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19.9: Problemas y soluciones de la muestra

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Un alambre cilíndrico como densidad de corriente que aumenta con el radio como\(j(r) = ar\)\(r\), donde, es la distancia radial desde el centro del alambre, y\(a\), es una constante. Si el cable tiene un radio de\(R = 1.5\text{cm}\), ¿cuál es la corriente total en el cable?

    Contestar

    Para determinar la corriente a través de toda la sección transversal del cable, primero dividimos la sección transversal del cable en anillos concéntricos infinitesimalmente pequeños de radio,\(r\), y ancho,\(dr\). El área transversal de un anillo viene dada por: de\[\begin{aligned} dA = 2\pi r dr\end{aligned}\] modo que la corriente a través de un anillo viene dada por:\[\begin{aligned} dI = j(r) dA = 2\pi a r^2 dr\end{aligned}\] La corriente a través de todo el cable se encuentra entonces sumando las corrientes a través de cada anillo:\[\begin{aligned} I=\int dI = \int_0^R 2\pi a r^2 dr=\frac{2}{3}\pi aR^3\end{aligned}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Una resistencia se mide para tener una resistencia de\(R_1=103.4 \Omega\) a una temperatura de\(T_1=30^{\circ}\text{C}\), y una resistencia de\(R_2=106.8\Omega\) a una temperatura de\(T_1=40^{\circ}\text{C}\). Usando los valores de la Tabla 19.3.1, determine el material del que está hecha la resistencia.

    Contestar

    Para determinar el material de la resistencia, podemos encontrar el coeficiente de temperatura,\(\alpha\), ya que se nos dan mediciones de resistencia,\(R_1\) y\(R_2\), a dos temperaturas diferentes,\(T_1\), y\(T_2\), respectivamente. La temperatura de referencia se establece para que sea\(T_0=20^{\circ}\text{Celsius}\), para que podamos compararla con la Tabla 19.3.1.

    Sabemos que la resistencia variará con la temperatura, ya que la resistividad es dependiente de la temperatura. La dependencia de la temperatura de la resistividad viene dada por:

    \[\begin{aligned} \rho(T)=\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}\]

    Si la resistencia tiene longitud\(L\), y área de sección transversal\(A\),, tendrá resistencia\(R\), dada por:

    \[\begin{aligned} R(T)=\rho(T) \frac{L}{A}=\frac{\rho_0 L}{A}[1+\alpha(T-T_0)]=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}\]

    donde\(R_0\) está la resistencia a la temperatura de referencia,\(T_0\). Dado que se nos da la resistencia a dos temperaturas diferentes, podemos determinar ambas\(\alpha\) y\(R_0\), para una elección de\(T_0=20^{\circ}\text{C}\):

    \[\begin{aligned} R_1&=R_0[1+\alpha(T_1-T_0)]\\ R_2&=R_0[1+\alpha(T_2-T_0)]\\ \therefore\frac{R_1}{R_2}&=\frac{1+\alpha(T_1-T_0)}{1+\alpha(T_2-T_0)}\\ R_1 [1+\alpha(T_2-T_0)]&=R_2 [1+\alpha(T_1-T_0)]\\ \alpha \left( R_1(T_2-T_0) - R_2(T_2-T_0) \right)&=R_2-R_1\\ \therefore \alpha &= \frac{R_2-R_1}{R_1(T_2-T_0) - R_2(T_1-T_0) }\\ &=\frac{(106.8\Omega) - (103.4\Omega)}{(103.4\Omega)((40^{\circ}\text{Celsius})-(20^{\circ}\text{Celsius})) - (106.8\Omega)((30^{\circ}\text{Celsius})-(20^{\circ}\text{Celsius})) }\\ &=0.0034\end{aligned}\]Refiriéndose al Cuadro 19.3.1, el material probablemente podría ser oro.


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