23.1: Ley de Faraday

En el capítulo anterior, describimos cómo una corriente eléctrica produce un campo magnético. En este capítulo, describimos cómo una corriente eléctrica puede ser producida (o más bien, “inducida”) por un campo magnético. El aspecto más importante de la inducción electromagnética es que siempre involucra cantidades que cambian con el tiempo. En capítulos pasados, solo hemos tratado con campos eléctricos y magnéticos estáticos, cargas estáticas (para campos eléctricos) y corrientes estáticas (para campos magnéticos).

La Ley de Faraday conecta el flujo de un campo magnético variable en el tiempo a una tensión inducida (en lugar de una corriente). Por razones históricas, la tensión inducida también se denomina “fuerza electromotriz” inducida (emf), aunque sea una tensión y no una fuerza. La Ley de Faraday es la siguiente:

\[\Delta V=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\]

donde\(\Delta V\) está la tensión inducida, y\(\Phi_B\) es el flujo del campo magnético a través de una superficie abierta, definida de la misma manera que el flujo del campo eléctrico (Sección 17.1):

\[\begin{aligned} \Phi_B = \int_S \vec B\cdot d\vec A\end{aligned}\]

Si el campo magnético tiene una magnitud constante sobre la superficie,\(S\), y siempre hace el mismo ángulo con la superficie, entonces el flujo se puede escribir como:

\[\begin{aligned} \Phi_B = \vec B\cdot\vec A\end{aligned}\]

donde la magnitud del vector\(\vec A\) es igual al área de la superficie, y el vector\(\vec A\) es normal a la superficie.

La superficie,\(S\), está definida por un camino cerrado. El voltaje inducido se puede considerar como una batería ideal colocada en la trayectoria cerrada que define la superficie (panel derecho de la Figura\(\PageIndex{1}\)). El signo menos indica la dirección de la corriente asociada con el voltaje inducido. Es importante señalar que un voltaje inducido solo existe si el flujo del campo magnético cambia (ya que el voltaje inducido viene dado por la derivada de tiempo del flujo). Recuerda, ¡la inducción se trata de campos variables en el tiempo! Esto se ilustra mejor con un ejemplo.

Considera un bucle de alambre que se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme\(\vec B\),, que es perpendicular al plano del bucle, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). A medida que pasa el tiempo, el campo magnético aumenta en intensidad, como se muestra al ir del panel izquierdo al panel derecho. El flujo del campo magnético a través del bucle aumenta en magnitud, y así se induce un voltaje a través del cable (ilustrado por la batería ideal en el bucle en el panel derecho), lo que conduce a una corriente inducida,\(I\).

Figura\(\PageIndex{1}\): A medida que aumenta el campo magnético, también lo hace el flujo a través del bucle que se muestra. El flujo cambiante da como resultado un voltaje inducido, que produce una corriente inducida que tiene un momento magnético,\(\mu_{I}\). La corriente inducida produce un campo magnético en una dirección para oponerse al flujo cambiante.

Al calcular el flujo del campo magnético, tenemos que elegir el vector del elemento de superficie,\(d\vec A\), para que sea perpendicular a la superficie sobre la que calculamos el flujo. Hay dos opciones ¹ (hacia arriba o hacia abajo, refiriéndose a la Figura\(\PageIndex{1}\)); elegimos definir\(d\vec A\) para apuntar hacia arriba. Así, el flujo magnético es positivo en ambos paneles, y aumenta con el tiempo. La derivada,\(d\vec B/dt\), es así positiva, y el lado derecho de la ecuación de Faraday es negativo debido al signo negativo al frente. Si hubiéramos optado por definir\(d\vec A\) para apuntar hacia abajo, el lado derecho de la Ley de Faraday sería negativo.

Podemos describir la dirección de la corriente inducida\(I\), en términos de su momento dipolar magnético (Sección 21.4)\(\vec\mu_I\), también mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\). El signo general en el lado derecho de la Ley de Faraday está determinado por nuestra elección (arbitraria) de la dirección\(d\vec A\). Con esta elección, encontramos que el lado derecho de la Ley de Faraday es negativo:

\[\begin{aligned} \Delta V = -\frac{d\Phi_B}{dt}=\text{a negative number}\end{aligned}\]

El signo general de\(\Delta V\) indica si el momento magnético de la corriente inducida es paralelo (\(\Delta V\)positivo) o antiparalelo (\(\Delta V\)negativo) a\(d\vec A\). Esto nos permite determinar la dirección de la corriente inducida, y así la dirección de la batería ideal que representa el voltaje inducido. En general, cuando es posible, es común elegir la dirección de\(d\vec A\) ser paralelo al vector de campo magnético, para que el flujo sea positivo (aunque esto no garantiza que su derivada sea positiva).

Ley de Lenz'

El signo menos en la Ley de Faraday a veces se llama “Ley de Lenz”, y en última instancia proviene de la conservación de la energía. En la Figura\(\PageIndex{1}\) anterior, encontramos que a medida que el flujo magnético aumenta a través del bucle, se induce una corriente. Esa corriente inducida también producirá un campo magnético (en la dirección de su vector de momento dipolo magnético,\(\vec \mu_I\)).

La Ley de Lenz establece que la “corriente inducida siempre será tal que el campo magnético que produce contrarresta el campo magnético cambiante que indujo la corriente”. En la Figura\(\PageIndex{1}\), el campo magnético apunta hacia arriba, y aumenta en magnitud con el tiempo. La corriente inducida produce un campo magnético que apunta hacia abajo para contrarrestar el campo magnético cambiante, y preservar un flujo constante a través del bucle. De no ser así, la corriente inducida estaría en la dirección opuesta, contribuyendo al aumento del flujo magnético a través del bucle, induciendo más corriente, produciendo más flujo, induciendo más corriente, etc. Claramente, esto conduciría a una corriente infinita y resolvería la crisis energética mundial. Desafortunadamente, la conservación de la energía (expresada aquí como Ley de Lenz) impide que esto suceda.

