21.7: Resumen

Claves para llevar

Para describir la fuerza magnética, se introdujo el campo magnético,\(\vec B\). Si bien hay algunas similitudes con el campo eléctrico, la diferencia clave en el magnetismo es que no hay “cargas magnéticas” (las llamadas monopolos), y los imanes así siempre tienen un polo Norte y uno Sur. Como resultado, las líneas de campo magnético nunca terminan y siempre deben formar bucles cerrados. El campo magnético apunta en la dirección de la fuerza que se ejercería sobre el polo Norte de un imán colocado en esa posición.

Las cargas eléctricas pueden sentir una fuerza de un campo magnético solo si se mueven con relación al marco de referencia en el que se describe el campo magnético. Si una carga,\(q\), tiene velocidad\(\vec v\),, en un campo magnético\(\vec B\),, sentirá una fuerza magnética dada por:\[\begin{aligned} \vec F_B =q \vec v \times \vec B\end{aligned}\] La fuerza magnética no puede hacer trabajo, ya que siempre actúa en una dirección perpendicular a la velocidad (y así al desplazamiento). El campo magnético actúa en direcciones opuestas para cargas de signos opuestos.

En un campo magnético uniforme, una partícula cargada con vector de carga\(q\)\(m\), masa y velocidad\(\vec v\), perpendicular a un campo magnético\(\vec B\), sufrirá un movimiento circular uniforme, con un radio de ciclotrón\(R\), dado por:\[\begin{aligned} R &= \frac{mv}{qB}\end{aligned}\]

Un cable recto de longitud\(l\), transportando corriente\(I\), experimentará una fuerza magnética en un campo magnético,\(\vec B\):\[\begin{aligned} \vec F_B = I \vec l \times \vec B\end{aligned}\] donde el vector\(\vec l\) apunta en la misma dirección que la corriente.

Si el cable es curvo (o el campo magnético cambia de dirección a lo largo del alambre), entonces podemos integrar la fuerza,\(d\vec F\), ejercida sobre cada sección infinitesimal de alambre con longitud,\(d\vec l\). Nuevamente, la dirección de\(d\vec l\) está en la misma dirección que la corriente en el cable. La fuerza infinitesimal sobre una sección infinitesimal de alambre, viene dada por:\[\begin{aligned} d\vec F = I d\vec l \times \vec B\end{aligned}\]

Un bucle cerrado de alambre que transporta corriente no experimentará fuerza neta en un campo magnético uniforme. Sin embargo, experimentará un par, si el bucle no está “alineado” con el campo magnético (el par es cero si el campo magnético es perpendicular al plano del bucle). Definimos el momento dipolar magnético,\(\vec \mu\) de un bucle de alambre que transporta corriente,\(I\), para ser un vector con magnitud:\[\begin{aligned} \mu = IA\end{aligned}\] donde\(A\) está el área encerrada por el bucle. El vector de momento dipolo magnético es perpendicular al plano del bucle, y apunta en la dirección dada por la regla de la derecha para vectores axiales aplicados a la corriente (piense en la corriente como que gira en el bucle).

El par de torsión de un campo magnético\(\vec B\),, ejercido sobre un bucle con un momento dipolo magnético\(\vec \mu\), viene dado por:\[\begin{aligned} \vec \tau = \vec \mu \times \vec B\end{aligned}\] El par es cero cuando el vector de momento dipolo magnético es paralelo al vector de campo magnético (correspondiente a que el bucle esté “alineado” con el campo magnético). Uno puede pensar en el momento dipolo magnético como un pequeño imán de barra, o la aguja de una brújula, que siempre experimenta un par para alinearlo con un campo magnético.

Podemos definir la energía potencial de un momento dipolar magnético en un campo magnético como:\[\begin{aligned} U= -\vec \mu \cdot \vec B = \mu B \cos\theta\end{aligned}\]

El efecto Hall se puede observar cuando la corriente fluye a través de una losa que se sumerge en un campo magnético que es perpendicular a la losa. A medida que los electrones se mueven longitudinalmente a través de la losa, también serán empujados hacia un lado por la fuerza magnética, resultando en un exceso de carga negativa en ese lado. Luego se establece una diferencia de potencial eléctrico (el “potencial Hall”) entre los dos lados de la losa (en la dirección perpendicular al movimiento de los electrones). El potencial Hall viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta V_{Hall}&= v_d wB\end{aligned}\] donde\(w\) está el ancho de la losa en la dirección perpendicular,\(B\) es la fuerza del campo magnético, y\(v_d\) es la velocidad de deriva de los electrones. El uso más común del efecto Hall es construir una sonda Hall para medir campos magnéticos. Sin embargo, las sondas Hall también pueden medir la velocidad de deriva de los electrones y otras propiedades microscópicas. El signo del potencial Hall también indica la señal de las cargas moviéndose en la losa.

Hay muchas aplicaciones de la fuerza magnética en nuestra vida diaria, incluyendo motores eléctricos, altavoces, tubos de rayos catódicos, espectrómetros de masas y galvanómetros.

Ecuaciones Importantes

Fuerza magnética sobre una carga móvil:

\[\begin{aligned} \vec F_B &= q\vec v\times \vec B\end{aligned}\]

Fuerza magnética en un cable portador de corriente:

\[\begin{aligned} \vec F_B = I \vec l \times \vec B\end{aligned}\]

Radio de ciclotrón:

\[\begin{aligned} R &= \frac{mv}{qB}\end{aligned}\]

Momento dipolo magnético:

\[\begin{aligned} \mu = IA\end{aligned}\]

Torsión en un dipolo magnético:

\[\begin{aligned} \vec \tau &= \vec \mu \times \vec B\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Campo magnético: Campo utilizado para modelar la fuerza magnética. Unidades SI:\([\text{T}]\). Variable (s) común (es):\(\vec B\).

Definición

Momento dipolar magnético: Propiedad de un objeto que describe el par que experimentará en un campo magnético. Unidades SI:\([\text{C}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{S}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\vec \mu\).