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15.4: Resumen

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    Claves para llevar

    La presión de una fuerza\(\vec F\), ejercida sobre una superficie con área\(A\), es una cantidad escalar definida como:

    \[\begin{aligned} P=\frac{F_{\perp}}{A} \end{aligned}\]

    donde\(F_{⊥}\) es el componente de la fuerza perpendicular a la superficie.

    Si se ejerce una fuerza sobre las partículas en un fluido (por ejemplo, la gravedad), existirá una presión en todas partes del fluido. Si el fluido se coloca en un recipiente, esa presión conduce a una fuerza externa en todas las superficies del contenedor.

    Si existen dos fluidos a diferentes presiones a cada lado de una interfaz/objeto, la fuerza neta sobre esa interfaz/objeto de las presiones de los fluidos será proporcional a la diferencia de presión de los fluidos en cada lado.

    Un fluido está en equilibrio hidrostático si la suma de las fuerzas sobre cualquier elemento fluido es cero. En presencia de gravedad, esto siempre conduce a un gradiente de presión vertical

    \[\begin{aligned}\frac{dP}{dy}=-\rho g \end{aligned}\]

    donde\(ρ\) está la densidad del fluido,\(g\) es la magnitud del campo gravitacional de la Tierra, y el\(y\) eje es positivo hacia arriba.

    Si el fluido es incompresible, entonces la diferencia de presión entre dos puntos en alturas\(y_{1}\) y\(y_{2}\) viene dada por:

    \[\begin{aligned} P(y_{2})-P(y_{1})=-\rho g(y_{2}-y_{1}) \end{aligned}\]

    El Principio de Pascal establece que si se aplica una presión externa\(P\),, a una ubicación en un fluido, entonces la presión en todas partes del fluido aumenta en\(P\).

    Si un objeto se sumerge en un fluido, experimentará una fuerza de flotabilidad que está en la dirección opuesta al campo gravitacional en ese fluido. La magnitud de la fuerza de flotabilidad viene dada por el Principio de Arquímedes:

    \[\begin{aligned} F_{B}=\rho Vg \end{aligned}\]

    donde,\(ρ\), es la densidad del fluido y,\(V\), es el volumen del fluido desplazado por el objeto (es decir, el volumen de la parte del objeto que se sumerge en el fluido).

    Podemos distinguir entre flujo laminar y turbulento de fluidos. En el flujo laminar, las partículas individuales en el fluido siguen líneas de corriente bien definidas. En flujo turbulento, las partículas individuales siguen caminos complicados que generalmente involucran corrientes de Foucault. En general, es mucho más fácil modelar el flujo laminar de fluidos.

    La ecuación de continuidad establece que el caudal másico de un fluido a través de un sistema cerrado debe ser el mismo en todas partes del sistema (ningún fluido puede aparecer o desaparecer). Para el flujo laminar de un fluido con densidad,\(ρ\), que fluye a velocidad,\(v\), a través de una tubería con sección transversal\(A\),, el caudal másico es una constante:

    \[\begin{aligned} \rho Av=\text{constant} \end{aligned}\]

    Se dice que un fluido es incompresible si tiene densidad constante. Para un fluido de densidad constante, el caudal volumétrico,\(Q\), debe ser constante en todas partes en un sistema cerrado:

    \[\begin{aligned} Q=Av=\text{constant} \end{aligned}\]

    El Principio de Bernoulli, que se basa en la conservación de la energía mecánica, establece que la siguiente cantidad es una constante:

    \[\begin{aligned} P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gy=\text{constant} \end{aligned}\]

    para el flujo laminar de un fluido sin viscosidad. \(P\)es la presión interna del fluido,\(v\) su velocidad y\(y\) la altura del fluido en relación con un sistema de coordenadas fijas. En particular, el Principio de Bernoulli implica que, para una altura constante, la presión interna de un fluido debe disminuir si aumenta su velocidad.

    La viscosidad\(η\),, para el flujo laminar de un fluido se puede modelar como resultado de la fuerza de fricción interna entre capas del fluido. Debido a la viscosidad, un fluido no puede fluir en una tubería horizontal a menos que haya una diferencia en la presión a través de la tubería. De igual manera, no habrá gradiente de presión horizontal a través de un fluido a menos que el fluido esté fluyendo. En general, el caudal volumétrico\(Q\), de un fluido incompresible a través de una tubería con resistencia,\(R\), viene dado por:

    \[\begin{aligned} Q=\frac{\Delta P}{R} \end{aligned}\]

    Para el flujo laminar de un fluido con viscosidad\(η\), a través de una tubería cilíndrica horizontal de longitud\(L\), y radio\(r\), el caudal viene dado por la ecuación de Poiseuille:

    \[\begin{aligned}Q=\frac{\pi r^{4}}{8ηL}\Delta P \end{aligned}\]

    Ecuaciones Importantes

    En presencia de gravedad:

    \[\begin{aligned} \frac{dP}{dy}&=-\rho g \\ P(y_{2})-P(y_{1})&=-\rho g(y_{2}-y_{1}) \\ F_{B}&=\rho Vg \end{aligned}\]

    Ecuación de continuidad:

    \[\begin{aligned} \rho Av&=\text{constant} \\ Q&=Av=\text{constant}\quad\text{(if incompressible)} \end{aligned}\]

    Bernoulli:

    \[\begin{aligned} P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gy=\text{constant}\end{aligned}\]

    Viscosidad:

    \[\begin{aligned} Q&=\frac{\Delta P}{R} \\ Q&=\frac{\pi r^{4}}{8ηL}\Delta P\quad\text{(Poiseuille)} \end{aligned}\]

    Definiciones importantes

    Definición

    Presión: Una medida de fuerza por unidad de área. Unidades SI:\([\text{Pa}]\). Variable (s) común (es):\(P\).

    Definición

    Viscosidad: Una medida de la resistencia de un fluido al flujo. Unidades SI:\([\text{Pas}]\). Variable (s) común (es):\(η\).

    Definición

    Caudal: Medición del movimiento de un fluido, en volumen por unidad de tiempo. Unidades SI:\([\text{m}^{3}\text{s}^{−1}]\). Variable (s) común (es):\(Q\).


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