16.2: La fuerza de Coulomb

Coulomb fue el primero en proporcionar una descripción cuantitativa detallada de la fuerza entre los objetos cargados. Hoy en día, utilizamos la unidad SI (derivada) de “Coulomb” (C) para representar la carga. La “carga” de un objeto corresponde al exceso neto (o falta) de electrones sobre el objeto. Un electrón tiene una carga de\(-e=-1.6\times 10^{-19}\text{C}\). Así, un objeto con una carga de\(-1\text{C}\) tiene un exceso de aproximadamente\(-1.6\times 10^{19}\) electrones sobre él, que es una carga muy grande. Si un objeto tiene un exceso de electrones, está cargado negativamente y esto lo indicamos con un signo negativo en la carga del objeto. Un objeto con una carga (positiva) de\(1\text{C}\) por lo tanto tiene un déficit de\(-1.6\times 10^{19}\) electrones.

A través de estudios cuidadosos de la fuerza entre dos esferas cargadas, Coulomb observó ¹ que:

• La fuerza es atractiva si los objetos tienen cargas opuestas y repulsiva si los objetos tienen la misma carga.
• La fuerza es inversamente proporcional a la distancia cuadrada entre esferas.
• La fuerza es mayor si las cargas involucradas son mayores.

Esto lleva a la Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica (o simplemente “Ley de Coulomb”),\(\vec F_{12}\), ejercida sobre una carga puntual\(Q_1\) por otra carga puntual\(Q_2\):

\[\vec F_{12}=k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}\hat r_{21}\]

donde\(\hat r_{21}\) es el vector unitario de\(Q_2\) a\(Q_1\) y\(r\) es la distancia entre las dos cargas, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). \(k=8.99\times 10^{9}\text{N}\cdot\text{m}^{2}\text{/C}^{2}\)es simplemente una constante de proporcionalidad (“constante de Coulomb”) para asegurar que la cantidad de la derecha tendrá unidades de Newtons cuando todas las demás cantidades estén en unidades S.I. En algunas instancias, es más conveniente utilizar la “permitividad del espacio libre”\(\epsilon_0\), en lugar de la constante de Coulomb, en cuyo caso la Ley de Coulomb tiene la forma:\[\begin{aligned} \vec F_{12}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\hat r_{21}\end{aligned}\] dónde\(\epsilon_{0}=\frac{1}{4\pi k}=8.85\times 10^{-12}\text{C}^{2}\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}\) es una constante más fundamental, como veremos en capítulos posteriores.

Figura\(\PageIndex{1}\): Vectores involucrados en la aplicación de la Ley de Coulomb.

Si las dos cargas tienen posiciones\(\vec r_1\) y\(\vec r_2\), respectivamente, entonces el vector\(\hat r_{21}\) viene dado por: La Ley de\[\begin{aligned} \hat r_{21} = \frac{\vec r_2 - \vec r_1}{||\vec r_2 - \vec r_1||}\end{aligned}\] Coulomb es matemáticamente idéntica a la fuerza gravitacional en la Teoría Universal de la Gravedad de Newton. Más que la cantidad de masa que determina la fuerza de la fuerza gravitacional, es la cantidad de carga la que determina la fuerza de la fuerza eléctrica. La única diferencia importante es que la gravedad siempre es atractiva, mientras que la fuerza Coulomb puede ser repulsiva.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

La fuerza de Coulomb es conservadora.

1. Cierto.
2. Falso.

Contestar

El producto\(Q_1Q_2\) en el numerador de la fuerza de Coulomb es positivo si las dos cargas tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) y negativas si las cargas tienen signos opuestos. Nuevamente, refiriéndose a la Figura\(\PageIndex{1}\), si las dos cargas son positivas, la fuerza encendida\(Q_1\) apuntará en la misma dirección que\(\hat r_{21}\) (ya que todos los escalares son positivos en la Ley de Coulomb) y así serán repulsivos. Si, en cambio, las dos cargas tienen signos opuestos, el producto\(Q_1Q_2\) será negativo y el vector de fuerza encendido\(Q_1\) apuntará en dirección opuesta\(\hat r_{21}\) y la fuerza es atractiva.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Calcular la magnitud de la fuerza eléctrica entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno y compararla con la fuerza gravitacional entre ellos.

Solución:

Modelamos esto asumiendo que el electrón y el protón son cargas puntuales a una\(1 \unicode{xC5}=1\times 10^{-10}\text{m}\) distancia de separación (\(1\)Angstrom es aproximadamente del tamaño del átomo de hidrógeno). El protón y el electrón tienen la misma carga con magnitud\(e=1.6\times 10^{-19}\text{C}\), por lo que la fuerza eléctrica (atractiva) entre ellos tiene una magnitud de:

\[\begin{aligned} F^{e}=k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}=(9\times 10^{9}\text{N}\cdot \text{m}^{2}\text{/C}^{2})\frac{(1.6\times 10^{-19}\text{C})(1.6\times 10^{-19}\text{C})}{(1\times 10^{-10}\text{m})^{2}}=2.3\times 10^{-8}\text{N} \end{aligned}\]

que es un número pequeño, pero actuando sobre una masa muy pequeña. En comparación, la fuerza de gravedad entre un electrón (\(m_e=9.1\times 10^{-31}\text{kg}\)) y un protón (\(m_p=1.7\times 10^{-27}\text{kg}\)) viene dada por:

\[\begin{aligned} F^{g}=G\frac{m_{2}m_{p}}{r^{2}}=(6.7\times 10^{-11}\text{Nm}^{2}\text{/kg}^{2}\frac{(9.1\times 10^{-31}\text{kg})(1.7\times 10^{-27}\text{kg})}{(1\times 10^{-10}\text{m})^{2}}=1.04\times 10^{-47}\text{N} \end{aligned}\]

