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18.4: Campo eléctrico y potencial en la superficie de un conductor

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    Si consideramos una esfera conductora de radio,\(R\), con carga\(+Q\), el campo eléctrico en la superficie de la esfera viene dado por:\[\begin{aligned} E=k\frac{Q}{R^2}\end{aligned}\] como encontramos en el Capítulo 17. Si definimos que el potencial eléctrico es cero en el infinito, entonces el potencial eléctrico en la superficie de la esfera viene dado por:\[\begin{aligned} V=k\frac{Q}{R}\end{aligned}\] En particular, el campo eléctrico en la superficie de la esfera está relacionado con el potencial eléctrico en su superficie por:\[\begin{aligned} E=\frac{V}{R}\end{aligned}\] Así, si dos esferas están a la misma eléctrica potencial, el que tenga el radio más pequeño tendrá un campo eléctrico más fuerte en su superficie.

    Debido a que una esfera conductora es simétrica, las cargas se distribuirán simétricamente alrededor de toda la superficie exterior de la esfera. La carga por unidad de área\(\sigma\),, en la superficie de la esfera viene así dada por:\[\begin{aligned} \sigma &= \frac{Q}{4\pi R^2}\end{aligned}\] La densidad de carga puede estar relacionada con el campo eléctrico en la superficie de la esfera:\[\begin{aligned} E&=k\frac{Q}{R^2}=k\frac{4\pi R^2\sigma}{R^2}=4\pi\sigma k=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\end{aligned}\] donde en la última igualdad, usamos\(k\) con\(\epsilon_0\) y confirmamos el resultado general de la Sección 17.3, donde determinamos el campo eléctrico cerca de un conductor con carga superficial,\(\sigma\).

    Considera una esfera de radio,\(R_1\), que lleva carga total,\(+Q\). Una segunda esfera conductora neutra, más pequeña, de radio,\(R_2\) se conecta entonces a la primera esfera, utilizando un cable conductor, como en la Figura\(\PageIndex{1}\).

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Dos esferas conductoras están conectadas por un cable conductor. La carga\(Q\) que originalmente estaba en la esfera más grande se distribuye sobre las dos esferas.

    Debido a que las cargas en la esfera grande pueden moverse libremente, algunas de ellas se moverán a la esfera más pequeña. Muy rápidamente, las cargas dejarán de moverse y las esferas de radio,\(R_1\) y\(R_2\), terminarán llevando cargas,\(Q_1\) y\(Q_2\), respectivamente (suponemos que el cable es lo suficientemente pequeño como para que se distribuyan cantidades insignificantes de carga en el cable). Dado que las dos esferas conductoras están conectadas por un conductor, forman un equipotencial, y por lo tanto están al mismo voltaje,\(V\), relativo al infinito. Dado que las dos esferas están al mismo potencial eléctrico, el campo eléctrico en la superficie de cada esfera están relacionados:\[\begin{aligned} E_1&=\frac{V}{R_1}\\ E_2&=\frac{V}{R_2}\\ \therefore \frac{E_2}{E_1}&=\frac{R_1}{R_2}\\ \therefore E_2&=E_1\frac{R_1}{R_2}\end{aligned}\] y el campo eléctrico en la superficie de la esfera más pequeña,\(E_2\), es más fuerte desde entonces\(R_2<R_1\). También podemos comparar las densidades de carga superficial en las dos esferas:\[\begin{aligned} E_1&=\frac{\sigma_1}{\epsilon_0}\\ E_2&=\frac{\sigma_2}{\epsilon_0}\\ \therefore \frac{\sigma_2}{\sigma_1}&=\frac{E_2}{E_1}=\frac{R_1}{R_2}\\ \therefore \sigma_2&=\sigma_1 \frac{R_1}{R_2}\end{aligned}\] y encontramos que la densidad de carga es mayor en la esfera más pequeña. Así, hay más cargas por unidad de área en la esfera más pequeña que en la esfera más grande.

    Podemos generalizar este modelo para describir los cargos en cualquier objeto conductor cargado. Si se depositan cargos sobre un objeto conductor que no es una esfera, como en la Figura\(\PageIndex{2}\), no se distribuirán uniformemente. En cambio, habrá una mayor densidad de carga (cargas por unidad de área), cerca de partes del objeto que tengan un radio de curvatura pequeño (puntos agudos en el objeto en particular), así como la densidad de carga fue mayor en la esfera más pequeña descrita anteriormente. Como consecuencia de la mayor concentración de cargas cerca de las partes “puntiagudas” del objeto, el campo eléctrico en la superficie será el más fuerte en esas regiones (ya que es más fuerte en la superficie de la esfera más pequeña descrita anteriormente).

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    Figura\(\PageIndex{2}\): En un conductor irregular, las cargas se acumularán en los puntos más afilados, donde el radio de curvatura es menor.

    En el aire, si el campo eléctrico excede una magnitud de aproximadamente\(3\times 10^{6}\text{V/m}\), se dice que el aire “se descompone eléctricamente”. El fuerte campo eléctrico puede eliminar electrones de los átomos en el aire, ionizando el aire en una reacción en cadena y haciéndolo conductor. Así, si el campo eléctrico en un punto de la superficie de un conductor es muy fuerte, el aire cercano a ese punto se descompondrá, y las cargas saldrán del conductor, a través del aire, para encontrar una ubicación con menor energía potencial eléctrico (generalmente la tierra). La avería eléctrica es lo que experimentamos como una chispa (o relámpago, a mayor escala), y suele ser un evento discreto (y potencialmente dramático). La descarga de corona es otro mecanismo mediante el cual el fuerte campo eléctrico puede hacer que el aire sea conductor, pero en este caso las cargas se fugan al aire de manera más gradual, a diferencia del caso de avería eléctrica. Las cargas que se filtran al aire a través de la descarga de Corona emitirán una tenue luz azulada (la “Corona”) así como un silbante audible.

    Los objetos que están diseñados para mantener un alto potencial eléctrico (por ejemplo los electrodos en líneas de alto voltaje) generalmente se hacen con mucho cuidado para que tengan una superficie muy lisa y sin bordes afilados. Esto reduce el riesgo de avería o descarga de corona en la superficie, lo que resultaría en una pérdida de carga.

    Contrariamente a la creencia popular, los pararrayos no están diseñados para atraer rayos. En cambio, los pararrayos están diseñados para ser conductores con una punta muy afilada, de manera que la descarga de corona pueda ocurrir en su punta. Esto permite que las cargas se fuguen lentamente de la Tierra hacia la nube a través de la descarga de Corona, reduciendo así la diferencia de potencial entre la nube y la Tierra para que no se produzca un rayo (avería eléctrica). Cuando ocurre un rayo, golpeará el pararrayos, ya que el campo eléctrico en la parte superior de la barra es alto y ese es el punto más probable para que el aire se descomponga; pero, ¡ese no es el objetivo del pararrayos!


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