Se puede utilizar la Ley de Lenz para determinar la dirección de las corrientes inducidas. En general:

• Si la magnitud del flujo magnético está aumentando en el bucle, entonces la corriente inducida produce un campo magnético que está en la dirección opuesta al campo magnético original.
• Si la magnitud del flujo magnético está disminuyendo en el bucle, entonces la corriente inducida produce un campo magnético que está en la misma dirección que el campo magnético original.

El signo negativo en la Ley de Faraday no es arbitrario (como vimos anteriormente, da la dirección correcta para el momento magnético de la corriente inducida, dada nuestra elección arbitraria de dirección para\(d\vec A\)). En la práctica, a menudo se puede usar la Ley de Lenz para determinar la dirección de la corriente inducida (de manera que contrarresta el flujo cambiante), y la Ley de Faraday para determinar la magnitud del voltaje inducido.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un bucle de alambre se sumerge en un campo magnético constante y uniforme fuera de la página, perpendicular al plano del bucle, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Si el radio del bucle aumenta con el tiempo, ¿en qué dirección será la corriente inducida en el bucle?

Figura\(\PageIndex{2}\): Un bucle cuyo radio aumenta con el tiempo.

1. Dado que el campo magnético es constante, no hay corriente inducida.
2. En sentido horario.
3. En sentido antihorario.

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Un bucle de alambre se sumerge en un campo magnético constante y uniforme fuera de la página, perpendicular al plano del bucle, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). If the loop is pulled out of the region of magnetic field, as shown, in which direction is the induced current in the loop?

Figura\(\PageIndex{3}\): Un bucle que se extrae de una región con campo magnético de información.

1. Dado que el campo magnético es constante, no hay corriente inducida.
2. En sentido horario.
3. En sentido antihorario.

Contestar

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un campo magnético uniforme variable en el tiempo viene dado por:\[\begin{aligned} \vec B(t) = B_0(1+at)\hat z\end{aligned}\] donde\(B_0\) y\(a\) son constantes positivas. Una bobina, hecha de bucles\(N\) circulares de radio,\(r\), yace en el\(x-y\) plano. Si la bobina tiene una resistencia total\(R\), ¿cuál es la magnitud y dirección de la corriente inducida en la bobina?

Solución:

La bobina está hecha de\(N\) bucles de alambre. Cada bucle de cable se puede tratar de forma independiente, y cada uno tendrá su propio voltaje inducido a través de él. Dado que cada bucle es el mismo, todos tendrán el mismo voltaje inducido, y el voltaje total inducido a través de la bobina,\(\Delta V\), vendrá dado por:\[\begin{aligned} \Delta V = -N \frac{d\Phi_B}{dt}\end{aligned}\] dónde\(\Phi_B\) está el flujo a través de cualquiera de los bucles. Es decir, cada bucle es similar a una batería ideal, y la bobina es similar a colocar todas estas baterías en serie, de manera que los voltajes de cada batería se suman juntos.

La bobina yace el\(x-y\) plano, perpendicular al campo magnético creciente, similar a la situación representada en la Figura\(\PageIndex{1}\). Dado que el campo magnético es uniforme sobre la superficie de la bobina, no necesitamos una integral para determinar el flujo. Definimos el vector de área\(\vec A\),, para estar en la\(z\) dirección positiva (paralela al campo magnético):\[\begin{aligned} \vec A = A \hat z = \pi r^2 \hat z\end{aligned}\] El flujo a través de un bucle circular de radio\(r\),, viene dado por:\[\begin{aligned} \Phi_B (t) &= \vec B \cdot \vec A = ( B_0(1+at)\hat z) \cdot (\pi r^2 \hat z) =B_0(1+at) (\pi r^2)\end{aligned}\] Podemos aplicar la Ley de Faraday para determinar el voltaje inducido: \[\begin{aligned} \Delta V &= -N \frac{d\Phi_B}{dt} = -N \frac{d}{dt} B_0(1+at) (\pi r^2)\\ &=-NB_0a\pi r^2\end{aligned}\]Dado que el voltaje inducido es negativo, el momento magnético de la corriente inducida apunta en la\(z\) dirección negativa (opuesta a nuestra elección de dirección para\(\vec A\)). Esto es consistente con la Ley Len'z, ya que el campo magnético aumenta en la\(z\) dirección positiva, la corriente inducida producirá un campo magnético en la\(z\) dirección negativa para contrarrestar el flujo cambiante. La magnitud de la corriente inducida viene dada por la Ley de Ohm:\[\begin{aligned} I = \frac{\Delta V}{R}=\frac{NB_0a\pi r^2}{R}\end{aligned}\]

Discusión:

En este ejemplo, determinamos el voltaje y la corriente inducidos en una bobina hecha de bucles\(N\) idénticos. Argumentamos que se pueden sumar los voltajes inducidos de los\(N\) bucles, ya que estos pueden considerarse como baterías ideales en serie. Encontramos que la dirección de la corriente inducida obtenida de la Ley de Faraday fue consistente con la expectativa de la Ley de Lenz.

Notas al pie

1. Recordemos que esta ambigüedad se resuelve al usar la Ley de Gauss eligiendo\(d\vec A\) siempre apuntar “hacia afuera”, lo que sólo tiene sentido cuando la superficie está cerrada. Con una superficie abierta, no hay dentro ni fuera, y nos quedamos con la ambigüedad.