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19.7: Resumen

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    Claves para llevar

    La corriente eléctrica,\(I\), se define como la velocidad a la que las cargas cruzan algún plano (por ejemplo, un plano perpendicular a un cable) por unidad de tiempo. Es decir, si una cantidad de carga,\(\Delta Q\), entra en un cable durante una cantidad de tiempo,\(\Delta t\), la corriente,\(I\), en ese cable se define como:\[\begin{aligned} I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{dQ}{dt}\end{aligned}\] donde se toma una derivada si la velocidad a la que se mueven las cargas no es constante con el tiempo.

    La corriente eléctrica es una cantidad macroscópica que se puede medir. La corriente convencional se define como positiva en la dirección en la que fluyen las cargas positivas. En la mayoría de las situaciones, son los electrones los que se mueven dentro de un conductor, por lo que la corriente se define como positiva en la dirección opuesta al movimiento real de los electrones (negativos).

    La densidad de corriente\(\vec j\),, se define como la corriente por unidad de área en algún punto en un conductor, y es un vector en la dirección del campo eléctrico,\(\hat E\), en ese punto:\[\begin{aligned} \vec j = \frac{I}{A}\hat E\end{aligned}\] La densidad de corriente puede estar relacionada con el movimiento microscópico de las cargas dentro del conductor. Si la densidad de corriente\(\vec j\),, se conoce, la corriente correspondiente,\(I\), que cruza una superficie con área,\(A\), y vector normal,\(\hat n\), viene dada por:\[\begin{aligned} I=A \vec j\cdot \hat n=\int \vec j \cdot d\vec A\end{aligned}\] donde se debe tomar la integral si la densidad de corriente no es constante sobre la superficie.

    Un material conductor a través del cual fluye la corriente se llama resistencia. Cuando se aplica una diferencia de potencial a través de una resistencia, el campo eléctrico resultante impulsará el flujo de electrones a través de la resistencia. Los electrones fluirán con una “velocidad de deriva” promedio\(\vec v_d\), que es mucho menor que la velocidad real (Fermi) de los electrones en el material. Dentro de la resistencia, los electrones se aceleran constantemente antes de que choquen con átomos en el material perdiendo su energía cinética, y luego acelerando de nuevo. Así, la energía potencial que está disponible para los electrones se “usa” para calentar la resistencia, y los electrones, en promedio, se desplazan bastante lentamente a través de la resistencia.

    La densidad de corriente en una resistencia puede estar relacionada con la velocidad de deriva de los electrones y la “densidad de electrones libres” en el material,\(n\):\[\begin{aligned} \vec j = -en\vec v_d\end{aligned}\] donde\(e\), es la magnitud de la carga de los electrones y el signo menos indica que la densidad de corriente es en la dirección opuesta a la velocidad de los electrones (negativos).

    Ley de Ohm establece que la densidad de corriente\(\vec j\),, en algún momento en el conductor es proporcional al campo eléctrico\(\vec E\),, en ese punto:\[\begin{aligned} \vec j=\sigma \vec E=\frac{1}{\rho}\vec E\end{aligned}\] donde la constante de proporcionalidad\(\sigma\),, se llama la “conductividad” del material (y es una propiedad del material a través del cual fluye la corriente). La resistividad,\(\rho\), es una propiedad material que es simplemente la inversa de la conductividad. Ambas propiedades son una medida de cuán grande existirá una corriente (o densidad de corriente) en un material dado un cierto campo eléctrico. Por ejemplo, la conductividad de un material aislante es cercana a cero (y su resistividad cercana al infinito).

    Para la mayoría de los materiales, la resistividad suele aumentar linealmente con la temperatura:\[\begin{aligned} \rho(T)=\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}\] donde\(\rho_0\) está la resistividad medida a alguna temperatura de referencia,\(T_0\) (generalmente\(10^{\circ}\text{C}\)), y\(\alpha\), es el “coeficiente de temperatura” para eso material. Tenga en cuenta que este modelo de resistividad no se sostiene para temperaturas extremas (muy frías o muy calientes), y para algunos materiales, la resistividad disminuye con la temperatura (\(\alpha\)es negativa).

