto sumergida.