23.2: Inducción en un Conductor en Movimiento

Si definimos un bucle de alambre, hay dos formas en las que el flujo magnético a través de ese bucle puede cambiar:

1. El campo magnético puede cambiar de magnitud o dirección, como vimos en el Ejemplo 23.1.1.
2. El bucle puede cambiar de tamaño u orientación en relación con el campo magnético.

En esta sección, examinamos este último caso, a veces llamado “emf mocional”, ya que el voltaje inducido es el resultado del movimiento del bucle en el que se induce el voltaje.

Movimiento de una barra sobre dos rieles paralelos

Considere un riel en forma de U en un campo magnético uniforme sobre el cual una barra puede deslizarse sin fricción, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). La barra de longitud\(L\) se mueve hacia la derecha con una velocidad constante,\(v\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un riel en forma de U sobre el cual se puede deslizar una barra de longitud\(L\),,. El sistema se encuentra inmerso en un campo magnético que señala fuera de la página. La barra se mueve hacia la derecha con una velocidad constante\(v\).

La barra y los rieles forman un bucle cerrado de área:

\[\begin{aligned} A(t)=Lw(t)=Lvt\end{aligned}\]

que aumenta con el tiempo. La magnitud del flujo a través del bucle aumentará con el tiempo, resultando en una corriente inducida (en sentido horario, según la Ley de Lenz). En algún momento,\(t\), el flujo a través del bucle viene dado por:

\[\begin{aligned} \Phi_B (t) &= \vec B \cdot \vec A =BA=BLvt\end{aligned}\]

donde elegimos\(\vec A\) ser paralelos al vector de campo magnético.

Dado que ya usamos la Ley de Lenz para argumentar que la corriente debe estar en el sentido de las agujas del reloj, podemos usar la Ley de Faraday para determinar la magnitud del voltaje inducido e ignorar el signo negativo:

\[\begin{aligned} \Delta V = \frac{d \Phi_B}{dt}=\frac{d}{dt}BLvt = BLv\end{aligned}\]

Supongamos que los rieles son superconductores (no tienen resistencia), y que la barra tiene una resistencia,\(R\). La corriente a través del bucle es dada entonces por la Ley de Ohm:

\[\begin{aligned} I=\frac{\Delta V}{R}=\frac{BLv}{R}\end{aligned}\]

A medida que la corriente se mueve a través de la barra, calentará la barra disipando energía a una tasa de:

\[\begin{aligned} P=I^2 R = \frac{B^2L^2v^2}{R}\end{aligned}\]

Por lo tanto, la barra no puede moverse a una velocidad constante por sí misma, o la energía se produciría de la nada. Debe haber una fuerza ejercida sobre la barra para mantenerla en movimiento a velocidad constante.

Recordemos que un cable portador de corriente en un campo magnético experimentará una fuerza del campo magnético. En este caso, la barra de longitud\(L\), transporta corriente\(I\), en un campo magnético,\(\vec B\) (perpendicular a la corriente), de manera que la fuerza ejercida sobre la barra viene dada por:

\[\begin{aligned} \vec F_B = I \vec L \times \vec B\end{aligned}\]

y señala a la izquierda (regla de la derecha). La magnitud de la fuerza viene dada por:

\[\begin{aligned} F_B = ILB = \frac{B^2L^2v}{R}\end{aligned}\]

Así, para que la barra se mueva a velocidad constante hacia la derecha, se debe ejercer una fuerza con la misma magnitud hacia la derecha. Es decir, se debe trabajar para tirar de la barra hacia la derecha, ejerciendo una fuerza con la magnitud,\(F_B\). La tasa a la que se debe realizar ese trabajo viene dada por:

\[\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt}W=\frac{d}{dt}\vec F \cdot dx=\vec F\cdot \frac{dx}{dt}=\vec F\cdot \vec v = Fv\\ &=\frac{B^2L^2v^2}{R}\end{aligned}\]

donde asumimos que la barra se mueve en la\(x\) dirección positiva. ¡Esta es exactamente la velocidad a la que se disipa la energía eléctrica en la barra! Es decir, al hacer un trabajo mecánico en la barra, podemos crear una corriente inducida que disipará esa energía al mismo ritmo al que hacemos el trabajo. ¡Podemos convertir el trabajo mecánico en energía eléctrica!

