20.2: Reglas de Kirchhoff

Las reglas de Kirchhoff corresponden a conceptos que ya hemos cubierto, pero nos permiten modelar fácilmente circuitos más complejos, por ejemplo, aquellos en los que hay más de un camino para que tome la corriente. Las reglas de Kirchhoff se refieren a “cruces” y “bucles”. Las uniones y los bucles dependen únicamente de la forma del circuito, y no de los componentes del circuito. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra un circuito sin componentes para ilustrar lo que se entiende por una unión y un bucle.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un circuito que tiene\(3\) bucles y\(2\) uniones.

Las ubicaciones en puntos\(d\) y se\(c\) consideran “cruces”, porque hay más de\(2\) segmentos de cable conectados a ese punto. Los puntos en ubicaciones\(a\),\(b\),\(e\) y\(f\) solo tienen dos segmentos de cable conectados a ellos. El circuito en la Figura tiene\(\PageIndex{1}\) así\(2\) uniones.

Un bucle es una trayectoria cerrada que se puede trazar alrededor del circuito sin pasar dos veces sobre el mismo segmento de cable. El circuito de la Figura\(\PageIndex{1}\) tiene\(3\) tales bucles, los cuales podemos identificar usando las letras en los diversos nodos del circuito:

1. \(abcda\)
2. \(abcefda\)
3. \(dcefd\)

Tenga en cuenta que no importa dónde se inicia uno en el bucle, solo que uno puede identificar cuántos bucles diferentes están presentes en el circuito.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Disposición del circuito.

¿Cuántos bucles y uniones tiene el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\)?

1. El circuito tiene cinco bucles y cuatro cruces
2. El circuito tiene tres bucles y ocho cruces
3. El circuito tiene siete bucles y cuatro cruces.
4. El circuito tiene cuatro bucles y cuatro cruces.

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Regla de cruce

La regla de cruce establece que: La corriente que ingresa a un cruce debe ser igual a la corriente que sale de un cruce.

Esto es de hecho una simple declaración sobre la conservación de la carga. Si las cargas fluyen hacia una unión (desde uno o más segmentos de alambre en esa unión), entonces la misma cantidad de cargas debe fluir hacia atrás fuera de la unión (a través de uno o más segmentos diferentes de cable).

Considere la unión ilustrada en la Figura\(\PageIndex{3}\), compuesta por\(5\) segmentos de alambre, cada uno con una corriente diferente. Como se muestra, las corrientes\(I_1\) y\(I_4\) fluyen hacia la unión, mientras que las corrientes\(I_2\),\(I_3\) y\(I_5\) todas fluyen fuera de la unión.

Figura\(\PageIndex{3}\): Una unión con\(5\) segmentos y\(5\) corrientes.

La regla de cruce establece que la corriente que ingresa al cruce debe ser igual a la corriente que sale del cruce. Esto nos permite relacionar las corrientes entre sí en una ecuación:\[\begin{aligned} \text{incoming currents}&=\text{outgoing currents}\\ I_1+I_4 &=I_2+I_3+I_4\end{aligned}\]

Regla de Bucle

La regla de bucle establece que: La caída de voltaje neta a través de un bucle debe ser cero.

Esta es una declaración sobre la conservación de la energía, que ya señalamos en el Ejemplo 20.1.1. Una vez que haya identificado un bucle específico, si traza un camino cerrado alrededor del bucle, el potencial eléctrico debe ser el mismo al final del camino que al inicio del camino (ya que es literalmente el mismo punto en el espacio). Esto significa que si hay una caída de voltaje a lo largo de la ruta (por ejemplo, debido a una o más resistencias), entonces debe haber aumentos de voltaje equivalentes en algún otro lugar de la ruta (por ejemplo, debido a una o más baterías). Si este no fuera el caso, sería posible tener un camino donde las cargas pudieran ganar una cantidad neta de energía dando vueltas por ese camino, lo que podrían seguir haciendo indefinidamente y crear una cantidad infinita de energía; en cambio, si las cargas ganan energía potencial en una batería, entonces deben perder exactamente lo mismo cantidad de energía dentro de una o más resistencias a lo largo del camino.

La figura\(\PageIndex{4}\) muestra un bucle (que podría ser parte de un circuito más grande) al que podemos aplicar la regla de bucle. El bucle contiene dos baterías, orientadas en direcciones opuestas (lo que normalmente no sería un buen uso de las baterías), como lo ilustran las flechas de la batería.

Figura\(\PageIndex{4}\): Un bucle con\(2\) baterías y\(3\) resistencias.

El procedimiento para aplicar la regla de bucle es el siguiente:

1. Identificar el bucle, incluyendo la posición inicial y la dirección.
2. Comience al comienzo del bucle, y trace alrededor del bucle.
3. Cada vez que se encuentre una batería, agregue el voltaje de la batería si está trazando el bucle en la misma dirección que la flecha de la batería correspondiente, restar el voltaje de lo contrario.
4. Cada vez que se encuentre una resistencia, reste el voltaje a través de esa resistencia (\(RI\), de la Ley de Ohm) si traza el bucle en la misma dirección que la corriente, agregue el voltaje de lo contrario.
5. Una vez que hayas rastreado hasta el punto de partida, la suma resultante debe ser cero.

Para ilustrar el procedimiento, trazamos el bucle\(abcedfga\) en la Figura\(\PageIndex{4}\). Así partimos en el punto\(a\) y trazamos el bucle en sentido contrario a las agujas del reloj.

• Entre puntos\(a\) y\(b\) nos encontramos con una batería, y estamos trazando en la dirección opuesta a la flecha de esa batería, así restamos el voltaje de esa batería:\(-\Delta V_1\).
• Entre puntos\(b\) y\(c\), nos encontramos con una batería, y estamos trazando en la misma dirección que la flecha de esa batería, así que agregamos el voltaje de esa batería:\(+\Delta V_2\).
• No le pasa nada al potencial a lo largo del cable desde\(c\) hasta\(d\).
• Entre puntos\(d\) y\(e\), nos encontramos con una resistencia, y estamos trazando en la misma dirección que la corriente a través de esa resistencia, así que resta el voltaje a través de esa resistencia:\(-R_1I\)).
• De igual manera, restamos los voltajes a través de las resistencias\(R_2\) y\(R_3\), como estamos trazando en la misma dirección que la corriente a través de esas resistencias:\(-IR_2-IR_3\).
• Estamos de vuelta al inicio del bucle, por lo que los términos deben sumar a cero.

Ahora podemos usar la regla de bucle, que establece que la suma de los voltajes anteriores debe ser cero:\[\begin{aligned} -\Delta V_1 + \Delta V_2 - R_1I - R_2I - R_3I = 0\quad \text{(loop abcdefga)}\end{aligned}\] Esta ecuación nos da entonces una relación entre las diversas cantidades (corriente, resistencias, voltajes de batería) en el circuito que se puede utilizar para modelar el circuito.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que la ecuación que describe el bucle\(abcdefga\) (Figure \(\PageIndex{4}\)) was obtained from a different starting position and the loop was traced in the opposite direction. Would this produce a different equation?

1. Sí, la ecuación sería incorrecta si el bucle se traza en la dirección opuesta al flujo de corriente.
2. Sí, la ecuación debe comenzar desde el punto\(a\) porque el creador del circuito asume que la persona que calcula la corriente y el voltaje comenzará en el punto\(a\).
3. Sí, no hay un punto de partida incorrecto, pero elegir trazar el circuito en la dirección opuesta al flujo de corriente produciría una ecuación incorrecta.
4. No, no hay dirección o punto de partida incorrectos.

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