16.4: El dipolo eléctrico

Los dipolos eléctricos son una combinación específica de una carga positiva\(+Q\) mantenida a una distancia fija,\(l\), a partir de una carga igual y opuesta\(-Q\), como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un dipolo eléctrico y su vector dipolo correspondiente,\(\vec p\).

Los dipolos se pueden representar por su “vector dipolo eléctrico” (o “momento dipolo eléctrico”),\(\vec p\), definido para apuntar en la dirección de la carga negativa a la carga positiva, con magnitud:\[\begin{aligned} p=Ql\end{aligned}\] Los dipolos surgen a menudo en la naturaleza, por ejemplo, una molécula de agua puede ser modelado como un dipolo, porque los dos átomos de hidrógeno no están dispuestos simétricamente alrededor del átomo de oxígeno. Los electrones en una molécula de agua tienden a permanecer más cerca del átomo de oxígeno, que adquiere un exceso de 2 electrones, mientras que cada protón tiene un déficit de 1 electrón, lo que resulta en una separación de carga (polarización), que puede modelarse como un dipolo eléctrico, como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Una molécula de agua puede modelarse como un dipolo eléctrico.

Cuando un dipolo se sumerge en un campo eléctrico uniforme, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\), la fuerza neta sobre el dipolo es cero porque la fuerza sobre la carga positiva siempre será igual y en dirección opuesta a la fuerza sobre la carga negativa.

Figura\(\PageIndex{3}\): Un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme.

Aunque la fuerza neta sobre el dipolo es cero, todavía hay un par neto alrededor de su centro que hará que el dipolo gire (a menos que el vector dipolo ya sea paralelo al vector de campo eléctrico). Si el vector dipolo forma un ángulo\(\theta\), con el vector de campo eléctrico (como en la Figura\(\PageIndex{3}\)), la magnitud del par neto en el dipolo alrededor de un eje perpendicular a la página y a través del centro del dipolo viene dada por:\[\begin{aligned} \tau=\frac{l}{2}F^+\sin\theta+\frac{l}{2}F^-\sin\theta=\frac{l}{2}QE\sin\theta+\frac{l}{2}QE\sin\theta=QlE\sin\theta=pE\sin\theta\end{aligned}\] En la Figura\(\PageIndex{3}\), el vector de par es en la página (las fuerzas harán que gire en el sentido de las agujas del reloj), que es la misma dirección que el producto cruzado,\(\vec p \times \vec E\). Tenga en cuenta que la magnitud del par también es igual a la magnitud del producto cruzado. Así, en general, el vector de par en un dipolo\(\vec p\), a partir de un campo eléctrico\(\vec E\), viene dado por:

\[\vec\tau = \vec p\times \vec E\]

En particular, tenga en cuenta que el par es cero cuando el dipolo y los vectores de campo eléctrico son paralelos. Así, un dipolo siempre experimentará un par que tiende a alinearlo con el vector de campo eléctrico. El dipolo se encuentra así en un equilibrio estable cuando es paralelo al campo eléctrico.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Cuando un dipolo eléctrico es tal que su vector dipolo es antiparalelo al vector de campo eléctrico, el dipolo es

1. no en equilibrio.
2. en un equilibrio estable.
3. en un equilibrio inestable.

Contestar

También podemos modelar el comportamiento del dipolo usando energía. Si un dipolo se gira lejos de su orientación de equilibrio y luego se libera, ganará energía cinética (rotacional) a medida que intenta regresar al equilibrio, y oscilará alrededor de la posición de equilibrio. Cuando el dipolo se mantiene fuera de equilibrio, podemos pensar en que tiene energía potencial. Para determinar la forma funcional de esa función de energía potencial, consideramos el trabajo realizado en la rotación del dipolo de un ángulo\(\theta_1\) a un ángulo\(\theta_2\) (donde el ángulo está entre el dipolo y los vectores de campo eléctrico):\[\begin{aligned} W&=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2} -pE\sin\theta d\theta=-pE\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta d\theta\\ &=pE[\cos\theta]_{\theta_1}^{\theta_2}=pE\cos\theta_2-pE\cos\theta_1\end{aligned}\] donde el signo negativo en el par es indicar que el par está en la dirección opuesta al aumento\(\theta\) (en la Figura\(\PageIndex{3}\), el par es en sentido horario mientras que el ángulo\(\theta\) aumenta en sentido contrario a las agujas del reloj). El trabajo neto realizado al pasar de la posición\(\theta_1\) a\(\theta_2\) es el negativo del cambio en la energía potencial al pasar de\(\theta_1\) a\(\theta_2\). Así, definimos la energía potencial de un dipolo eléctrico\(\vec p\), en un campo eléctrico\(\vec E\), como:

\[U=-pE\cos\theta =-\vec p\cdot \vec E\]

que tiene un signo negativo, y también reconocemos que esto es equivalente al producto escalar entre\(\vec p\) y\(\vec E\). Tenga en cuenta que el signo negativo tiene sentido porque los sistemas experimentan una fuerza/par que disminuirá su energía potencial. Cuando el ángulo es cero\(\cos\theta=1\),, es máximo. Ya que necesitamos la posición con\(\theta=0\) para tener la energía potencial más baja, el signo menos garantiza que todos los valores\(\theta\) distintos de cero darán una energía potencial que sea mayor (mayor que\((-1) pE\). Recuerda que solo los cambios en la energía potencial son relevantes, por lo que el signo menos no debería molestarte, aunque deberías pensar si tiene sentido.