    Si aplicamos la Ley de Ohm a una resistencia de longitud,\(L\), área de sección transversal\(A\),, hecha de un material con resistividad,\(\rho\), encontramos que la diferencia de potencial aplicada a través de la resistencia,\(\Delta V\), es proporcional a la corriente que fluye a través de la resistencia:\[\begin{aligned} \Delta V =\rho \frac{L}{A} I\end{aligned}\] La constante de proporcionalidad depende del material con el que esté hecha la resistencia (a través de la resistividad) y de las dimensiones de la resistencia (a través de la longitud y el área de la sección transversal). La constante de proporcionalidad se llama la “resistencia” de la resistencia,\(R\): La ley de\[\begin{aligned} R=\rho \frac{L}{A}\end{aligned}\] Ohm a menudo se escribe para una resistencia como la relación entre la corriente a través de la resistencia,\(I\), y la diferencia de potencial a través de la resistencia, \(\Delta V\):\[\begin{aligned} \Delta V = RI\end{aligned}\] aunque, técnicamente, la Ley de Ohm es la relación entre densidad de corriente y campo eléctrico.

    Las resistencias se pueden combinar en serie, en cuyo caso, la resistencia efectiva de la combinación se encuentra sumando las resistencias de las resistencias individuales:\[\begin{aligned} R_{eff}=R_1+R_2+R_2+\dots\quad\text{(Series resistors)}\end{aligned}\] Cuando se combinan en paralelo, la inversa de la resistencia efectiva viene dada por la inversa de la suma de la inversa de las resistencias del resistencias individuales:\[\begin{aligned} R_{eff}=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\dots}\quad\text{(Parallel resistors)}\end{aligned}\]

    A medida que las cargas se mueven a través de una resistencia\(R\), bajo una diferencia de potencial\(\Delta V\), y corriente\(I\), transfieren su energía cinética para calentar la resistencia. La velocidad a la que transfieren la energía, también llamada la “potencia disipada en la resistencia”, viene dada por:\[\begin{aligned} P=I \Delta V=\frac{(\Delta V)^2}{R}=I^2R\end{aligned}\] donde se pueden obtener las diversas combinaciones aplicando la versión macroscópica de la Ley de Ohm.

    Los enchufes eléctricos en nuestra vida cotidiana proporcionan una tensión “alterna”\(\Delta V(t)\), que oscila sinusoidalmente:\[\begin{aligned} \Delta V(t)=\Delta V_0\sin(\omega t)\end{aligned}\] con una amplitud máxima,\(\Delta V_0\), y una frecuencia angular,\(\omega = 2\pi f\). Cuando se aplica esta diferencia de potencial a través de una resistencia, se forma una corriente alterna, en la que los electrones se mueven hacia adelante y hacia atrás, sin desplazamiento neto:\[\begin{aligned} I(t)=\frac{\Delta V_0}{R}=I_0\sin(\omega t)\end{aligned}\] Aunque no hay desplazamiento neto, los electrones seguirán transfiriendo energía a la resistencia en forma de calor. La velocidad promedio a la que se disipa la potencia en la resistencia viene dada por:\[\begin{aligned} \bar P=\frac{1}{2}RI_0^2\end{aligned}\] Introducimos la corriente “media cuadrática” (voltaje),\(I_{rms}\) (\(\Delta V_{rms}\)), como una corriente efectiva promedio (voltaje):\[\begin{aligned} I_{rms}&=\frac{1}{\sqrt 2}I_0\\ \Delta V_{rms}&=\frac{1}{\sqrt 2}\Delta V_0\end{aligned}\] tal que la potencia se puede expresar usando una fórmula similar como en el caso de la corriente continua, utilizando los valores de raíz cuadrática media:\[\begin{aligned} \bar P = I_{rms}^2R = I_{rms}\Delta V_{rms}=\frac{(\Delta V_{Rms})^2}{R}\end{aligned}\] Existen dos tipos principales de peligros asociados al uso de la electricidad: fuego y electrocución. Los incendios eléctricos pueden surgir cuando una corriente grande pasa a través de un cable, ya que esto disipará una gran cantidad de calor en el cable (lo que podría prender fuego a su aislamiento u otros elementos inflamables cercanos). La electrocución ocurre cuando una corriente atraviesa el cuerpo humano. Si una corriente anterior\(\sim 80\text{mA}\) cruza la parte superior del cuerpo, esto puede resultar en fibrilación ventricular, por lo que el corazón late de manera muy irregular. Por supuesto, uno también puede ser quemado por una gran corriente. La cantidad de corriente a través del cuerpo es lo que determinará en última instancia la gravedad de las lesiones, y es por ello que a menudo se escucha que “es la corriente la que mata”. Un voltaje grande puede no conducir a una corriente grande si la resistencia de la persona es grande o si la fuente de alimentación no puede proporcionar una corriente grande a ese voltaje grande.