Por último, señalar también que esta situación está estrechamente relacionada con el efecto Hall, que es simplemente una manera diferente de pensar sobre este problema. Considera los electrones que están en la barra, ya que la barra se mueve a velocidad constante hacia la derecha a través del campo magnético (ignora la existencia del riel en forma de U). Los electrones experimentarán una fuerza magnética que es ascendente (consistente con la dirección de la corriente inducida discutida anteriormente). Eventualmente, los electrones se acumulan en la parte superior de la barra, y comienzan a evitar que más electrones se acumulen allí, produciendo un campo eléctrico,\(\vec E\), en la barra. La condición de equilibrio es que la fuerza magnética y la fuerza eléctrica tengan la misma magnitud (y direcciones opuestas):

\[\begin{aligned} qvB &= qE\\ E &= vB\end{aligned}\]

La diferencia de potencial (Hall), a través de la barra de longitud\(L\), con un campo eléctrico\(E\), viene dada por:

\[\begin{aligned} \Delta V_{Hall} = EL = vBL\end{aligned}\]

donde asumimos que el campo eléctrico es uniforme en la barra. Esta diferencia de potencial es idéntica a la que calculamos a partir de la Ley de Faraday. Ver este ejemplo como una manifestación diferente del efecto Hall proporciona una idea de lo que realmente sucede a nivel microscópico cuando se induce una corriente.

El Generador

Un generador eléctrico se utiliza para crear una tensión/corriente inducida alterna, mediante la rotación de una bobina dentro de un campo magnético constante y uniforme. En este caso, la corriente es inducida porque el ángulo entre el campo magnético y el vector del elemento superficial\(d\vec A\) cambia con el tiempo.

Considera un solo bucle de alambre con área\(A\), que pueda girar en un campo magnético uniforme y constante,\(\vec B\), como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Un bucle de alambre gira en un campo magnético constante y uniforme. En el momento\(t = 0\) (panel izquierdo), el bucle se encuentra en el\(yz\) plano. El bucle gira alrededor del\(y\) eje, con una velocidad angular constante,\(\vec ω\). En algún momento t después, el bucle ha girado en ángulo\(θ = ωt\) (panel derecho, como se ve desde arriba, mirando hacia abajo en el\(xz\) plano).

Haciendo referencia al sistema de coordenadas que se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\), el bucle tiene una velocidad angular constante\(\vec\omega\),, en la\(y\) dirección positiva y gira alrededor del\(y\) eje (con el origen en el centro de la bobina). En el tiempo\(t=0\) (panel izquierdo), el bucle se encuentra en el\(yz\) plano, y elegimos el vector,\(\vec A\), (utilizado para calcular el flujo) para que esté en la\(x\) dirección positiva en el momento\(t=0\). A medida que la bobina gira, también lo hará el vector\(\vec A\), que es más fácil de visualizar que la bobina. En algún momento\(t\), el vector\(\vec A\) formará un ángulo\(\theta=\omega t\) con el\(x\) eje (panel derecho). El campo magnético es constante y en la\(x\) dirección positiva,\(\vec B = B\hat x\). Es decir, el ángulo entre el vector\(\vec A\) y el campo magnético\(\vec B\),, vendrá dado por\(\theta = \omega t\).

En algún momento,\(t\), el vector,\(\vec A\), viene dado por:\[\begin{aligned} \vec A(t) = A(\cos\theta \hat x -\sin\theta \hat z) = A(\cos(\omega t) \hat x -\sin(\omega t)\hat z)\end{aligned}\]

Podemos calcular el flujo del campo magnético a través del bucle en algún momento\(t\):\[\begin{aligned} \Phi_B(t) = \vec B \cdot \vec A = (B\hat x) \cdot (\cos(\omega t) \hat x -\sin(\omega t)\hat z)=AB\cos(\omega t)\end{aligned}\] donde no usamos la integral para el flujo, ya que el campo magnético es constante sobre el área del bucle. El voltaje inducido viene dado por la Ley de Faraday:\[\begin{aligned} \Delta V = - \frac{d\Phi_B}{dt} = - \frac{d}{dt}AB\cos(\omega t) = AB\omega\sin(\omega t)\end{aligned}\] Si el generador incluye\(N\) bucles en una bobina, entonces el voltaje inducido viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta V = NAB\omega\sin(\omega t)\end{aligned}\] Como puede ver, el voltaje oscila con el tiempo, entre\(\pm NAB\omega\), correspondiente a voltaje alterno. Además, dado que el signo de\(\Delta V\) cambios con el tiempo (debido a la función sinusoidal), la orientación relativa entre\(\vec A\), y el momento dipolar magnético de la corriente inducida, también cambia con el tiempo, indicando que la corriente inducida en la bobina cambia de dirección cada media vuelta (corriente alterna).