Discusión:

Como podemos ver, ¡la fuerza eléctrica entre un electrón y un protón es\(39\) órdenes de magnitud mayor que la fuerza gravitacional! Esto demuestra que la fuerza gravitacional es extremadamente débil en la escala de las partículas y esencialmente no tiene ningún efecto en la física de partículas. De hecho, la mejor teoría actual de la física de partículas, y la teoría más probada en física, el “Modelo Estándar”, no necesita incluir la gravedad para proporcionar una descripción espectacularmente precisa de las partículas. Uno de los grandes retos de la física teórica es, sin embargo, desarrollar una teoría que integre la fuerza gravitacional con las otras fuerzas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Tres cargas,\(Q_1=1\text{nC}\), y\(Q_2=-2\text{nC}\)\(q=-1\text{nC}\), se mantienen fijas en las tres esquinas de un triángulo equilátero con lados de longitud\(a=1\text{cm}\), con un sistema de coordenadas como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). ¿Cuál es el vector de fuerza eléctrica en carga\(q\)? (Obsérvese que\(1\text{nC}=1\times 10^{-9}\text{C}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): Tres cargas dispuestas en un triángulo equilátero de lado\(a\).

Solución:

La fuerza eléctrica neta en carga\(q\) será la suma vectorial de las fuerzas a partir de cargas\(Q_1\) y\(Q_2\). Por lo tanto, necesitamos determinar los vectores de fuerza\(q\) de cada carga usando la Ley de Coulomb, y luego agregar esos dos vectores para obtener la fuerza neta en\(q\). Los vectores de fuerza ejercidos sobre\(q\) cada carga se ilustran en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Vectores de fuerza en carga\(q\).

La fuerza de carga\(Q_1\) tiene magnitud:

\[\begin{aligned} F_{q1}= \left|k\frac{Q_{1}q}{a^{2}} \right|=(9\times 10^{9}\text{N}\cdot\text{M}^{2}\text{/C}^{2})\frac{(1\times 10^{-9}\text{C})(1\times 10^{-9}\text{C})}{(0.01\text{m})^{2}}=9\times 10^{-5}\text{N} \end{aligned}\]

y componentes:

\[\begin{aligned} \vec F_{q1}&=-F_{q1}\cos(60^{\circ})\hat x-F_{q1}\sin(60^{\circ})\hat y\\ &=-(4.5\times 10^{-5}\text{N})\hat x-(7.8\times 10^{-5}\text{N})\hat y\end{aligned}\]

Del mismo modo, la fuerza\(q\) de\(Q_2\) salida tiene magnitud:

\[\begin{aligned} F_{q2}=\left |k\frac{Q_2q}{a^2}\right |=(9\times 10^{9}\text{N}\cdot \text{m}^2\text{/C}^{2})\frac{(2\times 10^{-9}\text{C})(1\times 10^{-9}\text{C})}{(0.01\text{m})^2}=1.8\times 10^{-4}\text{N}\end{aligned}\]

y componentes:

\[\begin{aligned} \vec F_{q2}&=-F_{q2}\cos(60^{\circ})\hat x+F_{q2}\sin(60^{\circ})\hat y\\ &=-(9.0\times 10^{-5}\text{N})\hat x+(1.6\times 10^{-4}\text{N})\hat y\end{aligned}\]

Finalmente, podemos sumar los dos vectores de fuerza juntos para obtener la fuerza neta sobre\(q\):

\[\begin{aligned} \vec F^{net}&=\vec F_{q1}+\vec F_{q2}\\ &=-(4.5\times 10^{-5}\text{N})\hat x-(7.8\times 10^{-5}\text{N})\hat y-(9.0\times 10^{-5}\text{N})\hat x+(1.6\times 10^{-4}\text{N})\hat y\\ &=-(13.5\times 10^{-5}\text{N})\hat x+(8.2\times 10^{-5}\text{N})\hat y\end{aligned}\]

que tiene una magnitud de\(15.8\times 10^{-5}\text{N}\).

Discusión:

En este ejemplo, determinamos la fuerza neta sobre una carga haciendo uso del principio de superposición; es decir, que podemos tratar las fuerzas ejercidas\(q\) por\(Q_1\) e\(Q_2\) independientemente, sin necesidad de considerar el hecho de que\(Q_1\) y \(Q_2\)ejercer fuerzas unos sobre otros.

Notas al pie

1. Otros habían observado inicialmente la ley cuadrada inversa para la fuerza eléctrica, pero Coulomb fue el primero en formalizar la teoría.