    Ecuaciones Importantes

    Actual:

    \[\begin{aligned} I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{dQ}{dt} \end{aligned}\]

    Densidad de corriente:

    \[\begin{aligned} \vec j = \frac{I}{a}\hat E \\ I = \int \vec j \cdot d \vec A\end{aligned}\]

    Modelo microscópico de corriente:

    \[\begin{aligned} \vec j = -en \vec v_d\end{aligned}\]

    Ley de Ohm:

    \[\begin{aligned} \vec j = \sigma \vec E\end{aligned}\]

    Resistividad:

    \[\begin{aligned} \rho = \frac{1}{\sigma}\\ \rho(T)=\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}\]

    Resistencia:

    \[\begin{aligned} R = \rho \frac{L}{A}\end{aligned}\]

    Ley de Ohm (macroscópica):

    \[\begin{aligned} \Delta V = R I\end{aligned}\]

    Combinando resistencias:

    \[\begin{aligned} R_{eff}&=R_1+R_2+R_2+\dots\quad\text{(Series)}\\ R_{eff}&=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\dots}\quad\text{(Parallel)}\end{aligned}\]

    Potencia disipada en una resistencia:

    \[\begin{aligned} P=I \Delta V=\frac{(\Delta V)^2}{R}=I^2R\end{aligned}\]

    Voltaje y corriente RMS:

    \[\begin{aligned} I_{rms}&=\frac{1}{\sqrt 2}I_0\\ \Delta V_{rms}&=\frac{1}{\sqrt 2}\Delta V_0\end{aligned}\]

    Definiciones importantes

    Definición

    Corriente: La velocidad a la que las cargas fluyen a través de una superficie determinada. Unidades SI:\([\text{A}]\). Variable (s) común (es):\(I\).

    Definición

    Densidad de corriente: Una medida de corriente por unidad de área, en la dirección del campo eléctrico local. Unidades SI:\([\text{Am}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\vec j\).

    Definición

    Resistencia: Una medida de la oposición de un objeto específico al flujo de carga. Unidades SI:\([\Omega]\). Variable (s) común (es):\(R\).

    Definición

    Resistividad: Una medida de la oposición de un material al flujo de carga. Unidades SI:\([\Omega \text{m}]\). Variable (s) común (es):\(\rho\).

    Definición

    Conductividad: La inversa de la resistividad. Unidades SI:\([\Omega ^{-1}\text{m}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\sigma\).

    Definición

    Velocidad de deriva: La velocidad promedio de un electrón que deriva en un conductor bajo la influencia de un campo eléctrico. Unidades SI:\([\text{ms}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\vec v_{d}\).


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