22.5: Resumen

Claves para llevar

Los campos magnéticos se crean al mover cargas. La Ley Biot-Savart nos permite determinar el campo magnético infinitesimal\(d\vec B\), que es producido por la corriente,\(I\), que fluye en una sección infinitesimal de alambre,\(d\vec l\):

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\hat r}{r^{2}} \end{aligned}\]

donde\(\mu_{0}\) es una constante llamada permeabilidad del espacio libre. El vector\(\vec r\) apunta desde el elemento de alambre\(d\vec l\),, hasta el punto en el que queremos determinar el campo magnético. Para determinar el campo magnético a partir de un cable finito, se deben sumar (integrar) las contribuciones que provienen de cada sección de alambre. A menudo es más fácil trabajar con la ley Biot-Savart escrita sin el vector unitario,\(\hat r\):

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\vec r}{r^{3}} \end{aligned}\]

El campo magnético a una distancia\(h\), desde un cable infinitamente largo que transporta corriente\(I\), viene dado por:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

El campo magnético de un cable recto que lleva corriente forma círculos concéntricos centrados alrededor del cable. La dirección del campo magnético viene dada por la regla de la derecha para los vectores axiales; con el pulgar apuntando en la dirección de la corriente, los dedos se curvan en la dirección del campo magnético.

La magnitud del campo magnético, una distancia,\(h\), desde el centro de un bucle circular de alambre con radio,, llevando corriente\(R\),\(I\), a lo largo del eje de simetría del bucle viene dada por:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+h^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

La dirección del campo magnético también se puede encontrar usando la regla de la derecha para las corrientes axiales. En este caso, si tus dedos se curvan en la dirección del bucle actual, tu pulgar apunta en la misma dirección que el campo magnético en el centro del bucle.

Dos cables paralelos que transportan corrientes\(I_{2}\),\(I_{1}\) y, separados por una distancia\(h\), ejercerán fuerzas iguales y opuestas entre sí con una magnitud:

\[\begin{aligned} F=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi h} \end{aligned}\]

La fuerza es atractiva si las dos corrientes fluyen en la misma dirección y repulsivas de lo contrario.

La Ley de Ampere es el magnetismo análogo a la Ley de Gauss. Al igual que la Ley de Gauss, requiere de un alto grado de simetría para ser aplicada analíticamente, aunque siempre es válida. La Ley de Ampere relaciona la circulación del campo magnético alrededor de un camino cerrado con la corriente encerrada por ese camino:

\[\begin{aligned}\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}I^{enc} \end{aligned}\]

Para aplicar la Ley de Ampere, primero debemos elegir un bucle Amperiano sobre el cual computar la integral de trayectoria cerrada (en lugar de elegir una superficie gaussiana para calcular el flujo del campo eléctrico sobre una superficie cerrada). La integral de circulación será sencilla de evaluar si:

1. El ángulo entre\(\vec B\) y\(d\vec l\) es constante a lo largo de la trayectoria, de modo que:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=\oint Bdl\cos\theta =\cos\theta\oint Bdl \end{aligned}\]

donde\(θ\) esta el angulo entre\(\vec B\) y\(d\vec l\).

2. La magnitud de\(\vec B\) es constante a lo largo del camino, de manera que:

\[\begin{aligned} \cos\theta\oint Bdl=B\cos\theta\oint dl \end{aligned}\]

La corriente encerrada\(I^{enc}\),, corresponde a la corriente neta que cruza la superficie que es definida por el bucle Amperiano (una trayectoria cerrada siempre define una superficie).

La Ley de Ampere es fácil de usar en situaciones con un alto grado de simetría, como cables infinitamente largos que transportan corriente.

Los solenoides se forman combinando muchos bucles de corriente juntos, con el fin de formar un campo magnético fuerte y uniforme. El campo magnético dentro de un solenoide tiene una magnitud de:

\[\begin{aligned} B=\mu_{0}nI \end{aligned}\]

donde,\(I\), es la corriente en el solenoide, y\(n\), es el número de bucles por unidad de longitud en el solenoide. El campo magnético justo fuera de un solenoide es cero, y generalmente, el campo magnético es insignificante fuera de un solenoide.

Un toroide se forma doblando un solenoide en un círculo para formar un toro. Las líneas de campo magnético dentro de un toroide forman círculos concéntricos. El campo magnético disminuye con el radio dentro de un toroide y es idéntico cero en todas partes fuera de un toroide.

Ecuaciones Importantes

Ley Biot-Savart:

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\hat r}{r^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\vec r}{r^{3}} \end{aligned}\]

Campo magnético de un cable finito:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

Campo magnético de un cable infinitamente largo:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

Campo magnético de un bucle circular de corriente:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+h^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

Fuerza entre dos cables:

\[\begin{aligned} F=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi h} \end{aligned}\]

Ley de Ampere:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}I^{enc} \end{aligned}\]