17.5: Resumen

Podemos definir el flujo de un campo vectorial uniforme y constante\(\vec E\), a través de una superficie plana, como:\[\begin{aligned} \Phi_E = \vec E \cdot \vec A = EA\cos\theta\end{aligned}\] donde\(\vec A\), es un vector que es perpendicular a la superficie con una magnitud igual al área de esa superficie, y,\(\theta\), es el ángulo entre\(\vec A\) y\(\vec E\). El flujo de un campo a través de una superficie es proporcional al número de líneas de campo que cruzan esa superficie. Si la superficie es paralela al campo (\(\vec A\)y por lo tanto\(\vec E\) son perpendiculares), el flujo a través de esa superficie es cero (ninguna línea de campo cruza la superficie, el producto escalar es cero).

Si\(\vec E\) y\(\vec A\) cambiar sobre la superficie (\(\vec E\)y/o\(\vec A\) cambiar la magnitud y/o dirección relativa entre sí a lo largo de la superficie), entonces tratamos la superficie como hecha de elementos de superficie infinitesimales sobre los cuales los dos vectores son constantes. Definimos un vector\(d\vec A\) para que sea perpendicular al elemento de superficie con un área infinitesimal,\(dA\). El flujo total se obtiene entonces sumando los flujos a través de cada elemento superficial:\[\begin{aligned} \Phi_E=\int \vec E \cdot d\vec A=\int EdA\cos\theta\end{aligned}\] Obsérvese que la dirección del vector\(d\vec A\) (o\(\vec A\)) es ambigua, ya que se puede elegir cualquiera de las dos direcciones perpendiculares a una superficie. Por lo general, se elige la dirección de\(\vec A\) para que el flujo sea positivo (es decir,\(\vec A\) tiene un componente paralelo a\(\vec E\)). Sin embargo, si la superficie está “cerrada” (es decir, define un volumen), entonces siempre elegimos la dirección de\(d\vec A\) para que apunte hacia afuera desde la superficie (ya que la superficie encierra un volumen, se puede definir un “interior” y un “exterior”).

En el caso del campo eléctrico, la Ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico desde una superficie cerrada a la cantidad de carga,\(Q^{enc}\), contenida en el volumen encerrado por esa superficie:\[\begin{aligned} \oint \vec E \cdot d\vec A = \frac{Q^{enc}}{\epsilon_0}\end{aligned}\] Físicamente, la Ley de Gauss es una declaración de que las líneas de campo deben comenzar o terminar en una carga (eléctrica las líneas de campo se originan en cargos positivos y terminan con cargos negativos). Si hay un número neto de líneas que salen de una superficie cerrada (un flujo positivo), esa superficie debe encerrar una carga positiva desde donde se originan esas líneas de campo. Del mismo modo, si hay el mismo número de líneas de campo entrando en una superficie cerrada que hay líneas que salen de esa superficie (un flujo de cero), entonces la superficie no encierra carga alguna. La Ley de Gauss establece que el número de líneas de campo que salen de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada por esa superficie.

La Ley de Gauss es útil para determinar el campo eléctrico. Sin embargo, esto solo se puede hacer analíticamente para distribuciones de carga con un grado muy alto de simetría. Esto se debe a que la integral de flujo no suele ser fácil de evaluar a menos que:

1. El campo eléctrico hace un ángulo constante con la superficie. Cuando este es el caso, el producto escalar puede escribirse en términos del coseno del ángulo entre\(\vec E\) y\(d\vec A\), que se puede sacar de la integral si es constante:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A=\oint E\cos\theta dA=\cos\theta\oint EdA\end{aligned}\]
2. El campo eléctrico es constante en magnitud a lo largo de la superficie. Cuando este es el caso, la integral puede simplificarse aún más por factor de salida\(E\), y simplemente se convierte en una integral sobre\(dA\) (que corresponde al área total de la superficie,\(A\)):\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A=\cos\theta\oint EdA =E\cos\theta\oint dA=EA\cos\theta \end{aligned}\]

Tenga en cuenta que la Ley de Gauss no especifica una superficie cerrada sobre la cual calcular el flujo; se sostiene para cualquier superficie. Así podemos elegir una superficie que haga que el flujo integral sea fácil de evaluar; a esta elección la llamamos “superficie gaussiana” (no porque tenga alguna propiedad especial, sino porque elegimos esa superficie para aplicar la Ley de Gauss). Un procedimiento para aplicar la Ley de Gauss para determinar el campo eléctrico en algún momento del espacio puede escribirse como:

1. Hacer un diagrama que muestre la distribución de carga.
2. Utilice argumentos de simetría para determinar de qué manera apunta el vector de campo eléctrico.
3. Elija una superficie gaussiana que pase por el punto para el que desea conocer el campo eléctrico. Idealmente, la superficie es tal que el campo eléctrico es constante en magnitud y siempre hace el mismo ángulo con la superficie, de manera que la integral de flujo es sencilla de evaluar.
4. Calcular el flujo,\(\oint \vec E\cdot d\vec A\).
5. Calcular la cantidad de carga en el volumen encerrado por la superficie,\(Q^{enc}\).
6. Aplicar Ley de Gauss,\(\oint \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q^{enc}}{\epsilon_0}\).

Mostramos cómo se puede usar la Ley de Gauss para comprender y cuantificar cómo se arreglan las cargas en un conductor, de tal manera que el campo eléctrico es cero en todas partes del conductor. Finalmente, presentamos brevemente una versión más moderna de la Ley de Gauss que utiliza divergencia en lugar de flujo:\[\begin{aligned} \nabla \cdot \vec E &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\end{aligned}\] Esta última versión tiene la ventaja de que relaciona una propiedad local del campo (divergencia) con una propiedad local de carga (densidad de carga en alguna posición en el espacio).

Ecuaciones Importantes

Ley de Gauss:

\[\begin{aligned} \Phi & = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\\ \Phi &= \int \vec E \cdot d \vec A\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Flujo eléctrico: Una medida del número de líneas de campo eléctrico que cruzan una superficie. Unidades SI:\([\text{Vm}]\). Variable (s) común (es):\(\Phi_E\).