22.4: Solenoides y Toroides

Para crear campos magnéticos fuertes, el método más práctico es combinar muchos bucles de corriente juntos en un “solenoide” (una bobina). Los electroimanes funcionan según este principio y son omnipresentes en nuestras vidas. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra el campo magnético de un solo bucle de corriente.

Figura\(\PageIndex{1}\): El campo magnético de un solo bucle de corriente.

Cuando se acercan varios bucles de corriente, como en la Figura\(\PageIndex{2}\), el campo magnético dentro del solenoide se vuelve uniforme, y el campo magnético justo fuera del solenoide se acerca a cero.

Figura\(\PageIndex{2}\): A medida que se juntan múltiples bucles de corriente para formar un solenoide, el campo magnético dentro del solenoide se vuelve uniforme y el campo fuera del solenoide se acerca a cero.

Podemos usar la Ley de Ampere para determinar la intensidad del campo magnético dentro de un solenoide, bajo el supuesto de que el campo magnético es uniforme en el volumen del solenoide y cero justo afuera. Considera un solenoide con corriente\(I\),, atravesándolo, que contenga\(n\) bucles por unidad de longitud. Para determinar el campo magnético\(B\), en el interior del solenoide, considerar el bucle Amperiano rectangular, abcd, de longitud,\(l\), ilustrado en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Utilizamos la Ley de Ampere con un bucle rectangular para evaluar la intensidad del campo magnético dentro de un solenoide.

Para evaluar la circulación del campo magnético alrededor del bucle, abcd, dividimos el bucle en segmentos, y evaluamos la integral de ruta (\(\int\vec B\cdot d\vec l\)) sobre cada segmento, luego sumamos esos juntos para obtener la integral sobre el camino cerrado:

\[\begin{aligned} \oint_{abcd} \vec{B}\cdot d\vec l=\int_{a}^{b}\vec B\cdot d\vec l+\int_{b}^{c}\vec B\cdot d\vec l+\int_{c}^{d}\vec B\cdot d\vec l+\int_{d}^{a}\vec B\cdot d\vec l \end{aligned}\]

Sobre cada segmento, el vector\(d \vec l\) será paralelo a ese segmento. Sólo el último término es distinto de cero. Las integrales sobre los segmentos\(ab\) y\(cd\) son cero porque el campo magnético es perpendicular a\(d \vec l\) sobre esos segmentos (por lo que el producto escalar es cero). La integral sobre el segmento\(bc\) es cero porque el campo magnético es cero justo fuera del solenoide. La integral sobre el último segmento, donde\(d \vec l\) y\(\vec B\) son paralelos, viene dada simplemente por:

\[\begin{aligned} \oint_{abcd}\vec B\cdot d\vec l=\int_{d}^{a}\vec B\cdot d\vec l=B\int_{d}^{a}dl=Bl \end{aligned}\]

ya que la longitud del segmento es\(l\), y el campo magnético es constante en magnitud.

Para aplicar la Ley de Ampere, debemos determinar la corriente que está encerrada por nuestro bucle Amperiano. Dado que el bucle rectangular tiene una longitud\(l\),, encerrará\(N = nl\) bucles de corriente,\(I\), ya que hay\(n\) bucles por unidad de longitud. Así la corriente encerrada es\(I^{enc} = nlI\). Aplicando la Ley de Ampere, encontramos el campo magnético dentro de un solenoide:

\[\begin{aligned} \oint \vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ Bl&=\mu_{0}nIl \end{aligned}\]

\[\therefore B=\mu_{0}nI\quad\text{(Field inside a solenoid)}\]

que no depende de nuestra elección (arbitraria) de hacer un bucle Amperiano con una longitud arbitraria de\(l\). En la práctica, cuando los solenoides se utilizan como electroimanes, normalmente se rellenan con un material ferromagnético, que magnetizará cuando haya una corriente, resultando en un campo magnético más fuerte. Esto generalmente se hace enrollando un cable alrededor de una varilla de hierro.

Tenga en cuenta que si extendemos el bucle Amperiano para que el segmento inferior esté también fuera del solenoide\(\PageIndex{4}\), como en la Figura, es fácil mostrar que el campo magnético inmediatamente fuera del solenoide debe ser cero. Efectivamente, en este caso, hay un número igual de corrientes que salen de la página a medida que van entrando en la página, de manera que la corriente neta que está encerrada por el bucle Amperiano (la corriente neta que cruza el plano del bucle) es idéntica a cero, por lo que la circulación debe ser cero, implicando que el el campo magnético es cero justo fuera del solenoide.

Figura\(\PageIndex{4}\): Al extender el bucle Amperiano a ambos lados del solenoide, concluimos que el campo magnético justo afuera del solenoide debe ser cero, porque la corriente neta encerrada es cero.

Un toroide puede pensarse como un solenoide que ha sido doblado en forma de círculo (o mejor dicho, un toro), como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{5}\). Dentro del toroide, el campo magnético forma círculos concéntricos (no mostrados).

Figura\(\PageIndex{5}\): Bucle de radio Amperiano\(r\) para determinar el campo magnético dentro de un toroide. Tenga en cuenta que el campo magnético en todas partes fuera del toroide debe ser cero (piense en la corriente encerrada por los bucles Amperianos).

Nuevamente, podemos usar la Ley de Ampere para determinar la fuerza del campo magnético dentro del toroide. Consideremos el bucle circular Amperiano de radio\(r\) que se ilustra en la Figura\(\PageIndex{5}\). Dado que el campo magnético es paralelo al bucle Amperial en todas partes a lo largo del bucle, y el campo magnético no cambia de magnitud (por simetría), la circulación viene dada por:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=B(2\pi r) \end{aligned}\]

Si el toroide contiene\(N\) bucles de corriente, entonces la corriente encerrada viene dada por\(I^{enc} = NI\), ya que el bucle Amperiano incluye\(N\) veces la corriente\(I\) que sale de la página. La Ley de Ampere da así la magnitud del campo magnético como:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ B(2\pi r)&=\mu_{0}NI \\ \therefore B&=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r} \end{aligned}\]

que disminuye en magnitud al aumentar el radio, siempre y cuando estemos dentro del toroide. Es fácil mostrar, mediante el uso de bucles Amperianos que son más pequeños o más grandes que el toroide, que el campo magnético en todas partes fuera del toroide es exactamente cero (ya que esos bucles Amperianos no encerrarán corriente neta). En un toroide, las líneas del campo magnético forman círculos cerrados. Para un solenoide, debe existir un campo magnético en algún lugar fuera del solenoide, para que las líneas de campo dentro del solenoide se cierren. Por lo general, podemos ignorar estos si el solenoide es largo, ya que el campo exterior será muy débil, y muy cerca de cero muy cerca del solenoide (como mostramos con la Ley de Amp`ere anterior).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En la Figura\(\PageIndex{5}\), el campo magnético hace círculos concéntricos. ¿Qué dirección apuntan las líneas de campo? :

1. En sentido horario.
2. En sentido antihorario.
3. Hacia arriba.
4. No hay suficiente información para contar.

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