22.2: Fuerza entre dos alambres portadores de corriente

Considere dos cables rectos paralelos infinitos,\(h\) separados a una distancia, transportando corrientes ascendentes,\(I_{1}\) y\(I_{2}\), respectivamente, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos cables paralelos portadores de corriente ejercerán una fuerza atractiva entre sí, si sus corrientes están en la misma dirección.

El primer cable creará un campo magnético,\(\vec B_{1}\), en forma de círculos concéntricos con el alambre. En la posición del segundo cable, el campo magnético\(B_{1}\) está en la página, y tiene una magnitud:

\[\begin{aligned} B_{1}=\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi h} \end{aligned}\]

Dado que el segundo cable lleva una corriente,\(I_{2}\), hacia arriba, experimentará una fuerza magnética,\(\vec F_{2}\), desde el campo magnético,\(B_{1}\), es decir hacia la izquierda (como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\) y determinada a partir de la regla de la derecha). La fuerza magnética\(\vec F_{2}\), ejercida sobre una sección de longitud,\(l\), sobre el segundo cable tiene una magnitud dada por:

\[\begin{aligned} F_{2}=I_{2}||\vec l\times\vec B_{1}||=I_{2}lB_{1}\frac{\mu_{0}I_{2}I_{1}l}{2\pi h} \end{aligned}\]

donde utilizamos el hecho de que el ángulo entre\(\vec l\) y\(\vec B\) es\(90^{◦}\). Esperamos, de la Tercera Ley de Newton, que se ejerza una fuerza igual y opuesta sobre el primer cable. En efecto, el segundo cable creará un campo magnético,\(\vec B_{2}\), que está fuera de la página en la ubicación del primer cable, con magnitud:

\[\begin{aligned} B_{2}=\frac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi h} \end{aligned}\]

Esto lleva a una fuerza magnética,\(\vec F_{1}\), ejercida sobre el primer cable, que apunta hacia la derecha (desde la regla de la derecha). En una sección de longitud\(l\),, del primer cable, la fuerza magnética del campo magnético,\(\vec B_{2}\), tiene magnitud:

\[\begin{aligned} F_{1}=I_{1}||\vec l\times\vec B_{2}||=I_{1}lB_{2}\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi h} \end{aligned}\]

que de hecho tiene la misma magnitud que la fuerza ejercida sobre el segundo alambre. Así, cuando dos cables paralelos transportan corriente en la misma dirección, ejercen fuerzas de atracción iguales y opuestas entre sí.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Dos cables que transportan corriente en direcciones opuestas.

Dos cables paralelos transportan corriente en direcciones opuestas, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). ¿Qué fuerza ejercen el uno sobre el otro?

1. No habrá fuerza, ya que las corrientes cancelan.
2. Habrá una fuerza atractiva entre los cables.
3. Habrá una fuerza repulsiva entre los cables.

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La fuerza de atracción entre dos cables solía ser la base para definir el Ampere, la unidad S.I. (base) para corriente eléctrica. Antes de 2019, el Ampere se definía como “esa corriente constante que, si se mantenía en dos conductores paralelos rectos de longitud infinita, de sección transversal circular despreciable, y colocada a un metro de distancia en vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a\(2 × 10^{−17}\text{N}\) por metro de longitud”. Recientemente se actualizó la definición para basarse en definir el Coulomb de tal manera que la carga elemental tenga un valor numérico de\(e = 1.602 176 634 × 10^{−19}\text{C}\), y el Ampere corresponda a un Coulomb por segundo.

La fuerza entre dos cables es un buen sistema para entender cómo cualquier cantidad física no puede depender de nuestra elección de la mano derecha para definir productos cruzados. Como se mencionó en el capítulo anterior, cualquier cantidad física, como la dirección de la fuerza ejercida sobre un alambre, siempre dependerá de dos usos sucesivos de la mano derecha. En este sistema, primero se utilizó la regla de la derecha para vectores axiales para determinar la dirección del campo magnético a partir de uno de los cables. Luego usamos la regla de la derecha para determinar la dirección del producto cruzado para determinar la dirección de la fuerza en el otro cable. Puedes verificar que obtienes la misma respuesta si, en cambio, usas tu mano izquierda para definir la dirección del campo magnético (que será en la dirección opuesta), y luego otra vez para el producto cruzado. Esto también resalta que el campo magnético (y el campo eléctrico) es solo una herramienta matemática que utilizamos para, en última instancia, describir el movimiento de cargas o agujas de brújula.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Cuando la corriente fluye en un cable recto, ¿cómo esperar que las cargas se distribuyan radialmente a través de la sección transversal del cable?

1. Uniforme en radio (la densidad de corriente no depende de\(r\)).
2. Habrá un exceso de cargas positivas en el exterior del cable.
3. Habrá un exceso de cargos negativos en el exterior del cable.

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