Los generadores que producen los voltajes alternos que encontramos en nuestros tomacorrientes funcionan bajo el mismo principio. Por ejemplo, en una presa hidroeléctrica, la presión del agua desde la altura de la presa se utiliza para forzar el agua a través de una turbina (esencialmente una hélice) que hace girar un conjunto de bobinas dentro de un fuerte imán permanente. Diversos controles permiten ajustar la frecuencia rotacional de la turbina para producir corriente alterna de la frecuencia deseada (\(50\text{Hz}\)en la mayor parte del mundo,\(60\text{Hz}\) en Norteamérica y algunos otros países).

Dado que el generador produce corriente que puede disipar la energía eléctrica, uno debe tener que hacer un trabajo para mantener la bobina en el generador girando. A medida que la bobina gira, se induce una corriente en la bobina. Una corriente en un bucle circular que se sumerge en un campo magnético experimentará un par\(\vec \tau\), dado por:\[\begin{aligned} \vec \tau = \vec \mu \times \vec B\end{aligned}\] donde\(\vec \mu\) está el momento dipolar magnético de la bobina con corriente inducida,\(I\). Si la corriente de la bobina disipa su energía en un sistema con resistencia\(R\), entonces la corriente en la bobina viene dada por la Ley de Ohm:

\[\begin{aligned} I = \frac{\Delta V}{R}=\frac{NAB\omega\sin(\omega t)}{R}\end{aligned}\]

El momento magnético,\(\vec \mu\), para la corriente en la bobina viene dado por:

\[\begin{aligned} \vec \mu &= I\vec A = \frac{NAB\omega\sin(\omega t)}{R} (A(\cos(\omega t) \hat x -\sin(\omega t)\hat z))\\ &=\frac{NA^2B\omega\sin(\omega t)}{R} (\cos(\omega t) \hat x -\sin(\omega t)\hat z)\end{aligned}\]

El par ejercido por el campo magnético sobre la bobina con la corriente inducida viene así dado por:

\[\begin{aligned} \vec \tau &= \vec \mu \times \vec B = \left(\frac{NA^2B\omega\sin(\omega t)}{R} (\cos(\omega t) \hat x -\sin(\omega t)\hat z)\right) \times (B\hat x)\\ &=\frac{NA^2B^2\omega\sin(\omega t)}{R}(\cos\omega(t)(\hat x \times \hat x)-\sin(\omega t)(\hat z \times \hat x))\\ &=-\frac{NA^2B^2\omega\sin^2(\omega t)}{R}\hat y\end{aligned}\]

Tenga en cuenta que el par ejercido sobre el bucle, siempre está en la\(y\) dirección negativa, ya que cada término en el par es estrictamente positivo (\(N,R\)) o cuadrado (\(\sin^2(\omega t)\)). El par ejercido por el campo magnético sobre la bobina es así siempre en la dirección opuesta de rotación (recordemos que la bobina tiene una velocidad angular en la\(y\) dirección positiva). Esto a veces se llama “contratorque”. Si queremos que la bobina mantenga una velocidad angular constante, entonces debemos ejercer un par en la\(y\) dirección positiva para contrarrestar el par del campo magnético. Tenga en cuenta que el par que debemos ejercer para mantener la bobina girando con velocidad angular constante no es constante en el tiempo (sino siempre en la misma dirección).

Se puede verificar fácilmente que el trabajo que debe realizar ejerciendo el par es el mismo que la energía eléctrica disipada por la corriente en la resistencia,\(R\). El generador es así un dispositivo para convertir el trabajo mecánico en energía eléctrica (con corriente AC, en particular).